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电偶极矩（电矩）,例 1 计算电偶极子（two point charges)的电场强度,电偶极子的轴,（1）电偶极子轴线延长线上一点的电场强度,（2）电偶极子轴线的中垂线上一点的电场强度,已知：q、a、1、2。,解题步骤：,1.选电荷元,dq=d l,dE x=dE cos,dE y=dE sin,例2 求一均匀带电直线在 0点的电场。,5.选择积分变量,选作为积分变量,=-a ctg,l=atg a,无限长均匀带电直线的场强：,，,求：如图所示 点的电场强度,解：在坐标 x 处取一个电荷元dq,该点电荷在 p 点的场强方向如图所示大小为,各电荷元在 p 点的场强方向一致 场强大小直接相加,例3 长为 均匀带电直线,电荷线密度为,(方向向右),E是矢量，需分析dE方向。,讨论：,、若x=0,则E=0,、若xR,则,3.求极值：,、用于求其它具有球对称结构的带电体的电场分布,解：把圆盘分成很多半径不同的细圆环带，则可利用圆环电场的结论。,任取半径为r,宽为dr的环带，其面积,则环带带电量为：,该环带在p点产生的电场为,方向沿x轴。,由于各环带产生的dE方向均相同，故,当x R,则圆盘可视为无限大带电平面，其表面附近产生的电场为,与距离无关，为均匀场。,E,E,解题步骤：1、根据电荷分布对称性，分析电场强度对称性；2、选取合适的闭合曲面（高斯面）；3、利用高斯定理求电场强度E；4、分析电场强度分布特点。,Long uniform line of charge,线密度,对称性的分析,取合适的高斯面（同轴圆柱面）,计算电通量,利用高斯定理解出,（俯视）,计算面内电量,.均匀带电球面的电场Spherical conductor),（E为常量）,左：,右：,=0,依高斯定理：,（面内无电荷）,高斯面,均匀带电球体电场强度分布曲线,4.无限大均匀带电平面的电场 Infinite plane of charge,讨 论,利用,若已知在积分路径上 的函数表达式，则,（利用了点电荷电势，这一结果已选无限远处为电势零点，即使用此公式的前提条件为有限大带电体且选无限远处为电势零点.）,试求：将电荷,法一:积分法,(标量),法二:定义法,已知圆环轴线上场强,现将单位正电荷从p点沿x轴移至无穷远,(方向沿x轴),讨论:,1)x=0，环心处,结论：E=0，U不一定为零；U=0，E不一定为零。,2),点电荷电势,圆环轴线上x处,例3 求一均匀带电球面的电势。已知：,求：电势分布,解：定义法,rR,E=0,rR,先求电场分布，由高斯定理知,电势分布曲线。,场强分布曲线,结论：均匀带电球面，球内的电势等于球表面的电势，球外的电势等效于将电荷集中于球心的点电荷的电势。,直角坐标系中,为求电场强度 提供了一种新的途径,利用电场强度叠加原理,利用高斯定理,利用电势与电场强度的关系,物理意义,求：轴线上任一点的场强。,例1、已知均匀带电圆环轴线上任一点的电势为：,求：任一点的场强。,e,解：,例2 已知一点电荷的电势为：,真空中静电场小结1.两个物理量,2.两个基本规律,3.两种计算思路,1）积分法,2）高斯定理,电势定义,3）利用场强与电势关系,先作电势的标量叠加，,再对电势的某一方向微分，可求出场强在该方向分量。,4.注重典型场 注重叠加原理 场强的叠加 电势的叠加,点电荷均匀带电球面无限长的带电线(柱)无限大的带电面(板),Application of Biot-Savart law 用Biot-Savart law求解磁场,难点：三维，矢量。判断方向，选取适当坐标系，把矢量投影，算分量，再叠加,考虑一又细又直的导线，恒定电流为I,沿z轴放置，如图所示。确定其在P的磁场大小和方向。,Example1 Magnetic Field Surrounding a Thin,Straight Current,例1 载流长直导线的磁场.,解,方向均沿 x 轴的负方向,Solution:,的方向沿 x 轴的负方向.,无限长载流长直导线的磁场.,电流与磁感强度成右螺旋关系right-hand rule,半无限长载流长直导线的磁场,无限长载流长直导线的磁场,I,真空中,半径为R 的载流导线,通有电流I,称圆电流.