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第四章 振动与波动,中国国家管弦乐团在联合国总部的演出,振动与波动是密切联系的物理现象。振动是产生波动的根源，波动是振动在空间的传播。过去，人们习惯于将振动与波动纳入力学的范畴，实际上振动与波动的内容贯穿在力学、电磁学、光学乃至量子力学之中。机械振动在介质中的传播形成机械波，电磁振动在空间的传播形成电磁波。虽然机械振动和机械波与电磁振动和电磁波在本质上有所不同，但它们的变化规律是类似的。因此，本章讨论机械振动和机械波的基本规律，但这些规律的意义绝不局限于力学，它是研究光学、量子力学乃至整个物理学的基础。,引 言,我国返回式卫星使用的搭载桶正在进行振动试验。,一、简谐振动,1.简谐振动的定义,简谐振动并不局限于弹簧振子。对于摆的运动、木块在水面上的浮动等类似的运动，运动物体所受的力与弹性力相似，称为准弹性力。这种在准弹性力作用下的运动也是简谐振动。,例题1.直径d的U形管，装有质量为m的液体,若给液体一个小的初始位移，液体将在管中作微振动，这种振动是否是简谐振动？,是简谐振动,解：选坐标系；分析受力；列方程，,例题2。一立方体木块浮于静止的水面上，其浸在水中部分的高度为h。现用手指将其稍稍压下，使浸在水中部分的高度变为b.放手后木块将在水面上下作振动，此振动是否为简谐振动？,解：木块静止时有，重力浮力，选水面为坐标原点，指向水的一侧为正方向。任意时刻木块质心坐标为x:,是简谐振动,2.简谐振动的数学模型,频率,这个结果表明，振动物体的位移和振动时间的关系满足余弦函数的关系，这个结果可作为简谐振动的定义。,（1）模型的解位移与时间的关系,讨论,微分方程 称为简谐振动方程,其数学解描述了弹簧振子的位移与时间之间的关系,称为简谐运动方程.许多物体的运动类似弹簧振子的运动,凡是可以用简谐振动方程描述的运动其位移与时间的关系均可以用运动方程来描述.如单摆、复摆在理想条件下的运动都可以用简谐运动方程描述.它们也统称谐振子.,简谐运动方程中A、分别被称为振幅、圆频率和初相位.它们描述了振动的最大位移、单位时间内的往返次数和振动点的初始位置.从简谐运动方程中可以看到：简谐振动的振幅为一与时间和频率无关的常数;而位移是按周期在有限区域内的往复变化,并且和初始位置有关.振幅、圆频率和初相位是决定振动具体位移大小和速度大小的决定性参数,所以称为振动三要素.,振幅（amplitude)A:振动物体离开平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值。,周期(period)T:物体完成一次全振动所需时间。,频率（frequency):单位时间内振动的次数。,角频率(angular frequency):,(2)各参量的物理意义,（3）振动物体的速度和加速度,（1）A 的物理意义:,A 是物体离开平衡位置的最大幅度-振幅，A 的大小由弹簧振子的初始状态决定。单位 m。,描述简谐振动的特征量,记住：静止松手的位置就是振幅！,（2）T 的物理意义,T 表示完成一次完整振动所需要的时间-周期，T 的大小由弹簧振子的固有性质决定。单位s,（3）的引入,表示在单位时间内完成整振动的次数-频率，的大小由弹簧振子的固有性质决定。单位Hz,（4）的引入,表示在2 秒内完成整振动的次数-角频率，的大小由弹簧振子的固有性质决定。单位弧度/秒,固有角频率,固有频率,固有周期,(5)的物理意义：,0表示初始时刻的相位-初相位,大小由弹簧振子的初始状态决定。单位rad.,计算初相位的两种方法：,方法1：已知,方法2：已知,重要结论,记住：初相位与速度的符号总是相反的！,问题：如何从振动曲线上看出简谐振子在某时刻的速度符号？,记住：上坡点的速度为正下坡点的速度为负,例题 已知某简谐振动的振动曲线如图所示，试写出该振动的简谐振动方程。,解：从图中可以看出已知条件：,例题如图，一长为L的弹簧上端固定，下端挂一重物后长度变为(L+S)，并仍在弹性限度之内。若将重物向上托起，使弹簧缩回原来的长度，然后静止放手，重物将作上下运动。,是简谐振动。,（1）证明重物的运动是简谐振动。,解:,（2）求,解：,（3）若以放手时开始计时，求简谐振动方程,将初始条件代入上式：,例题.一单摆，把它从平衡位置拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度，然后由静止放手任其摆动，若自放手时开始计时，如用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初位相为：,B,C,（A）；（B）；（C）0；（D）2,例题.一质点作简谐振动，振动方程x=Acos(wt+)，当时间 t=T/4(T 为周期)时，质点的速度为：,C,是振动物体 t 时刻的相位,相位每改变 2 振动重复一次,（4）相位,两个频率相同的简谐振动：,相位差为,称振动2的相位超前振动1的相位。,两个振动的超前、同向与反向,0，,称这两个振动同相或同步,称这两个振动反相,振动能量是守恒的,振动的能量,讨论,谐振子的动能、势能和总能量随时间的变化曲线:,动能和势能的变化频率是振动频率的二倍。,与时间有关的物理量F(t)在时间间隔T内的平均值为：,在一个振动周期内，平均势能等于平均动能。,简谐振动的矢量图解法和复数解法,谐振动表示的旋转矢量法,简谐振动可以用一个旋转矢量描绘。