浅谈函数极限的解法技巧及应用 论文.docx

浅谈函数极限的解法技巧及应用摘要：极限在我们高等数学中具有很重要的地位，它是微积分的基础，所以在很多题目中会涉及到极限的计算。这篇论文就研究了极限的几种特殊形式以及每种形式所对应的解题思想和公式，还有一般遇到计算极限的题目我们要如何下手解决以及一般的解题思路。最后，我还谈到了极限在一些方面的应用情况来帮助我们更加深入地了解极限。关键词：极限思想，极限类型，极限应用。引言：说到极限我们应该都非常熟悉，在我们的大学课堂中极限是经常陪伴着我们的,在很多与数学有关的学科中都会涉及到极限。其实极限的思想并不是我们到了大学才接触到的，极限也有着悠久的历史，追溯到古代，我们所熟悉的刘徽的割圆术也是一种极限的思想,只不过当时人们并没有系统的极限思维。如今，我们通过慢慢的学习才逐渐了解了极限。它是很多其他学科的基础，也是微积分的基础概念，我们常用极限的概念来分析和解决问题。不过关于极限的题目多种多样，灵活度很高，所以，我想对于极限的研究展开我的论述。在这篇论文中我总结了极限题目的几种特殊类型以及解决关于极限的题目时所用到的一些公式、定理和思想，从而形成系统的思想以便我们快速做题，然后也会谈到极限在一些领域的应用从而加深我们对极限的了解。一、函数极限的求解方法概述关于极限的题型多种多样，自然相对应的求解方法多种多样，但是只要我们掌握了其中求解极限的思想，那么题目再多也万变不离其宗，我们都能轻松的逐一突破。1 .用等价代换求极限等价代换是我们求解极限时优先选择的求解思想，这是最简单的也是最快捷的方法，我们只需要记得以下几种常见的等价代换就可以快速的解决问题：当XfO时：sinxarcsinxtanxarctanx1.n(1.+x)ex-1.-x;1I-COSX2X2；(1+QX)B-1Qx；ax-1.x1.na;x-sinx6x3；arcsin-6x3；1 11-tan-3X3；arctan-3X3；XTn(I+x)2X2当XfI时：InUUT总结：等价代换这种方法非常简便却有很多人经常误用，究其原因还是弄不清楚代换的原理和对象，还有就是对无穷小的等价概念不清楚。所以我们必须要注意等价代换只能代换在整个式子中的因式部分(例如，代换分子或分母整体)，所以我们要具备整体的思想，不能单单代换其中非因式的部分，其结果必然会错误。2 .用洛必达法则求极限洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，这样就简化了很多计算，使用起来很方便，是我们经常选择而且十分容易的求解方法。但是使用洛必达法则是要满足一些条件的：条件：A.分子、分母的极限都等于零或者无穷大，即x-*xf(x)-Iimx-*xg(x)-0或8B.分子、分母在限定的区域内分别可导，且g,(x)0;C.分子分母求导后的极限存在，或等于无穷大接着用洛必达法则，即1 fz(x)XxO存在或为贝IJ(X)8g，(X)XuJ¾g(x)XfXOg'(x)总结：洛必达法则的应用我们只需要注意使用它的三个条件就行了，只要满足我们就可以使用洛必达，计算也被简化，错误率较低，所以我们做题时只要套公式即可，难度不大也很难出错，因此被很多人使用。3 .用泰勒公式求极限泰勒公式是非常著名的公式，它可以将函数展开成无穷级数，因此可以将一些特殊的函数(例如，三角函数，指数函数，对数函数)展开成无穷级之后变成了普通函数，从而方便了我们的计算。以下就是极限中经常用到的泰勒公式：1X2X3Xn/、R二=一C-=1.+x+-÷-+O(Xn)；(-8,+OO)8(-1.)nX3X5sinx = Zn = O (2n + l)!X2n + 1 = x-+-* + (-, + )8(-l)nX2 X4COSX =I.n = 0 (2n)!X2n = i (-,+ 8)12 17tanx = X+ 3X3 + 15X5 + 315X7 + ( X7 ) ； X (-1, DX2n+ 1.