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第六章 电荷与电场,静电场和电场强度,相对于观察者静止的电荷称为静电荷。它在空间所产生的场称为静电场，它是电磁场的一种特殊状态。本章主要研究静电场的基本性质和规律。,一、电荷的量子性,1、电荷,物质所带的电称为电荷，是物质的固有属性。,2、电荷的基本性质,电荷与电荷间存在相互作用力，同性相斥；异性相吸。,3、电量,带电体所带电荷的量值，一般用q表示。,单位：库仑(C),带电量最小的带电粒子：电子。1913年美国物理学家密立根油滴实验直接测定了基本单元电的量值。,电子电量：,基本电荷量,自然界中存在着两种不同性质的电荷，一种称为正电荷，另一种称为负电荷。,4、电荷量子化：,物体带电均为电子电量的整数倍，近代物理理论：基本粒子由若干种夸克或反夸克组成，每一夸克或反夸克具有的电量为基本电荷的三分之一或三分之二。至今尚未从实验中直接发现单独存在的夸克或反夸克，仅在一些间接的实验中得到验证。,6、电荷守恒定律：,在一个孤立的带电系统中，无论发生什么变化，系统所具有的正负电荷电量的代数和保持不变。,7、电荷的运动不变性：,一个电荷的电荷量与它的运动状态无关，即系统所带电荷量与参考系的选取无关。,5、物体带电的本质,两种物体间发生了电子的转移。即一物体失去电子带正电，另一物体得到电子带负电。,二、库仑定律,1.点电荷(理想模型)：,带电体的大小和带电体之间的距离相比很小时，就可看作点电荷。(忽略其形状和大小),2.库仑定律,库仑(1736-1806)法国工程师、物理学家,真空中两个静止点电荷的相互作用,2.库仑定律,真空中两个静止点电荷相互作用的库仑定律：真空中两静止点电荷之间的作用力与它们的电量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比。,其中：,0:真空中介电常数(真空中电容率),讨论：(1)库仑定律为实验定律，r 从 10-15m 107m范围均成立，且服从力的矢量合成法则。(2)库仑定律只适用于静止的点电荷，此时它们之间的库仑力为一对作用力和反作用力。,三、电场与电场强度,1.“场”的提出,17世纪 英国牛顿：力可以通过一无所有的空间以无穷大速率传递，关键是归纳力的数学形式而不必探求力传递机制。,法国笛卡尔：力靠充满空间的“以太”的涡旋运动和弹性形变传递。,电磁力的超距作用理论：,英国法拉第：探索电磁力传递机制,由电极化现象和磁化现象提出“场”的概念。,19 世纪 英国麦克斯韦：建立电磁场方程，定量描述场的性质和场运动规律。,电荷,电荷,电场,场具有质量、能量和动量等。两个点电荷之间通过交换场量子而发生相互作用。电磁场的场量子就是光子。,电磁力产生的场的观点：,2.电场与实物的比较：,电场与实物的共同点：都是客观存在的,是可知的；与实物的多样性一样，场的存在形式也是多样的；在场内进行的物理过程也遵循质量守恒、能量守恒、动量守恒和角动量守恒等规律；(4)场也不能创生、不能消灭，只能由一种形式转变为另一种形式。,电场与实物的区别：(1)实物质量密度大(1000kg/m3),场质量密度很小(10-23kg/m3)，无 静止质量；实物不能达到光速，场则以光速传播；实物受力产生加速度，场则不能被加速；(4)实物具有不可入性，以空间间断形式存在，可以作参考系；场具有可入性，以连续形式存在，具有可叠加性，不能作为参考系。,电场与实物联系:实物周围存在相关的场，场传递实物间的相互作用，场和实物可以相互转化。,现代物理认为场是更基本的，粒子只是场处于激发态的表现。,3.电场强度,描述电场强弱、方向的物理量。,场源电荷:产生电场的点电荷、点电荷系、或带电体。,试验电荷:电量足够小的点电荷。,略去对场源电荷分布的影响,与场点对应,电场强度：试验电荷q0在电场中P点所受的力，同试验电荷电量之比为P点的电场强度。