矢量的长度代表振幅 矢量逆时针旋转的角速度代表角频率 矢量在初始时刻与x轴的角度代表初相位 矢量在任一时刻与x轴的角度代表相位,矢量在x轴投影,o,用旋转矢量图画简谐运动的 图,位移、速度与加速度的旋转矢量,物体作简谐振动，振幅为0.24m，振动周期为4s。开始时物体在x=0.12m处，向负方向运动。求该物体的振动方程，t=1s时物体的位移、速度和加速度。,例题,例题7.一物体做谐振动，振幅为 A，在起始时刻质点的位移为-A/2 且向 x 轴的正方向运动，代表此谐振动的旋转矢量图为：,D,相位差：表示两个相位之差,（1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间,（2）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们间步调上的差异（解决振动合成问题）.,例 一质量为0.01 kg的物体作简谐运动，其振幅为0.08 m，周期为4 s，起始时刻物体在x=0.04 m处，向ox轴负方向运动（如图）.试求,（1）t=1.0 s时，物体所处的位置和所受的力；,代入,解,已知,求（1）,代入上式得,可求（1）,（2）由起始位置运动到x=-0.04 m处所需要的最短时间.,法一 设由起始位置运动到x=-0.04 m处所需要的最短时间为t,例题 一物体作简谐振动，振幅为15cm,频率为4Hz,求物体从平衡位置运动到 x=+12cm(且向x轴正向运动）处，所需的最短时间。,解：用矢量图解法 平衡位置有两个,X=+12cm 位置有两个,有四个时间,其中最短时间为,d X=+12cm v0,c X=+12cm v0,例题9.一质点在 x 轴上作谐振动，选取该质点向右运动通过 A 点时作为计时起点(t=0)，经过 2 秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后质点第二次经过 B 点，若已知该质点在 A、B 两点具有相同的速率，且AB=10 cm。求:(1)质点的振动方程；(2)质点 A 在点处的速率。,解：由旋转矢量图和 vA=vB 可知 T/2=4s,t=0时,t=2s时,由上两式可解得,因为在A点质点的速度大于零,所以取,运动方程,A点是t=0时,(SI),(SI),单摆的运动方程,例题,简谐振动的合成,一、同方向同频率的简谐振动的合成,同一直线上两个同频率简谐振动的合成 简谐振动,两个同方向、同频率的简谐振动方程为：,一物体同时参与了同一直线上（x 轴）的两个频率相同的简谐振动,同一直线上的两个分振动对同一平衡位置的位移，因此合振动的位移合位移也在该直线上，且对此平衡位置的合位移应为两个分振动位移的代数和，即,采用旋转矢量图解法合成合振动,旋转矢量法图解的合成,旋转矢量法合成的合振动的结果:,上式表明，同一直线上同频率的两个简谐振动的合振动仍为一个同频率的简谐振动。式中 为合振动的振幅,为合振动的初相位.,由合成图可求出合振幅与初相位：,则合振幅为,初相位为,可见，当两个分振动的振幅确定后，合振幅取决于两个分振动的相位差。合振幅大，则合振动加强；合振幅小，则合振动减弱。,重要结论,合振幅最小，减弱,讨论特殊情况:,合振幅最大,加强,同相加强,反相减弱,旋转矢量法图解的合成,二、同方向不同频率的简谐振动的合成 拍,振幅在,和,之间周期性地变化称振幅调制。,同一直线上、两个频率相近、且振幅相同初相位相同的简谐振动合成拍,一物体同时参与了同一直线上（x 轴）的两个频率相近，初相位都为0，振幅相等的简谐振动,仍然采用旋转矢量图解法合成合振动：,由A1 和A2组成的平行四边形是随时间变化的，因此合矢量A的大小也随时间变化,则合矢量A表示的合振动的振幅也随时间变化，或者说，合振动是振幅随时间变化的振动。,结论：，合振动不再是简谐振动。,由上图可求出合振幅（选择A1 和A2重合且方向相同 时为t=0，将该方向定为x轴正向）：,则合振幅为,由于振幅为正值，应写成,由于 与 相近，所以合振幅随时间做周期性的缓慢变化。,在任意时刻 t，合矢量 与 x 轴的夹角为：,则合振动可表示为：,随t变化缓慢,随t变化较快,由于振幅为正值:,合振动振幅的变化频率 叫拍频（即合振动在一秒内加强或减弱的次数）,重要结论,拍,拍 的 振 动 曲 线,观看视频资料:拍,合振幅从一次极大到相邻的另一次极大所需要的时间为周期，周期的倒数为频率。,拍现象可用于测量未知振动的频率,两个频率都较大，但频率之差都很小的两个同方向简谐振动合成所产生的合振动振幅周期性的变化叫做拍（beat），合振幅变化的频率称为拍频（beat frequency）。,两个互相垂直的简谐振动的合成。李萨如图,利用三角函数的和差化积，通过消元法整理后可得合振动的轨迹方程：,此式是椭圆方程。,讨论几种特殊情况,（1）,显然，合振动仍然是同频率的简谐振动，合振动的轨迹是过原点的直线。,利用旋转矢量合成,（2），可得,合振动的轨迹是以坐标轴为主轴的正椭圆。,利用旋转矢量合成,（3）,合振动的轨迹是以坐标轴为主轴的斜椭圆。,几种不同相位差对应的合振动的轨迹图形,例题 一质点同时参与相互垂直的两个振动：请你画出合振动运动轨迹图。,Y落后/2，左旋振动,画一个2A*2B的矩形，内切画椭圆，标出左旋箭头即可,解：,实验规律：利用李萨如图测频率（声波的传播速度）。,重要结论,两个相互垂直的不同频率的简谐振动的合成,（1）当两个振动的初相位不同时,（2）当两个振动的频率不同时,在示波器Y 端输入一个简谐振动1000Hz的信号，同时在X 端输入另一个未知频率的简谐振动信号，在示波器显示屏上出现合成结果的图形如下。求：,解：,