、( X2n + 1 )；+(-1) n X2n (2n) !1.n(l+x)=E 8X2 2n= O n + IXn + 1 -(-1.)nX- + -+X3 3 (-l)nx < I n + 1 + ( Xn + 1 ) ； X(-1,1(1 + X) a (a -1)(a -n + 1)n!Xn ；8a ( a 1) ( a - + 1)a ( a 1)Zn = In!Xn= 1+ a × + (-1, 1)i1.-x= Zn = OXn =1.+X2 + Xn+C(Yn ) Y(-1,1)Zn= (1.)nXn = =i -1-X+X2X3 +*+ (1.)nXn(-1, 1)总结：泰勒公式是一个比较复杂的公式，它设涉及了高阶多项式还有余项，看着都是十分困难的。其中最令人头疼的事，当我们运用泰勒公式时经常不知道展开到哪一几阶，有时候展开不够或者展开过多往往都能得到一个看似正确的答案,然而正当我们沾沾自喜的时候却正好掉进了陷阱里，所以我们做题时一定要注意审题，展开到准确的阶数才能得到正确的答案。所以我们要牢记泰勒公式的两个展开原则:(1)分式上下同阶原则：如A“B”型，如果分子(或分母)是X的k次方，则应把分母(或分子)开到X的k次方，可称之为“上下同阶”原则。(2)加减幕次最低原则：如“A-B”型，将A、B展开到它们的系数不相等的X的最低次嘉为止，即两式相减不为零即可，则称之为“塞次最低”原则。4 .无穷小的比较定义，设Q及B都是同一个自变量的变化过程中的无穷小。如果Iim=0,就是说B是比Q高阶的无穷小，记为B=o(a)；如果IinIa=8,就是说B是比Q低阶的无穷小；如果Iima=C0,就是说B与Q同阶无穷小；如果Iimak=c0,k>0,就是说B是关于a的k阶无穷小；如果IinI-=1,就是说aB与a是等价无穷小，记为Ba。5 .用拉格朗日中值定理求极限拉格朗口中值定理在数学中有很重要的作用，它的中值定理经常被用来解决不等式等问题，其实中值定理在处理极限问题的时候，也有着十分独特的功能。拉格朗日中值定理：若f(x)在闭区间Mb上连续，在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少有一点g(a<<b),使得f(b)-f(a)=fz()(b-a)总结：拉格朗日中值定理优点在于其中值的巧妙选取，这样就把原本的未知变量转化为一个确定的数，大大降低了题目的难度，具有很神奇的独特作用。但是，这个定理使用起来却并不简单，很多学生都不知道如何下手使用该定理，往往找不到f(a)和f(b)O这就要求我们慢慢培养我们的数学思维，一般遇到函数中含有减法的都可以尝试用中值定理，然后选取适当的g的值，问题就迎刃而解了。最后要提高对这个定理的敏感，当我们遇到用熟悉的方法解决不了的问题时，大可尝试中值定理,多做多练便可提高自己的数学能力。注意：函数f(x)一定要满足在闭区间上连续，在开区间内可导，那么在开区间内就能找到一点使得f(b)-f(a)=fy()(b-a)(a<<b)0二、函数极限的几种特殊类型关于极限的题目应该说是千变万化的，灵活度非常高，可能只是随便换了一个数字、一个字母，题目的解法就发生了变化。所以我们仅仅靠多做题这种题海战术来掌握函数极限应该说是有点“笨拙”的，甚至是只能达到事倍功半的效果,因此我们需要分析每一个题型找到对应的解决方法。例：求IinIX + 81+ X2）X以下就是函数极限的几种类型:OOO1型；-型:on解题思路：等价代换，洛必达法则，泰勒公式；对于:型还可以分子分母同8除最高阶的无穷大。例：求Iimj一V->+OO右T1.××解：Iimx3Xf+8则)"2.O-8型：O8再伸田洛必以法解题思路：化成-型或-型，即O-等价代换，泰勒公式。例：求IimX-O-x1.nx解：-InxX-二O（先化为8解:1.IimX- + ( + 1 + X2)X = e X 81.rt3(x + 1 + 2)eA,a, 1.n (x + Jl + x2)A= Iim XT + CO1 _XIim-i ÷ 7原式=A=eo=1（利用洛必达法则，再利用公式）5.18型：解题思路：利用公式Iimf(x)g(x)=eA,A=Iimg(x)f(x)-1.1例：求Iin1.XTo(COSX)X21cosx-11.imx2=,解：IimX-O(COSX)x2=1cosx-1-sinx-CoSX1A=Iim=_XfO-Iim2x=Iim221.