相互重叠的等边三角形的性质讨论 论文.docx

相互重叠的等边三角形的性质探讨摘要：利用等边三角形的性质推导相互重叠的两个全等的等边三角形的性质，首先对其公共部分是一个六边形给出性质的证明，然后对其公共部分是一个四边形或是五边形再进行拓展研究,最后给出探讨成果.关键词：等边三角形，全等，重叠.引言：自古以来，人们都将几何教学作为锻炼逻辑思维的体操.至今，几何教程仍在培养逻辑思维方面发挥重大的作用，所以对几何图形的研究就显得十分重要.特别是组合图形，因其具有原图形基础上的独特性质，使对其性质的探讨和深层次的挖掘更有趣，更有新颖性.在几年前的数学竞赛中有一道对两个边长相等的正方形相互重叠的性质探讨题，有人为此给出了一些性质.在数学竞赛的命题中，经常出现一些趣味题、智力题、逻辑推理题、探索题等，这些题有一定的难度，有的又有一些趣味性和技巧，令人着迷.对这些竞赛题的探讨和深层次的挖掘也十分有趣，也很有意义.那么，对两个边长相等的等边三角形相互重叠又具有那些性质呢？本文将对其性质做一些探讨.一、公共部分是一个六边形的性质探讨如图1所示，两个边长相等的等边三角形SPQ和OMN相互重叠，其中公共部分为一个六边形ABCQEF.经挖掘，发现该图形具有以下性质：性质1.六边形ABCQE/的六个角中，相间的三个角均相等，且每相邻的两角的和为2喉质1.六边形力BCQE/的六个角中，相间的三个角均相等，且每相邻的两角的和性质2.六边形ABCOE户外的六个三角形都相似.额必次还形ft钩陇熊村徐冏J三知网都檀取平方和相等.闺!埼:人通照4窿斤胡闿期逾胴似相角鬓出的柳势和曲城形的对应边的平推论3六边形ZBeQb外的六个相似三角形中，相间三个三角形的对应边的平方和相等.性质4.两个全等的等边三角形在重叠时，每条边均被分成三段，则两等边三角形每条边外部两段的乘积之和相等.性质5.六边形ABCOE/的六条边中，相间三边的和相等.性质6.两个全等的等边三角形在重叠时，每条边均被分成三段，则两等边三角形顺次每两段边的乘积之和相等.以下就上述性质给出证明：性质1.六边形ABCDEF中，DABC=DCDE=DEFA,DBCD=DDEF=DFAB,DABC+DBCD=DBCD+DCDE=DCDE+DDEF=DDEF+DEF4=DEF4+DFAB=DFAB÷DABC=240证明：VDABC=180o-DPBC,DCDE=180。-DNoC,DPCB=DNCD,DBPC=DDNC=60oDPBC=180o-DBPC-DPCB,DNDC=18Oo-DDNC-DNCD,VDPBC=DNDCDABC=DCDE同理可证DCDE=DEFA,DBCD=DDEF=DFABDAfiC+DBCD=180o-DPBC+180。-BPCB=360o-D(PBC+DPCB)=360()-(180o-DBPC)=360o-(18Oo-6Oo)=24Oo同理可证DBCD+DCDE=DCDE+DDEF=DDEF+DEFA=DEFA+DFAB=DF48+DABC=240。即命题成立.性质2.如图1,其中DSAF、DMAB、DPCB.DNCD、DQED、DoEF均相似.证明：:在DSAF和DMAB中，DSA尸=DMAB,DAS尸二DAMPWSAEDJdAE1.同理可证DMABSDPCB,DPCBSDNCD,DNCDSDQED,DQEDSDOEF,DOEFSDSAF.即六个小三角形都相似.性质3.如图1,六边形48CoE/中，A2+2÷EF2=BC2+DE2+M2.证明：由性质2可DSAF=DMAB=DPCB=DNCD=DQED=DOEF=a，几MAPC NC QE OE SAMBpB _ND qd of _SF. 