,教材P154静电力和万有引力。,3.电场强度,(1)定义：,大小：等于单位试验电荷在该点所受电场力；,方向：与+q0受力方向相同。,单位：N C-1 或 Vm-1,根据库仑定律，试验电荷受力为：,电场强度：试验电荷q0在电场中P点所受的力，同试验电荷电量之比为P点的电场强度。,(2)真空中点电荷Q的电场：,(2)真空中点电荷Q的电场：,讨论：,a.反映电场本身的性质，与试验电荷无关。b.电场强度是点函数 c.均匀电场：电场强度在某一区域内，大小、方向都相同。d.电场中电荷受力：,四、场强叠加原理,五、电场强度的计算,1.点电荷的电场,2.点电荷系的电场,3.连续带电体的电场,建立直角坐标，分解,：线电荷密度：面电荷密度：体电荷密度,例6-1、求电偶极子的电场。,电偶极子：相距很近的等量异号电荷,电偶极矩：,1)轴线延长线上A的场强,解：,五、电场强度的计算,点电荷系的电场,2)中垂面上B的场强,解：建立如图的坐标系，电场在y方向分量互相抵消。,x,y,五、电场强度的计算,点电荷系的电场,例6-2、求长度为l、电荷线密度为的均匀带电直细棒周围空间的电场。,x,dq,解：建立坐标系O-xy,任取电荷元,矢量分解：,统一变量：,讨论：,1)棒延长线上一点,点电荷,2)对靠近直线场点：,a棒长,无限长带电直线,理想模型:无限长带电直线场强公式,3)对半无限长：,的情况呢？,例6-3、求半径为R、带电量为q的均匀带电细圆环轴线上的电场。,解：在圆环上取电荷元dq,由对称性可知,讨论：,2、,1、环心处,各电荷元在P点的场强方向不同，分布于一个圆锥面上。,点电荷,例6-4、均匀带电圆平面的电场轴线上的电场强度(电荷面密度)。,O,x,r,P,解：任取半径为r的圆环,得：,讨论：,1、x0，或 R时，,无限大带电平面的电场,2、x R时，,简化为点电荷,叠加原理思想：圆盘 由许多均匀带电圆环组成。,上题结果,1.电场线,空间矢量函数法,定量研究,在电场中描绘许多带有方向的曲线,规定：,六、高斯定理,正点电荷的电场线,电场强度描述方法,电场线方法,定性描述,(1)曲线上每一点切线方向表示该点场强的方向；(2)曲线的疏密表示该点场强的大小，即该点附近垂直于电场方向的单位面积所通过的电力线条数,负点电荷的电场线,-,六、高斯定理,电偶极子的电场 线,一对正电荷的电场线,静电场中电场线的特点：,(1)电场线起始于正电荷(或无穷远)，终止于负电荷(或无穷远)。(2)电场线不闭合，不相交。(3)电场线密集处电场强，电场线稀疏处电 场弱。,2.电通量,通过电场中某一给定面的电场线的总条数叫做通过该面的电通量。,面积元矢量：,通过面积元的电通量为：,通过面积S的电通量为：,通过均匀电场中一平面的电通量,2.电通量,通过面积元的电通量为：,通过面积S的电通量为：,通过封闭曲面的电通量,规定：封闭曲面外法向为正。,穿入的电场线,穿出的电场线,高斯(K.F.Gauss)是德国物理学家和数学家，他在理论物理和实验物理以及数学方面均有杰出的贡献。他导出的高斯定理表述了电场中通过任一闭合曲面的电通量与该曲面所包围的源电荷之间的定量关系，是静电场的一条基本定理，也是电磁场理论的基本规律之一。,3.真空中高斯定理,在真空中，通过任一闭合曲面的电场强度通量等于该曲面所包围的所有电荷的代数和的1/o倍。,高斯(1777-1855)德国数学家，物理学家,证明：设任意曲面S2包围点电荷+q，穿过S2的电通量等于穿过以+q为中心的球面S1的电通量。,若任意曲面S2包围点电荷-q，同样可证明上述结论。,若任意曲面S2不包围点电荷，则,若任意曲面S2包围若干个点电荷，则,讨论：,1.式中各项的含义,S：封闭曲面高斯面；,：总场,S内外所有电荷均有贡献；,真空电容率（介电常数）,S内的净电荷；,只有S内电荷有贡献。,2.