中科大《线性代数与解析几何》讲义.docx

第零章预备知识?0.1向量的线性运算向量及其表示向量：速度,加速度，力等等.用一个有向线段来表示它.以A为起点乃为 终点的有向线段所表示的向量记为”(图7.5).还常用小写的粗体字母a, b,. 来记向量.Jp果吧、向量的大小相等、方向相同,就称这两个向量是相等的.如图7.5 中,A8和AW'是相等的向量,记作一AB=A% .自由向量：能平移至任意起点的向量.相反向量：两个向量的大小相等而方向相反.负向量.向量模及其向量模的表示.?0.1.2向量的线性运算如果两个向量是相反向量，则其和显然为零向量，就是a +)-a) = )-a) +a = 0.显然，还有a +0 = 0+a = a.从三角形法则容易证明向量的加法满足交换律，即a +b = b +a.从图7.8不难看出，向量的加法满足结合律a +)b + c) = )a + b) +c,因而可以略去括号而记a + b +c = )a + b) +c = a +)b +c).向量的减法与数量的减法一样，定义为加法的逆运算.向量与数的乘积.设有向量a和数儿则其乘积表示这样一个向量，它的模等于向量a的模 之倍,当A大于零时它与a同向，当小于零时与a反向(图7.9).由定义可知Oa = 0.显然又有)-l)a = -a.向量的线性组合.利用向量与数的乘积，向量a可以表示为其中a。表示与a同向的单位向量.由此得到即一个不为零的向量除以它的模后是与它同向的单位向量.向量与数的乘积具有以下性质.设a与b是给定的两个向量,而人及是任意常数,则有) + ) a = a + a:)a) = )a) = )a;)a + b) = a + b.?0.1.3向量的共线与共面向量共线，向量共面.(零向量和任一个向量共线.)向量a,b共线的充分必要条件是，有实数人,使a = b或b = a.向量,仇。共面的充分必要条件是:其中一个向量可以表成其余二个向量 的线性组合.?0.2坐标系在空间中,任取一点O,从点O画三条互相垂直的直线,依次记为ox, OK OZ. 这样就得到一个直角坐标系.如果在坐标轴O, Oyi OZ上以O为起点分别取三 个单位向量ij,上其方向与轴的正方向相同，这些单位向量称为坐标系OXYZ 的基本单位向量.给定向量a,过向量a的终点A作三平面分别与坐标平面平行,且与各坐 标轴交于点X, Y, Z.易知OX= ai, 7= a2j , 2- a,k.由向量加法的三角形规则可得OA=OP +Ta=ox +xp +pa = ox +oy +z,即a = ), «2, g) = ai + ay + aik.它就是a按基本单位向量的分解式.应用这个分解式，向量的加法，减法及 向量与数的乘积就可归结为其坐标的相应运算.事实上,设a = )i, G,公)，b 二 珈，历，为)，而人是一常数,则有a = ai +«2/ + a3k, b = Z> / + y + b3k.从而得到a ±b = )a±b )i + )a2±b2 )j + )a3±b3 )k=)4 ±b , a2±b2 , a3±b3);a = ai + Kcnj + Aa3k = )w , Kai,入公).例0.2.1.已知两点A)a ,a2t应()b心,为)，求向量的坐标.解 如图7. 13,作向量加与 W,则OA = )a,a2, t), OB =)b,b2,bi).所以AB= OB OA = )b ,Zb-cn,by- m).就是说向量AB的坐标等于终点B的坐标减去起点A的坐标.口例0.2.2.设点户把有向线段75分成定比A即有 * =X若已知端点A和8 的坐标为)川,ZI)和)X2J2,Z2),求分点P的坐标)xj,z).解由题设可知AP= KPB .若将4,P,B各点与原点O连成向量，则有OP-OA= K)OB-OP).由此得到I1 1 OP= -y) OA +KOB).因为钞+钞OA = ,i + yj + zk, OB = x2i+ y2j + Zlk1 OP= xi + yj + zk, 代入后给出 + yj + zk = _T +1 + 比较的对应系数即得Xl + n W + v2 Z： + z2，)'=这就是空间线段的定比分点公式.特别地，线段中点的坐标为设向量a = )« , “2,43)的起点在原点,这时终点A的坐标就是)“, 42,43), 由空间两点的距离公式得I Ial = OA=* + W + 竭.?0.3向量的内积?0.3.1内积的定义定义0.3.1.两个向量的内积是一个数量，它的大小是这两个向量的模与其夹角 的余弦的乘积.通常用记号ab表示向量a与b的内积.如果a.b=0称a与b正交.设它们的夹角为台，按定义有a . b = a bs 台.?0.32内积的性质La与b正交的充分必要条件是a, b之一为零向量或它们是互相垂直的 非零向量.2 .向量的内积满足交换律a . b = b . a.口3 .向量的内积满足分配律)a + b) . c = a . c + b . c.4 .向量的内积与数的乘积满足结合律)a) . b = )a . b).?0.3.3直角坐标系下内积的计算设给定两个向量a = ai + ay + a3kt b = b i + by + W,则有a . b = )“i +cy + a3k) . )h i + 切 +M)=ab)i. i) +ab)i. j) +ab3)i &)+ a2b 1/ .。+a2b2)j .) + a2b3)/ . &)+ a3b)k .。+ aib)k .j) +a3b3)k . A).因为ij是互相垂直的单位向量,所以i .i= IJ J= lik.k= 1,i .j = O,i. k = O,k .j = 0.从而得到a . b = ab + a2b2 + a3b3.