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高等数学下册学问点第八聿空间解析几何及向量代数(-)向量及其线性运算1、 向量，向量相等，单位向量，率向量，向量平行，共线，共面：2、 战性运算：加成法，致泰；3、 空间直角坐标系：坐标N,坐标面，卦限，向量的坐标分解式；4、利用坐标做向量的运算：谈'=(4,%M,B=(b,by,b),则a±b=(ax±bx,ay±by,az±bz)ta=(ax.ay,az).5、 向量的模，方向角，投影：1)向量的模:r=x2÷y2+z2;2)两点间的距离公式：A8=J(x2X)2+(%一乂)2+92Z)23)方向角：非零向量及三个坐标轴的正向的央角/XAyZ八一COSa=r_r,cosp=rr,cosy=-r-r4)方向余弦：F，网'rcos+cos夕+cos/=15)投影：Prf=B1.CoS。，其中。为向胸及的央角.(二)数量积，向量积1、 It量积：ab=abCoSe一一一2aa=a2)a-1.b<>ab=0ab=abr+ahx,+ah_XyyNZ2、 向量积：c=d×b大小：absini6j,a,Z?,c符合右手规则Da×a=0>>2)aHboGxb=6运算律：反交接律b×a=-a×b(三)曲面及其方福1、的面方程的概念：S:/(x,y,z)=。2、 旋杆曲面：yoz面上曲微C:/(y,z)=0,统y轴旋杆一用：f(y,土JX2+z-)=。统Z¼<-:f(±JX-+y-,z)=03、 柱面：产(阳y)=0衰示母H平行于Z轴，净线为的柱面4、 二次南面1) 林留馋面：2) 楠球面：茂林柿球面：3) 单叶双由面：4) 双叶双曲面：5) 林用出物面：6) 双曲加物面(马鞍面)：7) 椭圈柱面：8) 双曲柱面：9) ，物柱面：=ay(四)空间曲微及其方程1、 一般方程：2、 参数方根:，如螺旋畿：3、 空间曲线在坐标面上的投影,消去z,得到曲线在面xoy上的投影(五)平面及其方程1、点法式方程：A(X-XO)+6(y、0)+C(Zz0)=。法向量：=(AaC),过点(X0，No，ZO)2、T式方程：AX+By+Cz+Z)=0栈距式方福：3、两平面的夫角：=(A,3,C),H2=(A2,B2,C2),COSe=IAA2÷B1层+CjC2I+B；+C：J%；+京+C；i±2<»A1.A2+B1.B2+C1C2=01/2O4、点）（项），X），）到平面AX+By+Cz+。=0的距离:IAr0+By0+Cz0+Paa2+b2+c2（六）空向直栽及其方程1、一般式方穆:A1x÷B1y÷C1z+D1=0A2x+B2y+C2z÷D2=0XrO_y-y0_z_z02、 对称式（点向式）方程：m-方向向量：6=（m,几，p）,这息（x。，No,Zo）3、 参数式方程：4、两直观的夹角：J1=（n1.9n1.,p1.）ts2=（n29n2,p2）tcos。n1.m2+n1.n2+p1.p2Jm；+2+p；Jm3+PA1.iJ_1.2on1m2+Pi2=01.xII1.105、直线及平面的昊角：直然及它在平面上的投影的夹角，Am+Bn+Cp1.sin=.1.JA2+.2+¢2.J62+及2+21.TI<>Am-Bn+Cp=Q1.1.TIo第九聿多元函数微分法及其应用（-）基本概念1、距离，邻城，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集.2、多元函数：z=f(x,y)t图彩：3、极限：，岬f(x,y)=A(x,y)(0'o)4、连埃：，岬、/(元,y)=/(%)，Y)(x,y)(,y0)(x0,y0)=1.im/(%+r,%)一/(XO,)，()(o)=.