揭示了静电场中“场”和“源”的关系 电场线有头有尾,静电场的重要性质之一：静电场是有源场,3.真空中高斯定理,七、电场强度的计算,高斯定理的应用,1.分析给定问题中场强分布的对称性，判断能否应用高斯定理。,2.若能应用高斯定理，选择适当的高斯面（通常有球面、圆柱面等），并使高斯面通过拟求的场点。,3.根据高斯定理算出整个闭合面的电通量，及闭合面包围的电荷总量，求出场强。,例6-5、求半径为R的均匀带电球面（带电量为q）的电场分布。,解：场源电荷分布具有球对称性，过球外任一点P，作半径为r的闭合球面S（高斯面）。,对于球面内场强分布，过任一点P，作半径为r的闭合球面S（高斯面），由于S内没有电荷，故,例6-6、求均匀带电球体(q、R)的电场分布。,解：对称性分析,作以O为中心,r为半径的球形面S，S面上各点彼此等价，大小相等，方向沿径向。,以S为高斯面：,由高斯定理：,令,体电荷密度,例6-7、计算带电球层(R1,R2,)的电场分布。,解：选一半径为r 的球形高斯面S,由高斯定理,例6-8、求无限长均匀带电直线()的电场。,解：对称性分析：,P点处合场强垂直于带电直线,与P 地位等价的点的集合为以带电直线为轴的圆柱面。,高斯面：取长 L 的圆柱面，加上底、下底构成高斯面S。,=,0,=,0,由高斯定理,例6-9、求无限大均匀带电平面的电场(电荷面密度)。,解：,方向垂直于带电平面，离带电平面距离相等的场点彼此等价。,选择圆柱体表面为高斯面，如图：,=,0,根据高斯定理,得,均匀电场，其方向由的符号决定。,对称性分析：,小 结,1.真空中两个静止点电荷的库仑定律,2.电场,两个点电荷之间通过交换场量子而发生相互作用。场具有质量、能量和动量等。电磁场的场量子是光子。,3.电场强度,方向：与+q0受力方向相同。,是矢量，单位：N C-1 或 Vm-1,4.电场强度的计算,a.点电荷的电场,b.点电荷系电场,c.连续带电体电场,d.电场分布具有对称性的带电体,通常适用于无限长均匀带电直线、无限大均匀带电薄板、均匀带电球面和均匀带电球体。,电势和电势能,一、静电力的功,在以点电荷为场源电荷产生的电场中,场源电荷 q检验电荷 qo,静电力做功只与检验电荷起点，终点的位置有关，与所通过的路径无关。,此结论可通过叠加原理推广到任意点电荷系的电场。,专题讲座10,包括教材P171-181,二、环路定理,静电力做功只与检验电荷起点、终点的位置有关，与所通过的路径无关 静电力是保守力。,静电场强沿任意闭合路径的线积分为零。反映了静电场是保守力场。,凡保守力都有与其相关的势能，静电场是有势场。,三、电势能、电势,1.电势能,设静电场中a、b点的电势能为：,保守力做功等于势能的减小(增量的负值),势能具有相对性，令,约定：一般选取无穷远处电势能为零,电势能的单位:焦耳(J),一般选取,分析：,（1）静电场与场中电荷qo共同拥有。,（2）取决于电场分布。和场中检验电荷qo无关。可用以描述静电场自身的特性。,2.电势,是标量,单位：伏特（V）,静电场中某点电势等于单位正电荷在该点具有的电势能，或将单位正电荷由该点移至零势点过程中静电力所做的功。,3.电势差,点电荷q在静电场中a沿任意路径移至b过程中静电力做的功：,讨论：,（1）U 为空间标量函数；,（2）U 具有相对意义，其值与零势点选取有关，但Uab与零势点选取无关。,（3）电势遵从叠加原理：,即：点电荷系场中任一点的电势等于各点电荷单独存在时在该点产生的电势的代数和。,(零势点相同),(是标量,代数相加),四、电势的计算(两种方法),1.场强积分法(由定义求),(1)首先确定 分布;,(2)选零势点和便于计算的积分路径;常选无穷远或地球电势为零。,(3)由电势定义计算,例6-10.求点电荷q场中的电势分布。,解：,令,沿径向积分,例6-11.求均匀带电球面电场中任一点处的电势。设球面半径为R，总带电量为q。