福师《初等数论》第三章不定方程拓展资源.docx

福师初等数论第三章不定方程拓展资源本章的拓展资源为大家补充一些不定方程的相关知识，希望能对大家的理解起到帮助。定义不定方程是数论的一个分支，它有着悠久的历史与丰富的内容。所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组，其未知数的个数通常多于方程的个数。古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程。1969年，莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果。历史概述数论中最古老的分支之一。古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。研究不定方程要解决三个问题：判断何时有解。有解时决定解的个数。求出所有的解。中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的张丘建算经中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。百鸡问题说：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？设X,y,Z分别表鸡翁、母、雏的个数，则此问题即为不定方程组的非负整数解X,y,z,这是一个三元不定方程组问题。一次不定方程二元一次不定方程的一般形式为ax÷by=c0其中a,b,c是整数，abOo此方程有整数解的充分必要条件是a、b的最大公约数整除c。若a、b互质，即它们的最大公约数为1,(x,y)是所给方程的一个解，则此方程的解可表为(x=x-bt,y=y+at)It为任意整数。S(2)元一次不定方程的一般形式为alxl+a2x2+asxs=nal,，as,n为整数，且alasO°此方程有整数解的充分必要条件是al,，as的最大公约数整除n。二次不定方程二元二次不定方程本质上可以归结为求二次曲线(即圆锥曲线)的有理点或整点问题。一类特殊的二次不定方程是U2+2=z,2,其正整数解称商高数或勾股数或毕达哥拉斯数，中国周髀算经中有“勾广三，股修四，经隅五''之说，已经知道(3,4,5)是一个解。刘微在注九章算术中又给出了(5,12,13),(8,15,17),(7,24,25),(20,21,29)几组勾股数。它的全部正整数解已在16世纪前得到。这类方程本质上就是求椭圆上的有理点。另一类特殊的二次不定方程是所谓佩尔方程x2Dy2=l,D是非平方的正整数。利用连分数理论知此方程永远有解。这类方程就是求双曲线上的有理点。最后一类就是平方剩余问题，即求x'2-py=q的整数解，用高斯的同余理论来描述，就是求一2三q(modp)的剩余类解。高斯发现的著名二次互反律给出了次方程是否有解的判定方法。这类方程就相当于求抛物线上的整点。圆锥曲线对应的不定方程求解可以看做椭圆曲线算术性质的一种特例。商次不定方程对高于二次的不定方程，相当复杂。当n>2时，x+y=z没有非平凡的整数解，即著名的费马大定理，历经3个世纪，已由英国数学家安德鲁维尔斯证明完全可以成立。多项式不定方程与代数几何对于多项式不定方程，我们相当于求解某个代数簇上的有理点或整点等等。这样，一个数论问题就转化为某种几何问题。这种观点将数论与代数几何联系起来，是一种重要的数学思想。对于代数曲线来说，相应的不定方程是否有解的以及是否有无限个解，都与曲线的亏格密切相关。这就是著名的莫代尔猜想（由法尔廷斯证明）所包含的内容。亏格零的曲线就是直线和二次曲线，他们就对应了上述的一次和二次不定方程。亏格1的是椭圆曲线，它的算术性质和代数几何性质极为丰富。它将数论、复分析、代数几何、表示论等等都联系起来，是当代数学最重要的研究对象之一。与此相关的是千禧年七大数学难题之一的BSD猜想。著名的费马大定理的证明也与此相关。进展与学科联系近年来，这个领域更有重要进展。但从整体上来说，对于高于二次的多元不定方程，人们知道得不多。另一方面，不定方程与数学的其他分支如代数数论、代数几何、组合数学等有着紧密的联系，在有限群论和最优设计中也常常提出不定方程的问题，这就使得不定方程这一古老的分支继续吸引着许多数学家的注意，成为数论中重要的研究课题之一。