*Qj竽二'""°)JA)Toy6、 方向导致：fffQJ方=蒜cos+热cos?科a，B为I的方向角。7、 样度：z=(x,y),则gm4(,yO)=A(XO,%)；+/、,(%,%)8、 全微分：设z=/(x,y),则(二)性质1、函数可微，倡导连埃，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：用区域上连埃西数的性质(有界性定理，最大最小值定理，介值定理)3、微分法1)定义：X/ZXV2) 复合函数求导：健式法则乙若z=/(#),=(羽y),u=Kx,y),则V广93) 健函数求导：两边求偏导，然后解方程(组)(三)应用1、 极值1) 无条件极值：求函数2=/(x,y)的极值解方程组求出全部驻点，对于拿一个驻点(X()，M),令A=ZVX(Xo,%),B=1.y(XoNo),C=o),若AC-B?>0,A>0,函数有微小值，若AC-32>O,A<0,函数有极大值：若AC-B2<(),函数没有极值；若AC3?=0,不定.2) 条件极值：求函数2=(x,y)在条件(x,y)=0下的极值令：1.(x,y)=于(x,y)+x.y)_1.agrange函数解方福姐2、 几何应用1) 曲微的切线及法平面曲战，则上一点M(Xo,),Z0)(对应参数为2)处的Xf二y一%=Z_Zo切线方程为：/伉)一7(7-，&)法平面方程为：'"o)(九一)+y'"o)(y-y0)÷z'(%)(Z-zo)=o2) 曲面的切平面及法微曲面:F(x,y,Z)=。，则E上一点M(x0,y0,z0)处的切平面方程为：工(/，%,Zo)(%-尤0)+FV(X。，尢*0)。-%)+£(%，%，ZoxZ-Zo)=OXf_y_o二Z_Z。法线方福为：工(，加Zo)Fv(x0,y0,z0)E(x0,y0,z0)第十聿重积分（-）二重积分1、定义J（%y）db=州X（部,z）AqDA=I2、 性盾：（6条）3、 几何意义：曲项柱体的体积.4、 计算：1) 直角坐标D=(x,y)例(X)yg(%)a<x<hgj(%,y)dxdy=m:/(%,y)dyD= < (x, y)(y)xz(y)cyd/(%，y)dxdy=J：dyJ：f(x,y)dx2) 极坐标O=3。)P()JpSpMa<JmQ(W=I>£：f(pcosesin。)pdpD（二）2、3、1)三支积分定义JJ1.八羽z>dv=/（短，加，装）刈A=I性加计算：J1.角坐标肌/(x,y,z)dv=JjodXdyJy,z)dz“先一后二”J(yZ)du=CdZJq/(x,y,z)dxdy2)柱面坐标“先二后一”JJV("Z)du=川Q/(pcos,PSin,z)pdpddz3) 球面坐标,rsinOSin , rcos )r1 sin drd(if(x，Mz)dU=/(rSinMOS(三)应用曲面S:Z=/(x,y),(x,y)Z)的面积;A=1.J1÷()2+(¾2dxdy山。1oxy第十一章曲战积分及曲面积分(-)对孤长的曲线积分1、定义：1."%y)ds=/©，功)Xi/=I2、 性质：DJJa/(%,y)+(,丁)心=a1/(%y)小+尸1.g(苍y)d52)£/(羽>)小=J1.If(x,丁)由+£/(x,y)ds.(1.=1.1÷1.2).3)在1.上，若/(羽y)g(,y),则JJ(%，y)由1.ga')山fde-/4)J/.(/为曲战弧1的长度)3、 计算：X=次),谩/(,y)在曲线弧1.上有定义且连埃，1.的参数方程为/、9"/"夕)，其中。«),«)在。,4y=y(t上具有一阶连埃导数，且。'2«)+“"(/)0,则J/(%,y)ds=J：/SO),+d,(a<)(二)对坐标的曲战积分1、 定义：设Z为°y面内从4到8的一条有向光滑抽，函数P(X,y),Q(X,y)在上有界，定义1.P(羽y)dx=IimSP(k,k)xk,"k=1.Q(X,y)dy=Z)片.k=向量册式Rdr=P(x,y)dx+。