,解：已知其场强分布为,选取无限远处为电势零点，在球壳外任一点P距球心O为r,在球壳内任一点Q距球心O为r,2.叠加法(一)利用均匀带电球面的电势,例6-12.求如图所示的结构电场中任一点的电势。已知大、小球面带电分别为q1、q2，半径分别为R1、R2,解：带电球面的电势分布为,r R1,R2 r R1,r R2,3.叠加法(二),(1)将带电体划分为若干电荷元dq,(2)选零势点，写出某一dq在场点的电势的dU,(3)由叠加原理得,或,例6-12.均匀带电圆环，带电量为q，半径为a，求轴线上任意一点的P电势和电场强度。,dq,解：,在圆环上取点电荷dq,令,例6-11.一半径为R的均匀带电球体，带电量为q。求其电势分布。,解：由电荷分布可知，电场沿径向.,选择同心球面为高斯面，根据高斯定律得,S,例6-12.求无限大均匀带电平面()场中电势分布。,解：,电场分布,因为电荷无限分布，故在有限远处选零势点.令O点电势为零。,沿X 轴方向积分：,Ux曲线如图,五、等势面 电势梯度,1.等势面电势的几何描述,电场中电势相等的点组成的面叫等势面。规定相邻等势面之间的电势差相等。,2.电场线与等势面的关系,1)电场线处处垂直于等势面,在等势面上任取两点P1、P2，则,=0,2)电力线指向电势降落的方向。,3.电场强度与电势的关系,如图，电势分别为U和U+dU的邻近等势面。,如有正的试验电荷从a点移到b点，则电场力做功：,称电势梯度矢量，记为,电场强度的大小等于电势在该点最大空间变化率；方向沿等势面负法向，指向电势减小最快的方向。,沿等势面的法向方向，,故,场强的单位也可以是V/m,为等势面法向且指向电势升高的方向。,小 结,一、静电力的功,静电力做功只与检验电荷起、终点位置有关，与所通过的路径无关。,二、环路定理,静电场强沿任意闭合路径的线积分为零。静电场是保守力场。,三、电势能,一般选,四、电势,点电荷q在静电场中a沿任意路径移至b过程中静电力做的功：,五、电势的计算(两种方法),1.场强积分法(由定义求),2.叠加法(一)利用均匀带电球面的电势,3.叠加法(二),或,指导：P106 2、两点电荷q1和q2相距为d，若(1)两电荷同号；(2)两电荷异号，求两点电荷连线上场强为零的一点的位置。,解：（1）当两电荷同号时，场强为零的点必位于两电荷之间,故,又,（2）当两电荷异号时，场强为零的点必位于两电荷连线的延长线上，不妨设,指导：P106 3、线电荷密度为的均匀带电细棒AB被弯成半径为R的圆弧状，它所对的圆心角为2，如图6-19所示，求圆心O处的电场强度。,解：圆弧关于 y 轴对称，所以场强沿x方向抵消。,在圆弧上取一电荷元dq=dl，其在O点的场强为,dq=dl,故,指导：P106 4、线电荷密度为入的无限长均匀带电线被弯成如图6-20图形，若圆弧半径为R。求圆心O处的电场强度。,解：半无限长AB段在O点产生的场强为,半无限长CD段在O点产生的场强为,叠加后，Ex=0，Ey=0，只有BC段的场强不为零。,教材：P221 6-8、长l=15.0cm的直导线上，均匀分布着线密度=5.0 10-9C m-1的正电荷，求:(1)在导线的延长线上与导线B端相距d1=5.0cm处P点的场强；(2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距d2=5.0cm处Q点的场强。,解：建立如图的坐标系。,1)导线延长线上P点,2)导线的垂直平分线上Q点,任取电荷元,矢量分解：,统一变量：,对称性分析,Ex=0,教材：P2216-12、大小两个同心球面，半径分别为0.1m和0.3m，小球上带有电荷1.0 10-8C，大球上带有电荷1.5 10-8C，求离球心为0.05m，0.20m，0.50m处的电场强度,解：求离球心0.05m处的电场强度,作如图所示的高斯面,因为高斯面所围电荷为零，故,离球心0.2m处的电场强度,作如图所示的高斯面,离球心0.5m处的电场强度,作如图所示的高斯面,同样可求得,教材：P2216-13、两个无限长通轴圆柱面，半径分别为和，带有等值异号电荷，每单位长度的电量为。