求其轴线上一点 p 的磁感强度的方向和大小.,解 根据对称性分析,例2 圆形载流导线的磁场 Magnetic Field on the Axis of a Circular Current Loop,p,*,3）,4）,2）的方向不变(和 成右螺旋关系）,1）若线圈有 匝,磁偶极矩Magnetic dipole Moment,说明：当圆形电流的面积S很小，或场点距圆电流很远时，可把圆电流叫做磁偶极子.,圆电流磁感强度公式也可写成：,+,x,例3 载流直螺线管的磁场,如图所示，有一长为l,半径为R的载流密绕直螺线管，螺线管的总匝数为N，通有电流I.设把螺线管放在真空中，求管内轴线上一点处的磁感强度.,解 由圆形电流磁场公式,Magnetic Field of a Solenoid,If a long,straight wire is bent into a coil of several closely spaced loops,the resulting device is a solenoid,（1）P点位于管内轴线中点,(2)无限长的螺线管,（3）半无限长螺线管,或由 代入,EXERCISE 19.9 Suppose you have a 32.0-m length of copper wire.If the wire is wrapped into a solenoid 0.240 m long and having a radius of 0.040 0 m,how strong is the resulting magnetic field in its center when the current is 12.0 A?假设你有一段32米长的铜导线，被卷成一个长为0.240米、半径为0.0400米的螺线管，当电流为12.0安时其中心的磁场有多强？ANSWER 8.00*10-3T,Typical magnetic fields（几种典型的磁场）：,A long straight current,Loop current 圆心处,无限长直载流螺线管Solenoid,where n is the number of turns per unit length.单位长度匝数,9.1.4 运动电荷的磁场(电流产生磁场的微观本质)Magnetic field of moving charges,标量式,n:数密度,dv=sdl:体积,nsdl=dN,运动电荷产生的电场：,一个运动电荷产生的磁场,二 安培环路定理的应用举例 Application of Amperes Law,例1 求长直密绕螺线管Solenoid内磁场,解 1)对称性分析螺旋管内为均匀场,方向沿轴向,外部磁感强度趋于零，即.,无限长载流螺线管内部磁场处处相等,外部磁场为零.,2)选回路 Amperian loop.,磁场 的方向与电流 成右螺旋.,例2 求载流螺绕环Toriod内的磁场,The torus could be a solid material or it could be air,with a stiff wire wrapped into the shape shown in the Figure to form an empty toroid.Because the toroid has a high degree of symmetry,we categorize this example as an Ampres law problem.,当 时，螺绕环内可视为均匀场.,例2 求载流螺绕环Toroid内的磁场,2）选回路.,解 1）对称性分析；环内 线为同心圆，环外 为零.,令,例 3、无限长载流圆柱体的磁场，总电流强度为 I，电流在截面上均匀分布，求导体内外的磁场。,A long,straight wire of radius R carries a steady current I that is uniformly distributed through the cross section of the wire.Calculate the magnetic field a distance r from the center of the wire in the regions rR and r R.,I,I,d,S,j,B,0,R,r,解 1)当,I,0,R,B,r,2)当,B,r,R,0,例4 无限长载流圆柱面的磁场,解,例1 有一半圆形导线处于一匀强磁场之中，试求它所受的安培力。