(羽y)dy2、 性质：f»广一»匚F(x,y)dr=-JF(x,y)dr3、 计算：设P(x,y),Q(X,y)在有向光滑弧1.上有定义且连续，1.的参数方程为,其中。"在,Z?上具有一阶连埃导此且。'2q)+2q)ho,则,P(%,y)dx+(x,y)dy="P0(),«)“«)+Q0Q),(/)'«)dJ1.Jacos=/。J。"。) + "?。)4、 两奏曲就积分之间的关系：设平面有向曲线弧为，1.上点(%,y)处的切向量的方向角为：a、B£Pdx+Qdy=1.(PCOSa+QCoS)ds.(三)格林公式1,格林公式：设区域。是由分段光滑更曲曲战1.国成，函数P(X,)，。(尤)，)在上具有连埃一阶督导敷,in有JJ言而d*d>=fPdx+Qdy2,G为一个单连通区域，函数P(x,y),Q(X,y)在G上具有连埃一阶偏导数，则<=>曲畿积分在G内及路径无关O曲及积分<=>P(%,y)dx+Q(x,y)dy在G内为某一个函数"(,y)的全微分(四)对面积的曲面积分1、定义：设为光滑曲面，函数f(,y,z)是定义在上的一个有界函数，定义Ify*)ds=期fG,)ASj计算:“一单二投三代人”:Z=Z(X,y),(x,y)Dxy9则/(x,XZ)dS=J£/x,y,Z(X,y)J1+z2(x,y)+zy2(x9y)dxdy(五)对坐标的曲面积分1、 预备学问：曲面的相，曲面在平面上的投影，流量2、 定义：设为有向光滑曲面，函数P(x,y,z),Q(x,y,z)9/?(x,y,z)是定义在上的有界函数，定义J1.R(x,y9z)dxdy=Hm,i)(Si)xy=cc«同理，1P(M乂z)dydz=IimZPCj,7,)(比八乙一1=1Qay,z)dzdx=Hm宜R&,i,M)(ASj)Z=I3、 性加D=1+2,则、PdydZ+Qdzdx+RdxdyPdydZ+ QdZdX + R dxdyJJPdydz+Qdzdx+Rdxdy+Jj2)一表示及Z取相反神的有向曲面，WJf-=-Rdxdy4、 计算：一“一投二代三定号”:Z=Z(X,y),(x,y)Dxy,Z=Z(Xy)在Og上具有一阶连埃偏导数，R(X，z)在上连埃，则J"R(x,y,z)dxdy=±joRx,y,z(x,y)ddy,为上相取“+”，为下相取5、 两类的面积分之间的关系：JJyPdydZ+Qdzdx+RdXdy=jj,(PCOS+Qcos尸+Rcos/)dS其中,.为有向曲面在点(X,y,z)处的法向量的方向角.(六)高斯公式1、高斯公式：设空间闭区城Q由分片光滑的闭曲面2所国成，的方向取外侧，的数P,Q,R在Q上有连埃的一阶偈导数,则有川"+" +丝JJJaIaX y zdxdydz=PdydZ+Qdzdx +Rdxdy2、通量及敏度dxdydz=H(PCOSa+Qcos/?+Rcos)dS通量：向量场,=(P,Q,R)通过曲面，界定相的通量为：=JjvPdydz+Qdzdx+Rdxdy散度：(七)斯托克斯公式1、 斯托克斯公式：设光滑曲面的边界r是分段光滑曲线，的根及的正向符合右手法则，P(x,乂z),Q(x,y9z),R(%,y,z)在包含Z在内的一个空间城内具有连发一阶偏导致,则有frfRQY<(PR<(QPYUcnAAdydz+dzdx+dxdy=PdX+Qdy+RdzJ式办zJyzx)5xy)JrdydzU£ udzdx办QdxdyzR=,Pdx+ Qdy + Rdz为便于记忆，斯托克斯公式还可写作:2、 环流量及能度环流量：向量场H=(P,Q,R)沿着有向闭曲战的环流量为frPdx+Qdy+Rdz«：rotARQ丝/SQSP、yz,zx,xyj第十二章无穷级数(-)常数货级数1、 定义：00W,=W1÷W9+W3÷+÷n2.5n=1._部分和：S"=Z%=%+%+%+"”,A=I正项级数：，un0交织级数：，wrtO2)级数收效：若IimS,-S存在，则称级数收敛，否则称级数发散一83)条件收敛：收效，而发散；确定收效：收敛.2、 性质：1) 变更有限4(不影响级数的收敛性；2) 蛾数，收敛，则收敛：3) 级数收效，则甑意加括号后期旧收敛；4) 必臬条件：级数收效=1.Iim=0.