试求该带电系统的场强分布。,解：,指导：P106 5、一半径为R的球体内，分布着体电荷密度=kr，式中r是径向距离，k是常量。求空间的场强分布。,解：首先计算半径为r的球面所包围的电量。,作如图所示的球壳，球壳的半径为r，厚度为dr，则球壳的体积为,球壳的带电量为,半径为r的球面所包围的电量为,整个球体所带的电量为kR4,教材：P22220、电荷均匀分布在半径为的球面内,试证明离球心r处的电势为,解：由电荷分布可知，电场沿径向.,选择同心球面为高斯面，根据高斯定律得,S,指导：P106 6、如图6-21所示，AB=2R，R为半圆的半径。A点有正电荷+q，B点有负电荷-q。求：（1）把试验电荷 q0从O点沿OCD移到D点，电场力对它作了多少功?（2）把q0 从D点沿AD的延长线移到无穷远处去，电场力对它作功多少?,解：O点在+q的电场中的电势为,O点在-q的电场中的电势为,D点在+q的电场中的电势为,D点在-q的电场中的电势为,O点的电势为,D点的电势为,（1）,（2）,静电场中的导体,前面我们学习的是：已知电荷分布时的静电场。若静电场中有导体存在，情况会怎么样呢？,静电场,导体,相互作用相互影响,感应电荷,电荷重新分布,一、导体的静电平衡性质,1.金属导体的电结构,金属导体:由带负电的自由电子和带正电的晶格点阵组成。当导体不带电也不受外电场的作用时，只有微观的热运动。,热平衡特征：任意划取的微小体积元内，自由电子的负电荷和晶体点阵上的正电荷的数目相等，整个导体或其中任一部分都显现电中性。,电场重新分布,2.导体的静电平衡状态,静电感应：在外电场影响下，导体表面不同部分出现正负电荷重新分布的现象。,静电平衡：导体内部和表面没有电荷的宏观定向运动。,3.静电平衡的条件,1)电场特征：导体内部的场强处处为零。导体表面的场强垂直于导体的表面。电场线不进入导体内部，而与导体表面正交。,2)电势特征：导体内部和导体表面处处电势相等，整个导体是等势体。,4.静电平衡时导体上的电荷分布,在静电平衡下，导体所带的电荷只能分布在导体的表面，导体内部没有净电荷(未被中和的正负电荷)。,(1)实心导体在静电平衡时的电荷分布,(2)空心导体，空腔内无电荷,结论：导体内部没有净电荷，电荷只能分布在导体外表面。,结论：电荷分布在导体外表面，导体内部和内表面没净电荷。,(3)空心导体，空腔内有电荷q,内表面感应出,结论：电荷分布在导体内外两个表面，内表面带电荷-q，q=Q+q。,根据电荷守恒定律，外表面带电为：,Q是原导体所带电荷。,5.带电导体表面附近的场强,作高斯面，电场方向如图，,设导体表面电荷面密度为，,由高斯定理：,得,(1)处于静电平衡的导体，其表面上各点的电荷密度与表面邻近处场强的大小成正比。,+q,(2)静电平衡下的孤立导体，其表面处面电荷密度与该处表面曲率有关，曲率(1/R)越大的地方电荷密度也越大，曲率越小的地方电荷密度也小。,尖端放电:对于有尖端的带电导体，尖端处电荷面密度大，则导体表面邻近处场强也特别大。当电场强度超过空气的击穿场强时，就会产生空气被电离的放电现象，称为尖端放电。,静电吹烛：,二、空腔导体和静电屏蔽,1.空腔导体,腔内没有电荷,2）腔内存在电荷,接地的空腔导体可以屏蔽内、外电场的影响。,空腔导体起到屏蔽外电场的作用。,a.若空腔导体带电，电荷只分布于空腔导体外表面，内表面无电荷。,b.空腔内部场强为零,c.整个腔体是一等势体。,a.空腔内表面所带电荷与腔内带电体所带电荷等量异号。,b.导体内场强为零。,c.空腔内部的电场决定于腔内带电体，空腔外电场决定于空腔外表面的电荷分布,2.静电屏蔽：一个接地的空腔导体可以隔离内外电场的影响。