同构带你从本手走向妙手 论文.docx
同构带你从本手走向妙手摘要：对今年高考压轴题进行研究，发现几个不同类型的问题，都可以借用同构的方法来解决，对学生的素养导向、能力培养以及今后的教学具有一定的启发。关键词：同构；函数性质；求参数；证明不等式2022年高考落下帷幕，不落俗套的高考数学试题，以其新颖、灵活、难度引起国人瞩目。今年的高考数学试题很好地落实了从“知识立意”、“能力立意”向“价值引领，素养导向，能力为重，知识为基”转变的命题理念。数学科目中的压轴题更是在思维深度、广度方面体现了对数学素养中关键能力的考察。只有领会题目背后的数学思想，数学方法，才能有效地提升数学能力。分析今年的高考试题，我们发现这些试题当中有着共同的特点：大部分都含有对数式与指数式，不由得让我们想到他们之间的互化，而解决这类问题，同构法通常是一个好的解题策略，同构就是通过合理的整理、变形使函数的解析转化为我们熟悉的函数模型，或者把题干中的方程、不等式通过合理变形使得代数式的两边呈现出相同的结构，即把代数式变为fgx()与/力x()的关系，可将相同的结构构造成函数(),进而利用函数x()的单调性、最值等手段解决参数的取值范围、函数零点、不等式等有关问题。下面我们就以2022年高考数学试题举例如下：1.利用同构求参数的取值范围(2022全国乙卷理科)21.已知函数"()=In(I+x)+axe-x(1)略；(2)若"()在区间(1,0),(),+¥)各恰有一个零点，求4的取值范围。分析过程：我们只从同构的角度来思考，令x=0,方程中指数、对数均有，但结构并不对称，只需尝试构造一下，便会出现对称结构，此题便可以用同构法来求解。解析：(2)f=O得n(1.+x)+0Xe-X=0,1.n(1.+x)+tzx+-1)e-x=,由n1.n(1.+x)+x+)e'x='x，a1.n(,+'x+支)-/)=*+-x)左右结构相同zz>Q(y(1设gf='+f,则gf=ae1.+1»(当。3。时，gt>o,g/在R上单调递增；/、/、>0，gt单调递增；当O<v X ,所以tn=-x 1，则21I1当QVO时，令gt,得f=-当寸，gt1.n()ri(1.n-二1)时，gt<0,gf单调递减；(OO因为函数fx()在区间(1,0),(0,+¥)各恰有一个零点，不妨设Ivx(In(I+x)-x1)=ae'x÷-)成立，设机=In(I+x)x11111v<2V1,此时，=e'"W-什(1,0)只有个解戊，且gm)=g用)，由上述的单调性可知I=1.n(-，)V1,得av-，。ae同理a/，；+Am+X2)-/)=ae2+-½)成立，设=In(I+2)-x，n=-x2»则1.c1“1V22H2<n<0,此时，x=e>"21i(0+¥)只有一个解2X，且g)=g2),由上述的单调性可知I=1.n(-1.)V0,得aV-1。a综上所述：若fx在区间(1,0),(),+¥)各恰有一个零点，求的取值范围是(¥，1)。点评：我们在已知不等式、单调性、最值、值域等求参数时都可以尝试着利用同构法，尤其是指对数混合型的题目，可以很好地化繁为简，求出结果，也很好地培养了学生的想象能力和创造能力。2 .利用同构法证明极值点偏移(2022全国甲卷理科)21.已知函数f()二(1)若f30，求。的取值范围;(2)证明：若f有两个零点XJn2,则XXVI。O、1分析过程：(1)根据指对互X=?容易发现能将表达式化成相同的结构形式，看成一个整体呈现出我化C们熟悉的函数；(2)利1)=fr2)将不等式转化为同一个变量的式子，然后再利用该函数的性质进FF1.行求解。e×tX-1»解析：fx=nx+-a=t'1.nv+-Inx-a>令.=gx=-Inx,则gxIOOIHII1.kIC«.tAZ.*rr、M-1,«.«tAZ.