二.DSFA=DMBA=DPBC=DNDC=DQDE=DOFE=b(d>)(1)0(e>)(2)0等边D和等边D边长相等CCy"ZtVTSDSPQ=SDoMNSD=SD+DPCB+Sd+六边形ABCDEFQPnGdrCnrnSDSp+SDNCD+SDoEf十六边形ABCDEFn.U.VMARd+Sd+SD=SDcarPCRCm1.1.SAAFsinA/sin80J,田PC.8CsinBCsin72+DE=MAABsintz-MBABsnb02+asNCCDsina-NDCDsin?°2C2÷c2÷+i0EEFSinaOF-EF-sin£q2化简得(SASF)'AF÷IncPB。BC+(QEQDDE=(MAAB÷NC.ND；CD+(OEOF；EF即(de),AF2+BC2÷)D2=(deAB+)CD2+EF2(2AB1+CD1+EF1=AF2+2BC推诙、SA+PC+''=W2+7VC2÷八?SF2+PB2+QD2=MB?+ND2+OF2证明：由性质3及(1)和(2)式即得.性质4.SAPB+PCQD+QESF=MAOF+OEND+NCMB()分析：由(1)和(2)式可知，要证明()式成立，只需证明dABe+EFe+deA=dFAeBC+dBCeDE+dDEeFA即证ABEF+CD+CDAB=FABC+BCDE+DEFA证明：等边D和等边D边长相等eCC><rSP=OM,PQ=MN,QS=NOSA+AB+PB=+FA+MAPC+CD+QD=MB+BC+NCQE+EF+SF=ND+DE+OE由(1)和(2)式可得dFA+AB+eBC=eEF+dABdBC+DC+e=eAB+dDCdD+EF+AF=eDC+DE+dEF将上述三式左右两边分QJ平方得d ( RC±.DE.+.EA=BC 2+ DE 2+ FA2+2 BC DE+2 DEFA + 2 FA BC由性质3和性质4可得(AB+ CD+ EF) = +DE+FA)FA2+AB2+e2BC2+2FAAB+2ABBC+2deFABC=d2EF2+FA2+eAB2+2EFFA+2eFAAB+2deAB(3)d2BCDC2+eDE2+2BC-DC+2eDE+2deDE=J2AB2+BC2+e2DC2+2ABBC+2eDC+2ABDC(4)d2DE2+2+eFA2+2DEEF+2eEFFA+2deFAr-t)tVX-r=d2DC2+DE2+e2EF2+2DCDE+2eEF+2deEF(5)(3)÷(4)+(5),由性质3并化简即得ABEF+EFCD+CDAB=FABC+BCDE+DEFASAPB+PCQD+QESF=MAOF+OEND+NCMB性质5.六边形ABCZ)EF中，AB+CD+EF=BC+DE+FA.证明：/(AB+CD+EF)2=AB2+CD2+EF2+2ABCD+2CDEF+2EFABAB+CD+EF=BC+DE+FA.4M%.SAAB+ABBP+BPPC+PCCO+CDDQ+DQQE+QEEF+EFFS+FSSA=OFFA+EAAM+AMMB+MBBC+BCCN+CNDN+DNDE+DEOE+OEOF(6)证明：由性质2可得SAAB=MAFA9PBAB=MBBC,PC DDQDC=NDDE,QEEF=OE-DE,SFEF=OFFA以上各式相加可得SAAB+ABBP+PCCD+CDDQ+QEEF+EFFS=OFFA+FAAM+MBBCBCCN+DNDE+DEOEBPPC+DQQE+FSSA=deBC2+deDE2+deFA2AMMB+CNDN+OEOF=deAB2+deCDi+deEFi由性质3可知BPPC+DQQE+FSSA=AMMB+CNDN+OEOF(8)(7)+(8)即得(6)式.以上所述均是在两个等边三角形相互重叠公共部分成六边形的情况下性质的讨论，那么，若相互重叠时其公共部分为一四边形或五边形时，以上的性质还成立吗？经挖掘,发现除性质1外，均具有其他五条性质.二、公共部分是一个四边形的性质探讨若两个边长相等的等边D和D APQABCD ，则该图形具有以下性质：相互重叠时，其公共部分为一个四边形NPCD图2重叠部分是一个四边形性质1.四边形A5C。