第二章数列极限12学时.docx

第二章数列极限（12学时）§1数列极限概念教学目的与要求1 .理解数列极限概念并利用定义证明数列是否收敛.2 .掌握无穷小数列概念并利用其证明数列是否收敛于指定的常数.教学重点：数列极限概念.教学难点：数列极限概念、利用数列极限定义证明数列是否收敛于指定的常数.学时安排:3学时教学方法：讲练结合。教学程序：若函数f的定义域为全体正整数集合N+,则称fNR或/（«）,n+为数列.因正整数集N+的元素可按由小到大的顺序排列，故数列/5）也可写作或简单地记为“,其中明,称为该数列的通项.关于数列极限，先举一个我国古代有关数列的例子.例1古代哲学家庄周所著的庄子天下篇引用过一句话：“一尺之梅，日取其半，万世不竭”，其含义是：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限制地进行下去.把每天截下部分的长度列出如下（单位为尺）：第一天截下第二天截下-V,，第n天截下工，这样就得到一个数列2222不难看出，数列*7的通项!随着的无限增大而无限地接近于0.一般地说，对于数列%,若当无限增大时明能无限地接近某一个常数。，则称此数列为收敛数列，常数。称为它的极限.不具有这种特性的数列就不是收敛数列.收敛数列的特性是“随着的无限增大，叫无限地接近某一常数。这就是说，当充分大时，数列的通项与常数。之差的绝对值可以任意小.下面我们给出收敛数列及其极限的精确定义.定义1设为为数列，。为定数.若对任给的正数£,总存在正整数N,使得当，>N时有Ian-a<则称数列凡收敛于定数。称为数列凡的极限,并记作Iim勺=，或z5oo）.读作“当趋于无穷大时，明的极限等于。或明趋于若数列4没有极限,则称列“不收敛,或称为为发散数列.定义1常称为数列极限的£一N定义.下面举例说明如何根据£-N定义来验证数列极限.例2证明Iim-L=O,这里为正数，一Sa证由于=一°=1，nn故对任给的£>0,只要取N=二-+1,则当>N时，便有百.<<BPI-0<.naNana这就证明了lim-=0.n例3证明rt=on-3分析由于9因此，对任给的£>0,只要一<£,便有9即当>一时，（2）式成立.又由于（1）式是在23的条件下成立的，故应取9N=max3,-.9证任给£>0,取N=max3,3.据分析，当>N时有（2）式成立.于是本题得证.注本例在求N的过程中，（1）式中运用了适当放大的方法，这样求N就比较方便.但应注意这种放大必须“适当”，以根据给定的E能确定出N.又（3）式给出的N不一定是正整数.一般地，在定义1中N不一定限于正整数，而只要它是正数即可.例4证明limq”=0,这里g<l.证若q=0,则结果是显然的.现设0<4<l.记a=1,贝J>0.我们有Ig一OI=I小一：(1+)rt并由（1+%）"1+刀得到l7<jr（4）1+nhnh对任给的£>0,只要取N=-,则当篦>N时，由（4）式得q"-0<e.这h就证明了Iimqn=0.wo注本例还可利用对数函数y=Igx的严格增性来证明（见第一章§4例6的注及（2）式），简述如下:对任给的£>0（不妨设£<1）,为使14"-Ol=Iqr<£,只要lgI夕<Ig£即>（这里也假定OVql<1）.Ig于是，只要取N=单一即可。Ig例5证明Iim加=1=1,其中>0.l00证3）当。=1时，结论显然成立.（ii）当>1时，记=。-1,则a>0.由«=(1+a)f,1+na=1+n(an-1)1-1an-1n.任给£>0,由（5）式可见，当>匕=N时，就有。7一1<£,即所以Hm加=1.P“TOO(iii)当0<vl时，上一I二4则>0由L=(I+夕)"1+"7=1+”Naa-a-1-a1得1一4L=；以<-2-（6）+-1.1+（-IM1+任给£>0,由（6）式可见，当>1+幺二=N时，就有1一。7<£,即|。,一1|<£.所以1加后=1.£关于数列极限的£一N定义，应着重注意下面几点：1. £的任意性定义1中正数£的作用在于衡量数列通项明与定数。的接近程度，E愈小，表示接近得愈好；而正数£可以任意地小，说明。“与。可以接近到任何程度.然而，尽管E有其任意性，但一经给出,就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出N,又£既时任意小的正数，那么£,3£或一等等同样也是任意小2的正数，因此定义1中不等式中的£可用,3威一等来代替.