,解：,Upwards along the y axis.,解 取一段电流元,结论 任意平面载流导线在均匀磁场中所受的力,与其始点和终点相同的载流直导线所受的磁场力相同.,例 2 求 如图不规则的平面载流导线在均匀磁场中所受的力，已知 和.,例 3 如图一通有电流 的闭合回路放在磁感应强度为 的均匀磁场中，回路平面与磁感强度 垂直.回路由直导线 AB 和半径为 的圆弧导线 BCA 组成，电流为顺时针方向,求磁场作用于闭合导线的力.Force on a closed current in a uniform magnetic field.,由于,故,解：利用上题结论，圆弧受力为：,the net magnetic force acting on any closed current loop in a uniform magnetic field is zero.,例4 如图 长直导线过圆电流的中心且垂直圆电流平面 电流强度均为I求：相互作用力(interaction of the two currents),解：在电流上任取电流元(在哪个电流上取？),例5.无限长直载流导线的磁场对另一直载流导线CD的作用力。It is not a uniform field,（向上）,upwards,方向相反，但不在一条线上,如图 均匀磁场B中有一矩形载流线圈MNOP，受力和力矩分析如下：,线圈有N匝时,例1 边长为0.2m的正方形线圈，共有50 匝，通以电流2A，把线圈放在磁感应强度为 0.05T的均匀磁场中.问在什么方位时，线圈所受的磁力矩最大？磁力矩等于多少？,当平面线圈法线与磁场垂直放置时，磁力矩最大。为：,结论:均匀磁场中，任意形状刚性闭合平面通电线圈所受的力和力矩为(In a uniform magnetic field the force and torque on any rigid closed loop carrying current I are):,磁矩,M is the magnetic torque and m is the magnetic dipole moment.,例1 如图所示,球形电容器的内、外半径分别为 和，所带电荷为 若在两球壳间充以电容率为 的电介质，问此电容器贮存的电场能量为多少？,解,（球形电容器电容）,（1）,（2）,（孤立导体球贮存的能量）,例2 U 为稳压电源，为一电容为 C 的空气平行板电容器充电,在电源保持连接的情况下,试求把两个极板间距增大至 n 倍时外力所做的功。,解：因保持与电源连接,两极间电势差保持不变（the potential difference between two plates keeps the same while connecting to the battery),而电容值为,电容器储存的电场能量由,在两极板间距增大过程中电容器上带电量由 Q 减至 Q,电源作功：,在拉开极板过程中,外力做功为W2,根据功能原理:W1+W2=W,小结：,1、导体静电平衡条件。求电荷重新分布下的场强、电势分布。,2、导体组电容定义及求法。,设带电,3、有介质时高斯定理,（面内自由电荷）,D,定义法,4、电场能量,电场能量密度,例1 有两个半径分别为 和 的“无限长”同轴圆筒形导体，在它们之间充以相对磁导率为 的磁介质.当两圆筒通有相反方向的电流 时，试 求（1）磁介质中任意点 P 的磁感应强度的 大小;（2）圆柱体外面一点 Q 的 磁感强度.,解 对称性分析,同理可求,解:,在无限长直载流导线旁有相同大小的四个,矩形线圈，分别作如图所示的运动。,判断感应电流的方向。,思 考,例1 已知:,求:,均匀磁场 平动,解：,特例,闭合线圈平动,均匀磁场 平动,闭合线圈平动,直导线平动,均匀磁场 转动,Motional emf Induced in a Rotating Bar,解：,取微元,方向,例1：局限于半径 R 的圆柱形空间内分布有均匀磁场，方向如图。磁场的变化率,求：圆柱内、外的 分布。,用楞次定律判断E感方向：逆时针方向,由法拉第电磁感应定律：,解：,E感沿切线方向，对称性分析知：半径r相同处，E感大小相同。