午练23 立体几何+概率与统计.docx
午练23立体几何+概率与统计【题目1】如图，在四棱锥S-ABCO中，四边形ABCO为矩形，B=22,BC=SC=SD=2,BC.LSD.(1)求证：SuL平面S4。；(2)设屈=g而，求平面SEC与平面S8C所成的二面角的正弦值.(1)证明,：BCLSDtBC-LCDiSDCCD=D,SD,CQU平面SOC,3C_L平面SOC又4O/8C,平面S0C,又SCU平面S0C,：.SC.LAD.又在aSQC中，SC=SD=2,DC=AB=2吸,故SC2+SD2=OC2,/,sC±SD.又AOGSO=O,ADfSOU平面SAO,SC_L平面SAD.解取CO的中点。，48的中点G,连接OS,OG,贝IJSo_LCO,OG.LCD.由(1)知AO_L平面SCr>,又4。U平面A8C。，平面SCO_L平面ABCD.又Y平面SCo平面ABCO=CO,SoU平面SCO,，SO_L平面48CD又OGU平面ABCD,：.SOVOGi故0G,0C,OS两两互相垂直，以点。为坐标原点，OCtOS,OG的方向分别为y轴、Z轴、X轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则S(0,O,2),C(O,2,O),4(2,-2,O),8(2,2,O).设E(2,y,O),:AE=EBf；.y+y=g(y-y),；y=一当,即2,一乎，jSC=(0,2,-2),CE=li-平,0),CB=(2f0,0).设平面SEC的法向量为=(刈，¥，zo),平面SBC的法向量为m=(mb,c),SC=0, 即y2yo-y2zo=Of兀芈=0,J不妨取=(2L3,3).SCw=0, 由二CBm=O2-2c=0,24=0,不妨取机=(0,L1),则cos(m, i)mn63VT§wi-26×213.设平面SEC与平面SBC所成二面角的平面角的大小为(0),贝IJsin0=71-COS2-=2故所求二面角的正弦值为喈.【题目2随着中美贸易战的不断升级，越来越多的国家科技巨头加大了科技研发投入的力度.中华技术有限公司拟对“麒麟”手机芯片进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入x(亿元)与科技升级直接收益y(亿元)的数据统计如下：序号123456789101112X2346810132122232425y1322314250565868.56867.56666当OaWI7时，建立了y与X的两个回归模型：模型：4.1x+11.8;模型:21.3-14.4;当QI7时，确定y与X满足的线性回归方程为;=一0.7叶；(1)根据下列表格中的数据，比较当0<x17时模型、的相关指数K的大小,并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“麒麟”手机芯片科技升级的投入为17亿元时的直接收益；回归模型模型模型回归方程Ay=4.1x+11.8Ay=21.3-14.47£(yi-yi)2i=l182.479.2(M-”2(附：刻画回归效果的相关指数炉=1一-,4.1)Cy-y)2Z=I(2)为鼓励科技创新，当科技升级的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，比较科技升级投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小；(附：用最小二乘法求线性回归方程(=£+潟勺系数：£产一"、(屑一天)(Hy),.b=-n-»，a=y-bx)xl-nx2Cxi-x)2»=1i=l(3)科技升级后，“麒麟”芯片的效率X大幅提高，经实际试验得X大致服从正态分布Mo.52,0.012).公司对科技升级团队的奖励方案如下：若芯片的效率不超过50%,不予奖励；若芯片的效率超过50%但不超过53%,每部芯片奖励2元；若芯片的效率超过53%,每部芯片奖励4元，记Y为每部芯片获得的奖励,求E(K)(精确到0.01).(附：若随机变量XN伽，2)(>0),则PQ-KXW"+o)=0.6827,P(-2<XW+2。)=0.9545)解(1)由表格中的数据，182.4>79.2,182.479.2182.4,79.2 R=1-<(yi-y)2(y-y)2(yy)2(y-y)2i=lf=li=lI=I 模型的相关指数用小于模型的相关指数出，回归模型的拟合效果更好， 当X=17亿元时，科技升级直接收益的预测值为Ay=21.314.472.93(亿元).(2)当尤>17时，由已知可得21+22+23+24+25X=23,68.5+68+67.5+66+66y=7=67.2,d=y÷0.7x=67.2÷0.7×23=83.3,当x>17时，y与X满足的线性回归方程为;=-0.7x+83.3,当=20亿元，科技升级直接收益的预测值为y=-0.7X20+83.3=69.3（亿元）,当=20亿元时，实际收益的预测值为69.3+5=74.3亿元>72.93亿元.,技术升级投入20亿元时，公司的实际收益更大.(3),2-0.50>z+-0.53,P(0.50<X0.53)=PQl2<XW+)=P(-2<XW)+P(一<XW+)0.9545-0.68271=5÷0.6827=0.8186,1-0.6827P(X>0.53)=P(X>+)=.11-0.6827E(y)=0×P(Xz-2)+2×0.8186+4×=2.2718%2.27(元).