中，有一组对角相等均为60°,另一组对角的和为240°.性质2.四边形ABCQ外的四个三角形均相似.性质3.四边形ABCD,AB2+AD2=BC2+CD2.推论：图2中AM2+DN2=PC2+DQ2MB2+AN2=PB2+CQ2.性质4.四边形ABCDABAD=BCCD.性质5.四边形ABCDAB+AD=BC+CD.性质6.ABBP+BPPC+CQDQ+DQAD=AMMB+MBBC+CDDN+DNAN.其证明均类似于前文证明，这个给出性质2、性质3和性质4的证明过程.证明：性质2：,.DBAD=DBCD=60o,DM=D尸=DQ=DN=60°DMAB+DMBA=DPBC+DPCB=240°又,：DMBA=DPBCDMAB=DPCB同理可证DNAD=DDCQ又DADn=DCDQDAMBSDCPB,DCPBSDDQC,DDQCSDDNA即四个小三角形都相似.性质3：由性质2可设D=D=D=DADN=a.V%VX*r_*WT-XDMBA=D=DDCQ=DDAN=bMAPjDQNDi(d>0)(1)BCCDAD"ABMBPBCQAN(e>)0(2)ABBC=AD一二等边一分和等边今边长相等一«*,Txzx'Sd=SDAPQ'SD+DAND=SD+DCDQARMSPCBSa1ANbADsinADsinfAMABsinaKA6sinb1÷2÷*0e11 .-二a_PBBCsnb02+x)CD-sinCDCQ-sin-29OxPCBCsin：C化简得(AMBjAB+ANND；AD=(PBPC；BC+(DQCQ)CDA"2即(de)AB2+)A2=)32+OCD2ij-(de2C(de2A2+AD2=BC2+CD2.性质4：分析：由(1)和(2)式可知，要证明命题成立，只需证明dABeAO=d8CeCO即证ABAD=BCCD证明：等边D和等边DAPQ的边长相等TAP=MN,PQ=MC,AQ=CNAB+=NA+MAPC+CQ=MB+BCAD+DQ=CD+DN由和(2)式可得A8+eBC=AD+dABdBC+e=eAB+BCAD+d=CD+dAD将上述三式左右两边分别平方相加并化简得ABAD=BCCDAMA=PCCQ.三、公共部分是一个五边形的性质探讨若两个边长相等的等边D和D相互重叠时，其公共部分为一个五边形一八OMNABCDE，则该图形具有以下性质：图3重叠部分是一个五边形If理比开NBCDE与DBAE=60o,DABD=DCDE,DBCD=DDEA,且DABC+DBCD=DBCD÷DCDE=DCDE+DDEA=240°.性质3.五边形48CoE中，AB2+CD1+AEi=BCDEi.桂蕨3.五边形中，.推论：在五边形ABCDE中PC2+QE2=MA2+NC2+OE2推论：在五边形中PB2+QD2=MB2+ND2+OF.性质4.五边形ABCDE中，PCQD=MAAO+OEND+NCMB.性质4.五边形中，性质5.五边形ABCDEAB+CD+AE=BC+DE.6ABCZ)E,性质6.在4/噂+bpPdrTCCD+CDDQ+DQQE+QEAE=AMMB+MBBC+BCCN+CNDN÷DNDE+DEOE+OEOA.上述性质的证明与前文证明类似.事实上，两个边长相等的等边三角形相互重叠时，其公共部分为一四边形或五边形时，均可用极限的思想看作是公共部分为六边形的两个特例.这类题目具有很强的开放性和发散性，需要对问题进行多方位、多角度、多层次的思考与审视，恰当运用数学知识去探索、推理，有利于培养创造精神和实践能力，促进思维的发展.参考文献1冉广福：正方形相互重叠的性质探讨J.数学教学通讯，2003.12（上半月），35-36.沈文选：正三角形的连接J.中等数学,1995.06.夏文早：三角形面积公式在几何证题中的应用J.安徽教育，1981.04.4徐明：一个探索性问题研究案例J.中学数学月刊,2004:8-10.胡家祥：例谈三角形形状的判定技巧J.中学教与学，1998.10.