同时，正由于£是任意小正数，我们可限定£小于一个确定的正数（如在例4的注给出的证明方法中限定£VI）.另外，定义1中的an-aVg也可改写成-g.2. N的相应性-一般说，N随£的变小而变大，由此常把N写作N（E）,来强调N是依赖于£的；但这并不意味着N是由£所唯一确定的，因为对给定的£,比如当N=IOO时，能使得当>N时有Ia“则N=I（H或更大时此不等式自然也成立.这里重要的是N的存在性，而不在于它的值的大小.另外，定义1中的，>N也可改写成N.3. 从几何意义上看，“当>N时有”意味着：所有下标大于N的项勺都落在邻域U（a；£）内；而在U（a;£）之外,数列中的项至多只有N个（有限个）.反之,任给£>0,若在1）（0£）之外数列%中的项只有有限个，设这有限个项的最大下标为N,则当>N时有%U（,g）,即当>N时有an-a<.由此，我们可写出数列极限的一种等价定义如下：定义1任给£乂），若在U（a,£）之外数列“中的项至多只有有限个，则称数列%收敛于极限0.由定义1,可知，若存在某4>0,使得数列%中有无穷多个项落在US*。）之外，则勺一定不以。为极限.例6证明/和（一1）"都是发散数列.证对任何R,取=1,则数列M中所有满足>+1的项（有无穷多个）显然都落在u（a;q）之外，故知，/不以任何数。为极限，即a?为发散数列.至于数列（-1），当时取£0=1，则在U（w4）之外有（一1）”中的所有奇数项；当。时取£。=g-l,则在U（；£o）之外有（T）"中的所有偶数项.所以（一l）"不以任何数4为极限，即（一l）"为发散数列.例7设IimX“=Iimy”=,做数列如下：nn>2”：再，%，了2，当，乙，丁，一、证明IimZft=n证，因IimX“=Iimy=。,故对任给的£>0,数列乙和yll中落在Ua）之外的项都至少只有noo有限个.所以数列z“中落在U（0£）之外的项也至多只有有限个.故由定义L证得IimZzf=例8设/为给定的数列，2为对册增加、减少或改变有限项之后得到的数列.证明：数列"与4同时为收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等.证设“为收敛数列，且Iim,=按定义1,对任给的£>0,数列凡中落在U（；£）之外的项woo至多只有有限个.而数列2是对%增加、减少或改变有限项之后得到的，故从某一项开始，"中的每一项都是伍中确定的一项，所以俗”中落在U（a*）之外的项也至多只有有限个.这就证得Iim2=.t>现设%发散.倘若5收敛，则因%可看成是对5增加、减少或改变有限项之后得到的数列，故由刚才所证，/收敛，矛盾.所以当%发散时，4也发散.在所有收敛数列中，有一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下：定义2若Iima“=0,则称4为无穷小数列.n由无穷小数列的定义，不难证明如下命题：定理2.1数列,收敛于。的充要条件是：%-。为无穷小数列.IV小结与提问：本节要求学生理解数列极限概念，利用定义证明数列是否收敛、是否收敛于指定的常数.要求学生课堂上给出IimaZtWa和Iima,l不存在的“N”定义.wnV课外作业：尸272、3、4、6、7、8.§2收敛数列的性质教学目的：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法。教学要求：（1）使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性；（2）掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限。教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用。教学难点：数列极限的计算。学时安排:3学时教学方法：讲练结合。教学程序：引言上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证Iim4=。的方法，这是极限较基本的内容，要woo求掌握。为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题。还需要对数列的性质作进一步讨论。一、收敛数列的性质性质1（极限唯一性）若数列4收敛，则它只有一个极限。性质2（有界性）若数列q收敛，则4为有界数列。