午练18 函数与导数+解析几何.docx

午练18函数与导数+解析几何【题目1已知曲线段)=dn-24MaWO)在点尸(1,川)处的切线与直线Xy-I=O垂直.(1)求函数次工)的最小值；若l<m<2,证明：fix)<2-rn-lnx.(1)解由/(x)=0XInX20r,且定义域为(0,÷°o),得/(x)=(lnx÷1)2a=6flnx-af所以1(1)=。又曲线7U)在点P(i,y)处的切线与直线x-=o垂直，所以一Xl=-1,则=l.则/U)=XInx-2ff(x)=In-1.令/(x)=O=X=e.则当x(0,e)时，/(x)<0,次冗)单调递减；当x(e,+8)时,/()>0,/U)单调递增.所以函数/U)的最小值为4e)=-e.(2)证明要证"r)42-/nxInx,即证Jdn-2x<x2-wcnx.又因为第>0,InY所以即证InX-X<2一加一二1.11X记F(x)=ln-f则F(x)=-1=.,所以当j(0,1)时,F(x)>0,尸(X)单调递增;当(i,+8)时，Fa)<o,Fa)单调递减.所以当x=l时，尸(X)有最大值F(I)=-1.InXLt1-Inx又记G(X)=2一加一丁，则G'(x)=p-.所以当x(0,e)时,Ga)<0,Ga)单调递减;当(e,+8)时，Ga)>0,G(X)单调递增.所以Ga)的最小值为G(e)=2-m-C因为lm2,所以2/%一：1,所以G(x)min尸)max，所以“r)42一如一InX成立.【题目2已知椭圆C：A+/=I(MaO)的离心率为当椭圆的中心。到直线x+y-2b=Q的距离为52.(1)求椭圆。的方程；设过椭圆C的右焦点尸且倾斜角为45。的直线/和椭圆交于A,8两点，对于椭圆C上任意一点M,若丽=刀+p,求W的最大值.解(y»e=2»,C*2=,.2,则b2=a2c2=a2.Y椭圆的中心。到直线x+y-2Q0的距离为52,1一2例.啦=5>2,.b=5,.=25,。2=4庐=100.92椭圆C的方程为需+=1.(2)由(1)知"5L0),由题设知直线AB的方程为y=-5y,y=x-5y3f联立q得f-8ix+40=0.100+25=1,设A(RI,y),8(X2,*),则有xi+x2=85,XIX2=40.设M(x,y)f则由丽=2次+彷得(x，y)=(x,y)÷z(x2,y2)=(x+x2,y+y),x=x+“X2,<y=y+y.又点M在椭圆x2+4y2=100上，(+z2)2+4(Ay1÷zy2)2=100,:2(x+4)彳)+2(xi+4强)+2(xX2+4yya)=IOo.由点A,8在椭圆上，得X+4V=Io0,处+4y3=100.xx2+4yy2=JnX2+4(x5小)(x25小)=5xx22O3(x÷x2)+300=20.(4)将代入可得/+川+争=LY"+/?+弩2勿+冬=号”，.ajw,当且仅当A=4=4寸取“=”.故的最大值为焉