(W意:不是充分条件DW03、 审效法正顶级数：，un0D定义：IimS=S存在：ZOO2) 收敛有界；3) 比校审效法：，为正项级数，且匕？(=1,2,3,)若收效，则收敛；若发我，则发散.4) 比校法的推论：，为正事级数，若存在正整数mtn>m时，unkvn,而收敛，则收敛：若存在正整数m,当>根时，unkv”,而发散，则发我.5) 比枝法的极修形式：，为正顶级数，若:叫；"=，(0<+8),而收效，则收效；若或，而发散，则发散.6) 比值法：为正项级数，设，则当/<1时，级数收效；则当/>1时，级数发数；当/=1时，级数可能收效也可能发散.7) 根值法：为正反级数，设IimWr=/,则当/<1时，级数收敛；则当/>1时，级数发微；当/=1时，源数可能收1.00效也可能发It8) 极限审效法：为正项级数，若Iim">()或Iim=+8则级数发数：若存在>1,使得?:oIimMun=1.(0/<+8),则级数收如T8文织级数：莱布尼茨审效法：交织级数：，un0满足："+un(n=1,2,3),J1.1.im=0,则级数收效.f8随意现级数：磷定收数，则收敛.(二)函数/级数1、 定义：函数货级数，收敛盛，收敛半径，和函数;2、 *级数：收敛半径的求法：，则收敛半径3、 泰勒级数8/(x)= M=Of(n)(x)-2-(x-x0) <=> Iim/?/%) = IimnT8岩部-。5+ 1)!就开步辣：（干Jifc就开法）求出）（幻，m= 1,2,3;2)3)求出厂）（%）,写出；= 0,1.,2,;(h+ 1)!（X一玉）向二0是否成立.间接筵开法：（利用已知函数的统开式）81/=£丁"，XW(o,+oo).”=。！2)SinX= Z(1)日=0X(2/1+ 1)!2n+i,X (-,+o)COCOSX= Z(-i 严/2=0X(2n)!2",X (-00,+).5)7)1.-x=£x，x(T, 1).M=O= (-1.fZ, x(-l, 1)n=0OO1.n(l + x) = Z ZJ=O(-Dn叫(-1., 111.÷x2=(-1.fx2 x(-l, 1)(1+ x) J1.+ ZH=Im(77-1.)(m-+ l)X , X (T, 1)n!4、1)傅里叶级数定义：正交系：1,sinx,cosx,sin2x,cos2x,sintx,cosx函数系中任何不同的两个函数的泉积在区间一万,万上积分为零.傅里叶级数：W=V+(%cosx+b”Sinnx)2=1京敦San=-/(x)CoSMXdX兀I/(x)sinxdx5=0,1,2,.)(=1,2,3,)元为连续点,X为间断点求出系数:/(x)COSnXdXanF(X)Sir15= 0, 1, 2,)5 = 1, 2, 3,)2） 收敛定理：（级开定理）谈，G）是周期为2兀的周期函数,并满足狄利克雷（Dirioh1.et）条件:1）在一个周期内连续效只有有限个第一臭间断点；2）在一个周期内只有有H1.个极值点，则f的傅里叶级数收敛，且有f(),a+V(a,cosHX+hsin)=rz+、,rz一、2ftj()+u)Zr-I23） 傅里叶统开:00写出傅里叶级数/()=V+3cos光+Sin加)；,M=I依据收效定理判定收敛性.