注：有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分重要条件。例如数列（-1）”有界，但它不收敛。性质3（保号性）若IimqI=。>0（或<0）,则对任何"（O,a）（或"（,O）,存在正数N,woo使得当>N时有（或性质4（保不等式性）设数列4与物均收敛，若存在正数N。，使得当>乂时有q",则IimazIIim。nacwoo思考：如果把条件”q4"换成"见<女”，那么能否把结论换成Iima“<limb”？一>2n<c保不等式性的一个应用：例1设0（=l,2,3,），证明：若Iim。=。，则IimJ7=<3OY思考：极限运算与一般函数运算可交换次序吗？性质5（迫敛性）设收敛数列4、"都以a为极限，数列%满足：存在正数N。,当>N0时有az12,则数列%收敛，且Iimt=.注：迫敛性不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求数列极限的工具。下面是其应用一例：例2求数列5；的极限。性质6（极限的四则运算法则）若q、也为收敛数列，则4+,4-2,4也都收敛，且有Iim（a±bll）=a±b=Iiman±Iimbll;QO-KCW0OnlO0TOO若再做假设“0及lim2w,w0>则数列%也收敛，且有bJIim(,f-bll)=ab=hmanmblt.Hm%，.蛆e"bIlmbtt/1>00特别地，若勿=c,则Iim(a”+c)=Iimalt+c,Iimcall=diman.noowoojqonoo在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则。下举几例；24÷ci,in÷+Ciyn+aa+i.,.C例3求hm,其中加%,qwW0,4W0.n00hkn+÷+Z>17i+求lim乙，其中wl.T8an+1例5求->4?).r111例6求Iim+r+."0o(r(“+if(2)J二数列的子列1.引言极限是个有效的分析工具。但当数列为的极限不存在时，这个工具随之失效。这能说明什么呢？难道qt没有一点规律吗？当然不是！出现这种情况原因是我们是从“整个”数列的特征角度对数列进行研究。那么，如果“整体无序”，“部分”是否也无序呢？如果“部分”有序，可否从“部分”来推断整体的性质呢？简而言之，能否从“部分”来把握“整体”呢？这个“部分数列”就是要讲的“子列”。2.子列的定义定义1设q为数列，故为正整数集N+的无限子集，且勺%为，则数列称为数列4的一个子列，简记为4.注1由定义可见，4的子列qjJ的各项都来自q且保持这些项在,中的的先后次序。简单地讲，从%中取出无限多项，按照其在q中的顺序排成一个数列，就是q的一个子列(或子列就是从q中顺次取出无穷多项组成的数列)。注2子列4中的为表示是。中的第项，Z表示品是4中的第k项，即4中的第k项就是“中的第仆项，故总有为%.特别地，若=Z,则。“二%,即，=o注3数列q本身以及(去掉有限项以后得到的子列，称为q的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为4的非平凡子列。如%,%都是%的非平凡子列。由上节例知：数列q与它的任一平凡子列同为收敛或发散,且在收敛时有相同的极限那么数列4的收敛性与的非平凡子列的收敛性又有何关系呢？此即下面的结果：定理数列4收敛Oan的任何非平凡子列都收敛。由此定理可见，若数列%的任何非平凡子列都收敛，则所有这些子列必收敛于同一个极限。于是，若数列(有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则数列4一定发散。这是判断数列发散的一个很方便的方法。§3数列极限存在的条件教学目的与要求掌握数列极限存在的单调有界定理、柯西(CaUChy)收敛准则，并会利用它们求极限、证明相关命题教学重点：单调有界定理、柯西(CaUChy)收敛准则.教学难点：单调有界定理、柯西(CaUehy)收敛准则的证明及应用.学时安排：4学时教学方法：讲练结合。教学程序：极限理论的两个基本问题：极限的存在性问题，极限的计算问题.本节将重点讨论极限的存在性问题.为了确定某个数列是否存在极限，当然不可能将每个实数依定义一一验证，根本的办法是直接从数列本身的特征来作出判断.首先讨论单调数列，其定义与单调函数相仿.若数列的各项满足关系式则称*为递增(递减)数列.递增数列和递减数列统称为单调数列.如为递减数列，/一为r+IJ递增数列，而则不是单调数列.