浅谈平面幻方填法 论文.docx
平面幻方填法安徽省阜阳市颍州区三合中心学校杨志强2021.10.8摘要：幻方是一种很有趣的数学游戏，古今中外诸多学者对之研究，取得了成果，而我国在这方面的研究在世界上也一直处于领先地位。现在把平面幻方三种类型填法分享给大家。关键词：平面幻方填法。姓名：杨志强浅谈平面幻方填法幻方是一种中国传统游戏,旧时在官府、学堂多见,中国在幻方的学术研究上取得了一系列重大成果,很多研究成果领先于世界幻方研究同行。现在就平面nn阶幻方的填法谈谈自己的一点见解与大家共勉。一、幻方概念：幻方是一种将连续自然数填入nn方格内，使每行、每列及对角线上的数字之和都相等。二、n×n（n3的整数）阶幻方分类：奇幻方、单偶幻方、双偶幻方三类。1、 当n为奇数时叫做奇幻方。2、 当n能被4整除时叫做双偶幻方。3、 当n不能被4整除的其它偶数时叫做单偶幻方。三、幻和、互补数、正顺填、逆顺填1、 幻和：幻方中任意一行（或一列或一条对角线）上各格中数字之和叫做幻和，计算公式：幻和二妁山I。22、 互补数：如果两数之和等于幻方中最小数与最大数之和，那么这两个数叫做互补数。3、 正顺填：把数按照从小到大的顺序从左向右、从上至下依次填入方格内叫做正顺填。4、 逆顺填：把数按照从小到大的顺序从右向左、从下至上依次填入方格内叫做逆顺填。四、n×n阶幻方填法下面分奇幻方、单偶幻方、双偶幻方三类来谈（-）奇幻方的填法方法一：右上填法（也称罗伯法）“1”居上行正中央，“2”填在“1”的右上方一格，“3”填在“2”的右上方一格，以此类推，右上方没有空格了就填在右方一列的最下面一格，右侧方没有空格了就填在上一行的最左一格，在上方有数字了就填在这个数字的下面，如果填到了最右上的位置，也一样把下一个数字填在右上数的下面，现以n=3,n=5为例，具体填法如图（1）、图（2）所示。3x3幻和二15图1172418152357141646132022101219213111825295x5幻和二65图2方法二：马步法“1”居上行正中央，向右走1步，并向下走2步填入“2”，接着向右走1步，并向下走2步填入“3”,依次类推填到“n”，填到最下2面行，如果右边有列就填在它右列的上面第二个格子里，右边没列了就填在最左列上面第二个格子里；填到下面第二行，如果右边有列就填在它右列上面第一个格子里，右边没列了就填在最左列上面第一个格子里；如果填到最右列就反填到最左列隔一行的格子里；如果所填的格子里有数了就填在这个数下面一个格子里，现以n=7、n=9为例,具体填法如图3、图4所示。4631161422712539249433520134732172362821640251044292214483318337301574126114538238493419477583920172533415668493011736344251678594021264543526769503112745545361779604122365463727870513213755647281880614223466573819971523314767X7幻和二175 图3674829108162432459X9幻和二369图4（二）单偶幻方填法n×n（n=4m+2,n为偶数、m 1的整数）1、 先将n×n阶幻方划分为A、B、C、D四InX1.n阶的奇幻方区域。2、 把数按照从小到大的顺序依次分为个数相等的a、b、c、d四组，然后按奇幻方填法（罗伯法）分别填入A、D、B、C四个区域内。3、 把左边m列和右边（m1）列上下两个区域内的数上下平移对调，且左边上下两区域正中央一个数对调，与它3516261924332721232531922227208283317101530534121416436291318116×6幻和二111 图 5 (1)CD6×6幻和二111调换后图5(2)1724181567745158652357141673555764664613202254566370721012192136062697153111825296168755259929976839042492633409880828991483032394179818895972931384547858794967835374446288693100778436435027341O×1O幻幻二505上面为图6(1)下面为图6(2)调换后9299181567745158409880714167355576441796882022545663704785871921360626971288693252961687552341724768390424926336523582899148303239664811395973138457210129496783537444653111810077843643502759(三)双偶幻方填法n×n(n=4m,n为偶数，1的整数)。方法一:互补调列法1、 先将n×n阶幻方等划成上下两个区域，把数正顺填入上半区个格子里。2、 把已填入的数的互补数填在它们关于水平中线对称的空格里。3、 适当调换关于竖直中线对称的某些列即完成。说明：（1）上述方法除n=4不适用外，其余双偶幻方均适用。（2）因调换前各行、各列上的数字之和均等于幻和，而两条对角（3）相差的数是调换列的依据。125960616278910515253541516171843444546232425263536373831324039302928273433484722212019424156551413121150496463654358578X8幻和二260图7(1)8259616062711610515352541592418434544462317322635373638312533393028292734404147222021194248495514121371150565763645358648×8幻和二260图7(2)调换后方法二：正逆法1 先将nxn(n=4m)阶划分为m个4X4阶幻方。2 、连接所有4X4阶幻方的对角线，把数正顺填入对角线所过的格子里，然后再把数逆顺填入对角线不过的格子里即完成。现以n=4、n=8为例，具体填法如图9、图10所示。8101151332164×4幻和=34图96362*5958*5653524948X4544*41X39383534X333130272624产2120X产1716X1312X976328×8幻和二260图10