原式=eA=e-2(利用洛必达法则，再利用公式)6.恒等变形：解题思路：式子本身加加减减使它的值不改变，但通过重新组合来便于计算。例:求I-cosxcos2xcos3xIim2解：1-cosxcos2xcos3x-(1.-cosx)+(cos-cosxcos2x)÷(cosxcos2-cosxcos2xcos3x).1_11-cosx1Cosx(1.-cos2x)11-11iJJX2_9TC,.cosxcos2x(1.-cos3x)1.-cos3x9913=Iimx2-*0-14m原式=I1+I2÷I3=7(先恒等变形，再分别计算)7.正三角型：Xn分子项数少所谓正三角型是指：-(m>n)或者Vm公用陋新文解题思路：把正三角型变为倒三角型，即利用倒代换。1例：求:解：令t=-,Vx.后TX.e-tt5050t4950!1乐工1-1im.1.1一八1.+8=1im=Iim=二IIm-U（利用倒代换把正一三角变为倒三角，再多次利用洛必达法则）,总结：函数极限的题型多种多样，我们要牢记这几种类型，遇到题目可以快速判断出是哪一种题型，并用相应的解法计算出来。在计算中我们首选的还是等价代换，因为用来等价代换之后通常可以化简题目，这样也便于我们看出函数极限的类型从而方便解题。三、函数极限的应用极限的应用是非常广泛的，这并不是说到处都用到了极限，而是极限的思想在很多领域都会用到，我们也要学会用极限的思想看问题。下面我们就谈一谈极限在几个方面的应用。1 .极限在数学上的应用判断函数图像特点函数图像能够很好的反映出该函数的所有性质，可以让我们能够直接的观察到函数具有的特点。但是往往有很多复杂的函数我们是很难画出它的图像的,所以我们要学会借助其他方法找出函数重要的特点，再根据一些其他信息大致画出函数的图像。其中极限就是一个非常好的工具，极限可以用来判断函数图像是否连续，有没有间断点。首先我们要知道间断点的类型：A.第一类间断点：可去间断点：左右极限都存在且相等。跳跃间断点：左右极限都存在但不相等。B.第二类间断点：无穷间断点：左右极限至少有一个为8。震荡间断点：左右极限至少有一个不存在，且不是无穷间断点。解题思路：先判断函数是否为分段函数，找出分段点和无定义点，写出函数在这些点的极限值，从而判断函数的间断点。Ix1.例：求f（X）=的间断点个数。解：函数的无定义点有：x=-1.,0,1；没有分段点。(1)在X=O时:IXI-1ex1.nx-1.x1.nx|1IirnX(X+1)1题x-1imx(x+DiiIx1.-IimX(X+)if3=Iim+1-1XO»A»WA(Vx-fcO时，XIn1.X1.f0,：,exinxTx1.nxI),所以x=0是可去间断(2)在x=1.时：.IXIX-1ex1.n1.x1.-1.x1.nIXI11x-1.1J1(+1)In回X-Iimx(x+Dirt1.x-Iimx(x+1)1.nIxI=IinIX+1=“一19(V-*1时，XIn1.X1.f0,：exinxTX1.n1.X1.),所以x-1是可去间断(3)在x=-1.时：.x-1.ex1.nx-1.x1.nx1x2x(x+1)1题x-1imx(x+1)1I!Ix：-IimX(X+D1.nE1.=IimX+1=°o1f1Yf-I(V->-1.时，X1.n1.X1.f0,：exinx-1.x1.nx),所以X=-I是无穷间断点。综上，函数f(x)一共有两个可去间断点，一个无穷间断点。2 .极限在生物学中的应用在生物学中我们经常用极限来预测生物的灭绝和增长。最早接触的是生物群的线性迭代，在最一开始很多生物没有天敌再加上适合生存的环境，所以很多生物都会呈线性快速增长，这就是所谓的生物群爆炸。