,法拉第笼,防电磁辐射屏蔽服,军用屏蔽帐篷,防静电屏蔽袋,三、有导体存在时的E和U分布,例6-13.有一外半径R1、内半径R2的金属球壳,其中放一半径为R3的金属球，球壳和球均带有电量10-8C的正电荷。问：(1)两球电荷分布。(2)球心的电势。(3)球壳电势。,解：（1）电荷分布如图所示球面q,壳内表面-q,壳外表面2q,由高斯定律可得：,(2),(3),例6-14.两块大导体平板，面积为S，分别带电q1和q2，两极板间距远小于平板的线度。求平板各表面的电荷密度。,解：设四板面密度如图所示：,2,3,4,1,由电荷守恒得,考察A板中一点a,.a,由静电平衡条件，导体板内Ea=0。,.b,同理，B板中一点b：Eb=0。,(1),(2),(3),(4),联立(1)(2)(3)(4)解得,如q1=-q2,结果如何？,+,-,q,-q,三、电容和电容器,孤立导体的电容,真空中半径为R、带电量为Q的孤立导体球电势：,当R=常数时，,则,=常数,可见：导体处于静电平衡时，U一定,Q分布一定；同一U下，导体形状不同,Q 不同。-导体容纳电的能力：电容,定义：孤立导体所带电量Q与其电势 U的比值称：孤立导体的电容,单位：法拉，F=CV-1,物理意义:电容 C 反映导体容电能力。,注：只与导体本身的形状、大小和结构有关；与是否带电无关。,2.电容器及其电容,电容器电容：,极板电量q与极板间电势差U之比值,电容器的符号：,电容器：由电介质隔开的两金属薄片组成的导体组。,特点：将电场集中在有限空间,说明：(1)C 是描述电容器储电本领的物理量；(2)C 取决于电容器两板的形状、大小、相对位置及中间电介质的种类和分布情况；,(3)q为一个极板所带电量的绝对值，U为两极板板间电势差。,2)电容器的串联,等效电容：,结论：串联电容器的等效电容的倒数等于各电容的倒数之和。,电量均相等,总电量：,3.电容器的连接,1)电容器的并联,等效电容：,结论：并联电容器的等效电容等于各个电容器电容之和。,6-5 静电场中的介质 介质中的高斯定理,一、电介质的电结构和电极化,1.电介质的电结构,电介质：电阻率很大，导电能力很差的物质,即绝缘体。,电介质的电结构特点：分子中的正负电荷束缚的很紧，介质内部几乎没有自由电荷。,两类电介质分子结构：,无极分子：正负电荷中心重叠。,甲烷,有极分子：正负电荷中心分开,水分子,无极分子：,有极分子：,2.电介质在外电场中的极化现象,电介质极化:在外电场的作用下,介质表面产生电荷的现象。,极化电荷或束缚电荷,（1）无极分子的位移极化,无外电场时,在外电场作用下,（2）有极分子的转向极化,无外电场时,在外电场作用下,二、电极化强度矢量,描述介质的极化程度,电偶极矩,没极化时：,极化时：,定义电极化强度：,实验证明：电极化强度与介质中总电场成正比：,其中，e与E无关，取决于电介质的种类。,总电场,外电场,极化电荷的电场,1.电极化强度,1.电极化强度,2.电极化强度矢量与极化电荷的关系,理论表明,极化电荷为正电,极化电荷为负电,真空中的高斯定理：,介质中的高斯定理呢？,结论：均匀电介质表面产生的极化电荷面密度等于该处电极化强度沿表面外法线方向的投影。,三、有电介质时静电场的高斯定理 电位移矢量,介质中的高斯定理：,qi和qi分别为封闭曲面所包围的自由电荷和极化电荷。为空间所有自由电荷与极化电荷在封闭曲面S上各点的合场强,1.定义电位移矢量：,2.介质中的高斯定理：在任何静电场中，通过任意闭合曲面的电位移通量等于该曲面所包围的自由电荷的代数和。,讨论：1.介质中的高斯定理有普适性。2.电位移矢量D是一个辅助量，描写电场的基本物理量是电场强度E。3.特例：真空 特殊介质,真空中：,3.与 的关系,对于各向同性的电介质：,对于各向同性的电介质：,令,相对介电常数,介电常数,注：,是定义式，普遍成立。,只适用于各向同性的均匀介质。,真空中：,均匀介质中：,四、有电介质时静电场的计算,1.