,在圆柱体外，由于B=0,由图知，这个回路包括柱体内部的面积，而柱体内,方向：逆时针方向,A long solenoid of radius R has n turns of wire per unit length and carries a time varying current,where Imax is the maximum current and is the angular frequency of the alternating current source Determine the magnitude of the induced electric field outside the solenoid at a distance r.,Solve it by yourself:,2023/4/23,3）自感的计算方法determination of the self inductance,Inductance of a Solenoid,2023/4/23,（一般情况可用下式测量自感）,4）自感的应用 稳流,LC 谐振电路,滤波电路,感应圈等.,单位长度的自感为：,例2 求一无限长同轴传输线单位长度的自感.,已知：,例1 两同轴长直密绕螺线管的互感 有两个长度均为l,半径分别为r1和r2（r1r2）,匝数分别为N1和N2的同轴长直密绕螺线管.求它们的互感.,设半径为 的线圈中通有电流,则,代入 计算得,则,则穿过半径为 的线圈的磁通匝数为,称K 为耦合系数coupling coefficient,耦合系数的大小反映了两个回路磁场耦合松紧的程度。由于在一般情况下都有漏磁通，所以耦合系数小于一。,在此例中，线圈1的磁通全部通过线圈2，称为无漏磁(no leakage)。,In general：,同理：,例 2.如图所示,在磁导率为的均匀无限大磁介质中,一无限长直载流导线与矩形线圈一边相距为a,线圈共N匝,其尺寸见图示,求它们的互感系数.,由互感系数定义可得互感为:,互感系数仅取决于两回路的形状,相对位置,磁介质的磁导率,若导线如左图放置,根据对称性可知,得,计算自感系数可归纳为三种方法:,1.静态法:,2.动态法:,3.能量法:,例 如图.求同轴传输线之磁能及自感系数The Coaxial Cable,可得同轴电缆的自感系数为,例:半径为R,相距l(lR)的圆形空气平板电容器,两端加上交变电压U=U0sint,求电容器极板间的(Displacement Current in a Capacitor):,(1)位移电流;,(2)位移电流密度Jd的大小;,(3)位移电流激发的磁场分布B(r),r为圆板的中心距离.,解(1)由于lR,故平板间可作匀强电场处理,根据位移电流的定义,另解,平性板电容器的电容,代入上式,可得同样结果.,(2)由位移电流密度的定义,或者,(3)因为电容器内I=0(no conduction current between two plates of the capacitor),且磁场分布应具有轴对称性,由全电流定律得,解 由明纹条件,Measuring the Wavelength of a Light Source,例2：用白光做光源观察双缝干涉。设缝间距为d，试求能观察到清晰可见光谱的级次。（白光波长范围390750nm),解：明纹条件,x0，中央白色明纹；两侧为彩色条纹再远处，各色光重叠，一片白色，看不到条纹,最先发生重叠的是某一级红光和高一级次的紫光：,（即正负各一级）,例1：两个同相的相干点光源、，发出波长为 的相干光，是它们连线中垂线上的一点，如图，现在 与 之间垂直插入厚度为、折射率为 的玻璃片。,（1）求两光源发出的光在 点的相差；,（2）若已知，点恰为第四级明条纹中心，求玻璃片的厚度。,解：,设、到点的几何路程为，则,（1）两光源到 点的光程差,（2）由题意，则,例2：双缝干涉中，入射光波长为，双缝至屏的距离为D，在一个缝后放一厚为b的透明薄膜，此时中央明纹处仍为一明纹，求该明纹的干涉级和中央明纹移动的距离.,O,解：,r,例 2、已知 如图，玻璃的折射率 n2=1.5，氧化膜 折射率 n1=2.21，膜的厚度为 t。用=632.8nm的激光 垂直照射，从 A到 B出现 11条暗纹，且 A处恰为一 暗纹。求膜的厚度 t。,玻璃,氧化膜,解,令 k=10，代入数据得,k=0，为第一条,最多能看到3级条纹。