但是到了后来，经过生态环境的变化和物种的增多，在物竞天择适者生存的生存法则下很多生物都面临着种族的灭绝。这里所讲的灭绝就相当于生物群发展的极限是0,所以我们可以将生物群的发展转化为数学模型来进行研究。通过极限我们甚至可以清楚的计算出某个物种准确的灭亡时间或者该物种以后的发展趋势。所以，当我们面对珍贵的稀有动物时，可以通过极限预测其以后的发展趋势,从而采取相应的对策来保护稀有动物免于灭绝。当然，极限在生物学中的作用不仅能保护稀有生物，从整个生物界来说，我们可以预知到所有生物的发展，通过采取合理的人为干涉才能使生态环境变的越来越和谐美好。这就是在生物学中所蕴含的极限思想，不过极限在生物学中的应用还是很复杂的，它还包括了很多其他需要考虑的因素，所以我们灵活运用的只是极限的思维。例：人体的极限温度：(1)环境温度极限：大约116这是人体置身期间尚能呼吸的温度。(2)最低体温极限：大约14.2一一正常人的腋窝温度下限通常为36.5°Co(3)最高体温极限：大约46.5正常人的腋窝温度上限通常为37.4°Co3 .极限在体育中的应用说了很多极限在各个领域的应用，感觉都离我们生活很远让我们难以理解。那么我们就来讲一下极限在体育中的运用。奥运会是大家熟知的一个体育运动会，它本着更快、更高、更强的精神不断地挑战和刷新运动员的极限。这里所说的极限是无法用简单的数学公式来表示的，更无法用数学理论严格预测，但是这也正是体育魅力所在。若是运动员的极限能够被准确的预测出来，那还怎么会有紧张地观看体育赛事的观众们，这同样也失去了体育竞争的意义。所以这种很神秘、很独特的极限却更能吸引人们的目光，运动员们通过一次次不断地努力来一次次刷新成绩、打破纪录，不断地逼近自身极限。这样刷新纪录，保持记录，再刷新纪录的过程和数学的发展是多么相似，数学也是经过认识,研究，突破，再认识，再研究，再突破这样一个螺旋上升的过程不断发展的。虽说体育中的极限不是我们能够准确预测的，但是在任何体育项目中，由于人的体能、重量、身高等因素的限制下还是会存在一个人体极限。而在人体极限和运动员的记录之间的突破才是我们最值得关注的，也是最有意义的。例：(1)博尔特，一次次刷新世界纪录，在田径史上留下不可复制的传奇。100米，9.58秒；200米，19.19秒(2)刘翔，国人的骄傲，创造了第一个属于亚洲人的极限记录。110米跨栏，12.95秒(3)伊莲娜.伊辛巴耶娃，28次打破女子撑杆跳世界纪录。女子室内撑杆跳，5.01米(4)迈克尔.菲尔普斯，人称飞鱼，他以26金6银1铜的成绩冲击着我们的世界观。200米蝶泳，1分51秒51；400米混合泳，4分03秒84；100米蝶泳，49秒82他们站在世界的顶端，创造的记录前无古人，他们不仅仅是数字的代表，他们是体育界的骄傲，是人类的极限，是传奇！参考文献1梁昌洪：话说极限M.北京：科学出版社2008年版。2马建国：数学分析M.北京：科学出版社2011年版。3徐利治：微积分大意M.大连：大连理工大学出版社2007年版。4 陈纪修，於崇华：数学分析第二版下册M.北京：高等教育出版社2014年版。5 陈纪修，於崇华：数学分析第二版上册M.北京：高等教育出版社2014年版。6杨奇，毛云英：微积分及其应用M.北京：机械工业出版社2006年版。7傅溥:中国数学发展史W.中华文化丛书1982年版。8钱宝琮：中国数学史M.北京：科学出版社1964年版。9陈仁政：说不尽的nM.北京：科学出版社2005年版。10龚昇：从刘徽割圆谈起M.北京：人民教育出版社1964年版。VInVIT11,，一Y）8-Xfo,_XfO'XX*0-*0x2型，再用洛必达）3.8-8型：解题思路：若有分母，则通分；若无分母，则创造分母再通分(使用倒代换)；若是含有根号的减法，则要有理化。11例：求IimX1(x-1-1.nx)111.nx-x+1,_i1*12X-I_I-X解：XT(x-1.-1.nx)=_1；：(XTw_IiMr1.+inx-r=HmX-IXf1.Xf1.XXf1.1O=-(先通分化为2。型，再用洛必达法则)4.80；Oo型：IimXIOC