定理2.9(单调有界定理)在实数系中，有界的单调数列必有极限.证不妨设“为有上界的递增数列.由确界原理，数列%有上确界，记=sup,J.下面证明就是4的极限.事实上，任给£>0,按上确界的定义，存在数列册中某一项生丫，使得又由”的递增性，当"N时有a-<aN<att.另一方面，由于。是“的一个上界，故对一切*都有<+E.所以当"N时有a-<an<a+,即Iima“=4.n同理可证有下界的递增数列必有极限，且其极限即为它的下确界.例1设,111ci=Ih1F.H,n1,2,，"2a3"na其中实数2.证明数列/收敛.证显然4是递增的，下证%有上界.事实上,1-22.31(n-)n=2-<2,=1,2,.n于是由单调有界定理，%收敛.例2证明数列,x2,J2+2+2+÷V2,两R号收敛，并求其极限.证记为=J2+亚+,易见数列“是递增的.现用数学归纳法来证明”有上界.显然6=v2.假设。“<2,则有川=,2+4反E=2,从而对一切有/<2,即凡有上界.由单调有界定理，数列*有极限，记为0.由于=2+。，对上式两边取极限得a?=2+，即有(«+lX«-2)=O,解得=-l或=2.由数列极限的保不等式性，Q=-I是不可能的，故有：Iim2+2+2=2.8例3设S为有界数集.证明：若SUPS=±S,则存在严格递增数列卜uS,使得Iimz=.J÷÷00证因。是S的上确界，故对任给的£>0,存在S,使得x>-e又因S,故XV,从而有a-<x<a.现取弓二1,则存在七S,使得a-x<X1<a再取£2=ming,-XJ>0,则存在/6S,使得a-2<X2<a,且有X2>a-2>a-a-xx)=xx.一般地，按上述步骤得到阳-S之后，取j=jL,-再则存在覆S,使得a-n<xn < a,且有X>c-f,a-(a-xtl)=xl上述过程无限地进行下去，得到数列*.uS,它是严格递增数列，且满足a-n<xn<a<a+nn-c<n-?=1,2n这就证明了Iimxn-a.n例4证明Iim(I+)存在.fn证先建立一个不等式.设b>4>O,对任一正整数有bn+l-an+l<(n+)bn(b-a)y整理后得不等式.(1)an+x>bn(n+)a-nb.以=1H-,Z?=1+代入(1)式.由于n+n(+)a-nb=(+1)(1+!)-7?(1+)=L/?+1n故有(1+)m+,>(1+-)m.n+1n这就证明了(1+-Y为递增数列.n再以=l,b=l+工代人(1)式，得In(n+)a-nb=(+1)-n(+)=.2n2故有1五+liln1-2、1 ,1五+<4,即数列,(l+上式对一切正整数都成立,即对一切偶数有1+LV4.联系到该数列的单调性，可知对一切正整数In），有上界.于是由单调有界定理推知数列（I+，）”是收敛的.n通常用拉丁字母e代表该数列的极限，即lim（l+）z,=e,oo它是一个无理数（待证），其前十三位数字是.e2.718281828与9.以e为底的对数称为自然对数，通常记InX=Iogt,x单调有界定理只是数列收敛的充分条件.定理2.10（柯西（CalIChy）收敛准则）数列%收敛的充要条件是：对任给的£>0,存在正整数N,使得当,机N时有,7<e.这个定理从理论上完全解决了数列极限的存在性问题，它的证明将在第七章给出.柯西收敛准则的条件称为柯西条件它反映这样的事实：收敛数列各项的值愈到后面，彼此愈是接近，以至充分后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数.或者形象地说，收敛数列的各项越到后面越是“挤”在一-起.另外，柯西收敛准则把N定义中“与。的关系换成了明与。,的关系，其好处在于无需借助数列以外的数。，只要根据数列本身的特征就可以鉴别其（收）敛（发）散性.例5证明：任一无限十进小数=04%"的位不足近似（=12,）所组成的数列b,b2,2.I10,10IO2,10IO210'满足柯西条件（从而必收敛），其中4为0,1,2,9中的一个数，Z=l,2,.证记%=&+与+包".不妨设>W,则有"10IO210in1、11=(1)<<I(T10FI(Ttn对任给的£>0,取N=L,则对一切>W>N有an-an,<这就证明了数列（2）满足柯西条件.IV小结与提问：本节要求学生理解掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限、证明极限的存在性.V课外作业：P383、4、6、7、9、Ik12.