,解 由光栅公式,例1 用每厘米有5000条的光栅，观察钠光谱线,问：平行光线垂直入射时；最多能观察到几级条纹？,例 2、已知 波长=600nm垂直入射到光栅上，测得第二级 明纹衍射角=300，第三级缺级。求(1)光栅常数 d；(2)透光 缝的最小宽度 a；(3)可能出现的亮纹级数。,解 1、由,2、由,K是小于 3的整数,3、,可能看到的亮纹为,共五条。,例1.人眼的瞳孔直径约为3mm，若用视觉感受最灵敏的550nm波长的光，问：1)人眼的最小分辨角是多大？2)在教室的黑板上，画一等号，其两横线相距2mm，坐在离黑板10m处的同学能否分辨这两条横线？,解：1)最小分辨角为,2)设两横线间距离为x，人与黑板相距L，则两横线对人眼的张角为,因为0，所以距黑板10m处的同学看不清楚。,解(1),绿色,(2)透射光的光程差,红光,紫光,例 用氦氖激光器发出的波长为633nm的单色光做牛顿环实验，测得第个 k 暗环的半径为5.63mm,第 k+5 暗环的半径为7.96mm，求平凸透镜plane-convex lens的曲率半径radius of curvature R.,解,例 2、已知 如图，玻璃的折射率 n2=1.5，氧化膜 折射率 n1=2.21，膜的厚度为 t。用=632.8nm的激光 垂直照射，从 A到 B出现 11条暗纹，且 A处恰为一 暗纹。求膜的厚度 t。,玻璃,氧化膜,解,令 k=10，代入数据得,k=0，为第一条,例.在迈克耳逊干涉仪的两臂中分别引入 10 厘米长的玻璃管 A、B，其中一个抽成真空vaccum，另一个在充以一个大气压空气air的过程中观察到107.2 条条纹移动，所用波长为546nm。求空气的折射率(index of air)？,解：设空气的折射率为 n,相邻条纹或说条纹移动一条时，对应光程差的变化为一个波长，当观察到107.2 条移过时，光程差的改变量满足：,B管中原光程为,充以空气后光程变为,光程改变为,迈克耳逊干涉仪的两臂中便于插放待测样品，由条纹的变化测量有关参数。精度高(with very high precision)。,例1 有两个偏振片,一个用作起偏器,一个用作检偏器.当它们偏振化方向间的夹角为 时,一束单色自然光穿过它们,出射光强为;当它们偏振化方向间的夹角为 时,另一束单色自然光穿过它们,出射光强为,且.求两束单色自然光的强度之比.,解 设两束单色自然光的强度分别为 和.,经过起偏器后光强分别为 和.,经过检偏器后,若 在 间变化，如何变化？,例 1、一束自然光以 600角入射到玻璃表面上，若反射光是 完全偏振光，求透射光的折射角和玻璃的折射率。,解 由布儒斯特定律,折射角,玻璃的折射率,（2）取,（1）由维恩位移定律,（3）由斯特藩玻尔兹曼定律,由维恩位移定律,对宇宙中其他发光星体的表面温度也可用这种方法进行推测,例 1、已知 波长=450nm的单色光射到钠表面，求(1)这种 光子的能量；(2)逸出钠表面的光电子的动能。,解,光电子的动能为,例1 在一束电子中，电子的动能为，求此电子的德布罗意波长？,解,此波长的数量级与 X 射线波长的数量级相当.,解 子弹的动量,例 1 一颗质量为10 g 的子弹，具有 的速率.若其动量的不确定范围为动量的(这在宏观范围是十分精确的),则该子弹位置的不确定量范围为多大?,动量的不确定范围,位置的不确定量范围,例 2、由玻尔理论得到氢原子中电子的运动速率为 m/s,若其不确定量为1.0%，求电子位置的变化范围。,解 由,此值已超出原子的线度（10-10m），所以认为原子中的电子有确定的位置同时又有确定的速率，是无意义的。显然，由于微观粒子的波动性，谈核外电子的轨道已无意义。,例1.已知在一维无限深矩形势阱中，粒子的波函数为,则粒子在 x=5 a/6 处出现的几率密度为:1/2a,例2.一粒子在一维无限深势阱0 xa中运动，粒子的波函数为,（1）求归一化常数A,(2)如粒子处于基态，从阱宽的一端到离此阱二分之一的距离内粒子出现的概率是多少？,解：,例 1、将氢原子从 n=1的基态激发到 n=4的激发态，求(1)氢原子必需吸收的能量；(2)这原子回到基态时可能发 射哪些谱线？,解,如右图所示，从左至右，可能发射六条谱线,例 2、基态氢原子被外来单色光激发后发生的光仅有三条谱线,求此外来光的频率.,解 首先应确定氢原子被外来光激发后可能跃迁到的最高能级,由仅有三条谱线知:,