中科大《线性代数与解析几何》讲义2线性方程组.docx
第二早 线性方程组(Systems of Linear Equations ) n个变量× , - ,xn, m个方程的线性方程组：f a× + a12 ×2 + + ainXn = bi /I 321×1 + a 22 ×2 + ÷ 32Xn = b2I : bam1 × + 3m2×2 + + 3mXn = Dm若将×1 = C1 ,，Xn= Cn代入上述方程等式都成立,则称(CiCn)为该方程组的一组 解(solution)几个基本问题 方程组是否存在解？如果有解,有几个解？ 如何求方程组的解？ 解的公式表示 解的几何结构(如一个二元一次方程表示一条平面直线)§2.1 GaUSS消元法基本思想：将方程组三角化,再回代求解例2.1(3× + 2×2 - X3 = 6 f Xi + 3×2 + 2X3 =9 ( × + 3X2 + 2×3 = 9 i × + 3×2 ÷ 2×3 = 9 T 2× - ×2 + 3×3 = 3 (5) T I -7x2 - x3 = -152× - ×2 + 3×3= 3 (3xi + 2×2 -X3 = 6 "-7x2 - 7x3 =-21 (× + 3×2 + 2×3 =9 Xi + 3x2 = 7 f × = 1一一 -7×2- ×3 = -15 -7x2= 14-X2= 2tt' 6x3 = 6' Xo = 1×o = 1例2.2(Xi + 2 x2 + 3×3 + 4 x4 = _(×1 + 2×2 - 5×4= 1I 2× + 4×2 - 3×3 - 19×4_ 6=7(×1 + 2×2 + 3×3 + 4×4 = -3-3×3 9×4 =-9×3 - 29×4 =11X3 36×4 16+ 3x3 + 4 X4 = -3' ×l + ×21/-3x3 - 9×4 = 4X1 = 1 - 2t1 + 5t2 = 1 = 2，+4-3t2×4 = t2三个基本变换(1)交换两个方程；Q-Oj(2)某个方程乘一个非零常数ex Oi(3)某方程乘一非零常数加到另一个方程 c X 0i+0j定理2.1三个基本变换将方程组变为同解方程组因此不会产生增根§2.2 Gauss消元的矩阵表示解方程组的时候,变元不参与运算因此可以省去变元重新考虑例2.1Xl ×2 ×3 129-1-15AA于是例2.1种的线性方程组等价于(3x + 2×2 - X3 = 6 9-7x2 - 72x3 = -21'(6×3 = 6两个进一步的例子重新考虑例2.2F经 ×1 + 2X2 + 3×3 + 4×4 = -3工2 + 23 1e 1(1 r 。3× ÷ 6×2 - 3×3 - 24×4 = 7例2.3:无解实例 (窿XI- 2x2 + 5x3 + 4X4 = 2铝6x1 - 7x2 + 4×3 + 3×4 = 39× - 9×2 + 9×3 + 7x4 = -1§2.3 一般线性方程组的GaUSS消元解法1 .算法描述2 .最终形式Cln d1 )C2n d2 ;I Crn CIrl O ： * dm)C11 C,j21 C2j2 C2,j3 19CrJ O (O定理2.2线性方程组的解如下情形1 di 0, i k + 1, ,m,方程组无解情形2 d = O, i = r + 1, ,m且r = n,方程有唯一解情形3 di = 0,i = r + 1, ,m, r V n,方程有无穷多解犯， 的 为非独立未知数,其余为独立未知数(共有n - r个)，记为L , ,tn.则方程的通解可以写成 t, ,tr的线性组合对于齐次方程,只有情形23发生推论2.1齐次线性方程组有非零解充要条件为r < n,只有零解条件为。r = n.推论2.2若m V n,则齐次线性方程组一定有非零解回头看本章开头提出的几个基本问题：（1）解的存在性与唯一性问题已解决；（2） 求解问题已解决;我们还需继续研究方程的公式解及解的几何结构对于n = 3的情形,由于每个方程表示三维空间中的一个平面,因此方程组的解 将是一些平面的交集，因此解集可以是一个平面,一条直线一个点或空集这里, r是决定解集的一个非常变更的量！几个新的问题1 .如何从原方程组判别解的存在性唯一性及多解？2 .如何从原方程组直接确定r?3 . r是否唯一？4 .解集的大小与r有何关系？5 .直接从原方程获得解析（公式）解为研究方程组的解析（公式）解,我们将引入行列式的概念为研究方程组的解得 属性（存在性,唯一性等），我们引入矩阵的运算（特别是乘法运算）.为研究线性方程组 的解集的结构,我们将引入线性空间的概念线性方程组行列式矩阵线性空间课堂作业1 .求下列线性方程组的通解：/2北1 + 34卜一曲+也=1II < 8jt + 1lt2-t3+8 = 3! 4北1 + 6必+ 3抬-2也=32北1 + 3也+对卜-7也=32 . 为何值时,下列线性方程组有解？并求解:r 2x1 - X2 + ×3 + ×4 = 1Xl + 2×2 -×3 + 4x4 = 2X1 + 7X2 -4x3 + 11x4 = 3*.是否存在数域F使RU FC C?