*rnA.IJU1.1.1.»I,.TC，即证gX?)I')，又因为gX)=gX2),则可证gX)K)，构造成同一变量,gx1.gx1+ 1 (IT)=-1 2>0, X X2 (IX设zx=gj,1),hx=g+3g)()()gOOX火)所以Ox在(M)上单调递增，gx<g(1.)=0,即gx)1<)，所以XxV1.得证。OOIgx1.21点评：极值点偏移与拐点偏移也是近几年的高考的热点和重点，如果能够熟练地运用同构，再结合函数的性质就很容易解决了，培养了学生灵活运用函数的性质，也提高了学生的逻辑思维能力。3 .利用同构证明等差(比)数列(2022全国新高考1卷)22.已知函fx=1_以和gx-Inx有相同的最小值。(1)求(2)证明：存在直线y=b,其与两条曲线y=fr和y=gx共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列。分析过程：(2)根据指对互X=CmX容易发现能将g的表达式化成与fx相同的形式，根据单调性就可以找到他们之间的内在联系，从而让问题得到解决。解：由(1)解得1；(2) fx()=eX-x,g()二-InX=eIn1.In因为于¢()=e1贝Jfx()=ex-x在(-¥,0)上单调递减，在(0,+¥)上单调递增。故gx()在(01)上单调递减，在(1,+¥)上单调递增。它们都有最小值为，故1b>o直线y=b与两条曲线y=fr()和y=gx()共有三个不同的交点，直线y=b必过两曲线y=fxO与y=g()的交点，不妨设横坐标为不<<2<vx3,则有ex-X=eXi-Xi,X2-1.nx2=x3-1.nx3,因为ex2%2=%21.nx2=enx21.n12结合单调性故x=nx；因为超22=X21.nx2=X31.n43,又Cx1.%2=ex21.nex2结合单调性故xe2=3；又由超2-X2=X2-1X2知,te2+1.nx2=2x2，由所以x+X3=2x所以存在直线y=4其与两条曲线y=x()和y=gx()共有三个不同的交点，并且从左到右的个交点的横坐标成等差数列。点评：利用同构达到剥丝抽茧、化繁为简，有很巧妙的效果，这在比较值得大小，以及求和中经常出现。4 .利用同构证明不等式和比较值的大小（2022北京卷）20.已知函数"（）：=K1.n（x+，（1）略；（2）s=/¢（）,讨论gx在（0,+¥）O上的单调性；（3）证明：对任5/1（0,+¥）,有A÷>fs+ftO-e.，、，、分析过程（3）右边是两个函数值相加，于边构造成是将左边化成两项的和。左任,设5+> fs + OSti (0,+¥),有 fsfs+ +Fxfx1.一,x>0,则ft»故同构I（） I工>£, "Z)÷ ft ，3要O O 证÷O> fsFxOGx_AgX - f() =gX+ xgX -/¢()= xgx > ,所以61（）在（0,+¥）上单调递增,Gx> (0) = 0,则Fx >所以Fx在(0,+¥)上单调递增,S+>>0证。+>>0所以，所以由+得点评：为了同构将一个式子分解成两个式子，是一个逆向思维的过程，拓展了学生的思维，使解决问题更加灵活、多样。总之，以往高考出现大量题能用同构法。用同构法解题要利用其同构的特点，寻求与问题的某种内在联系，要有同构法的思想意识，通过观察、变形找到解决的思路方法。同构法体现了发现、类比、化归等思想，是一种富有创造性的解决问题的方法，同构法为解题提供了突破口，从同构式挖掘隐含条件，能让数学难题骼然开朗。当然此法并非万能，如果题中式子不具备同构特征就要另想他法。参考文献:1 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）M.北京：人民教育出版社，20182 高中数学解题思维策略/杨林军著。一一天津：天津人民出版社，2020.5