根据介质中的高斯定理计算出电位移矢量；,2.根据电场强度与电位移矢量的关系计算场强。,例6-16.如图所示,平板电容器极板面积为S，间距为d，板间有两层厚度各为d1和d2，介电常数各为1和2的电介质，则其电容为多少？如果d1=d2=d/2，则此时电容为多少？,解：由自由电荷和电介质分布的对称性知，介质中电场为均匀电场，D方向与带电平面垂直。选取圆柱形高斯面,金属板中，D=0，由介质中高斯定理,同理,如果d1=d2=d/2,6-6 电场的能量,一、电容器的能量,以电容器充电过程为例,电容器的能量,带电系统带电:,电荷相对移动,外力克服电场力做功,电场能量。,二、电场的能量 能量密度,以平板电容器为例：,V=Sd为电容器体积,电能是储存在(定域在)电场中。,1、电场的能量密度：单位体积电场所具有的能量。,2、电场能量：,注：该式对任意电场均成立。,教材P223 6-23、如图所示，半径为R1和R2(R1 R2)的同心球壳均匀带电，小球壳带有电荷+q，大球壳内表面带有电荷-q，外表面带有电荷+q，求：（1）小球壳内，两球壳间及大球壳外任一点的电势；（2）两球壳的电势差。,解：,（1）电场分布如下,故电势分布为,（2）两球壳的电势差,教材P223 6-27、两个均匀带电的金属同心球壳，内球壳半径R1=5.0cm，带电q1=0.6010-8 C，外球壳内半径R2=7.5cm，外半径R3=9.0cm，所带总电量q2=-2.010-8 C，求距离球心为3.0cm、6.0cm、8.0cm、10.0cm各点处的场强和电势。如果用导线把两个球壳连接起来，结果又怎样？,解：根据分析可知，外球壳的内表面带电q=-0.610-8 C，外表面带电q=-1.4 10-8 C,因为高斯面所包围电荷为零，故,同理可得,因而电势为,如果用导线把两个球壳连接起来，则只有外球壳外表面带电q=-1.4 10-8 C,教材P223 6-28、半径R1=1.0cm的导体球，带电q=1.010-10 C，球外有一个内、外半径分别为R2=3.0cm，R3=4.0cm的同心导体球壳，壳上带有电荷Q=11.010-10 C，试计算（1）两球的电势U1和U2；（2）用导线把球和球壳接在一起后，U1和U2分别是多少？（3）若外球接地，U1和U2各是多少？,解：(1)由高斯定理可得,q=1.010-10,q=-1.010-10,Q+q=12.010-10,(2)用导线把球和球壳接在一起后,(3)外球接地后,指导P109 3、一个半径为R1的导体球位于导体球壳中心，球壳内半径为R2，外半径为R3，如果整个内球带有+Q电荷，整个外球壳上带有-Q电荷，求：（1）球壳内外表面各分布多少电荷？（2）空间电势的分布。,解:(1)球壳内表面带电-Q，外表面不带电,(2)以高斯定理可计算电场强度,指导P109 4、半径为R1的导体球被同心的导体球壳包围，球壳的内外半径分别为R2和R3。若已知外球壳带总电量为Q，内球电势为U，试求内球所带的电量。,解：设内球带电为q，则外球壳内表面带电-q，外表面带电为Q+q,其他区域电场强度为零。,教材P224 6-30、在两极板相距为d的平板电容器中，插入一块厚度为d/2的金属平板（此板与两极板平行），其电容变为原来电容的多少倍？如果插入的是相对介电常数为r的平板，则结果又如何？,解：未插入金属板时的电容为,插入金属板时金属板内场强为零，电容器内其它区域场强不变，故电容为,如果插入的是相对介电常数为r的平板，则,介质中的场强为,指导P110 8、如图所示,一平板电容器的两极板间距为d,板面积为S，两板间放有一厚为t的电介质,其相对介电常数 r,介质两边都是空气,求：（1）该电容器的电容；（2）若两板极间的电势差U,则介质层内所具有的电场能量为多少？,解：（1）作如图所示的圆柱高斯面，,介质中的场强为,电容器内其它区域场强为,（2）因为,故,