这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积之和.特别当a = b时,有 22 . 2a a = +。2 +。3但 a . a = a F，所以，a I = a： + 域 + .这与7.2.3中导出的向量模的计算公式完全一致.设a = )m,°2,3)与b =)加，历,的)之间的夹角为台,则由内积的定义可得a b CnbI +02 +3b3COS C3 - 1 11. i =' hIallbl3+4 +嫉；+与+苗由于)a + b)2 = a2 + b2 + 2a . b = a 2 + b2 + 2a bcos 台 S)Ial + b)2所以有三角形不等式a + IbI2 a +b例0.3.1.证明Cauchy不等式)ab + Gb2 + a3by) 2 S ) +«2 + «3)1 +吊 + 国).证 设a = ), G,，b 二)历，历，历)则有a . b = ab +a2b2 + a3b3,a 2 =. + 嫉 + 虏，b2 = * + * + 丛.由内积的定义a . b = a bs台及ICOS台ISI推知)a . b)2 S a 2b2.把它写成坐标的形式，即得欲证的不等式.?0.4向量的外积?0.4.1外积的定义定义041.两个向量a与b的外积是向量c,它满足：若a与b的夹角为台,则ICl = Ia b sin 台.这就是说，向量C的模在数值上等于以向量a与b为邻边的平行四边形的面 积(图 7. 19).(2)向量C垂直于向量a与b所决定的平面,并且a, b, c构成右手系统.a和b的外积记成a × b,即c = a × b.?0.4.2外积的性质外积具有以下性质.1 .如果两个向量共线，则它们的外积必是零向量；反之，如果两个向量的 外积为零向量，则这两个向量共线.2 .当因子的次序互换时，外积要改变符号，就是b × a = -)a × b).所以两个向量的外积不满足交换律.口3 .向量的外积与数的乘积满足结合律)a) × b = )a × b).从性质3又可推出外积与数的乘积另外一些形式的结合律a X )b)=入)a × b),)a) × )b) = )a X b).4 .向量的外积满足分配律)a+b)×c = a×c+b×c.由此乂可推出外积的分配律的另一形式c × )a +b) = c×a+c×b.?0.4.3直角坐标系下外积的计算利用外积的这些运算性质，就可以导出外积的坐标表示式.设给定两个向 量a = +2 +a3k, b = > / +bj +b3k,则有a × b = )ai + ay +g2) X )b i + by + b3k)=ab )i × z) + aib2 )i × j) + ab3)/ × A)+ aib )j × i) + aib )j × j) + a2b3 )j × A)+ a3b )k × i) ÷a3b2)k × j) + a3b3)k × A).因为ijd是互相垂直的基本单位向量,所以i × i =O17 × j = U, k X k = 0;于是得到a × b = )a2b3 -公历)i + )。3加a1b3)j + )ab2 2历)k. 它可以利用三阶行列式写成i J iI Xb ： IIliE £h fc h例0.4.1.已知三角形的顶点A) 1,2, 3) ,8)3,4, 5),。一 I, 2, 7),求ABC的面积. 解设所求三角形的面积为S,则由外积的定义可知1 ( S=IlABX AC.但AB= )2, 2,2), AC= )-2,-4,4), i kAB xAC= 222-2-4 -I 2.22.22-I -4 4 I -2 4 + I -2 -4 Ii=161 % 4k,所以S=I 162 +) 12)2 +)4)2= 226?0.5向量的混合积?0.5.1混合积的定义定义051.设给定三个向量a, b, c, )a × b) . c称为a, b, c的混合积.它是一个数 量.以a, b, c为棱的平行六面体的体积V等于以a, b为边的平行四边形的面 积S乘以高瓦即V = Sh.但由外积的定义可知S=IaX b.另一方面,若设a X b与C的夹角为,则有h = c I cos ,其中为锐角时£ = 1,否则取£ = - 1,因而推得V = a × bc cos =)a × b) . c.其中£ = 1或£ = - 1使所得的体积为正数,所以当a, b, c组成右手系统时取 = 1,而组成左手系统就取£ = - 1.混合积为零的几何意义：三个向量共面.?0.5.2直角坐标系下混合积的计算混合积计算公式:设a = )a , 2 , g) , b 二)历，历，的)，C = )c, C2, C3),因为所以. az a3 a a a a2)axb).c= I Id I a / lc2 + h h1I1 h 02或用三阶行列式表示为h b),c = 例0.5.1.已知四面体的四个顶点为A) 1, 1, 1),5 )3,4,4), 03,5, 5)/>)2,4,7),试求 该四面体的体积.解 容易看出，所求四面体的体积V是以为就,而为邻边的平行六面体的体积的六分之一，故Ii-TVZ = -I)A8 × AC) . AD.A而A8 = )2, 3, 3), AC= )2,4, 4), AD= ) 1,3,6),所以 233JAB XAC),AD=244= 6I36于是得到V= 1.?0.6复数?0.6.1复数的四则运算虚数单位i: Z2= - 1.复数:a + ib,)a,b R)称为复数,a称为实部,b称为虚部.灾数的加法：)4+ib) + )c+M = )a +c) + i)b + (f)复数的减法:) + ib) -)c+ id) = )a c) + i)b d 复数的乘法：)+诂)c+M = )ac hd) + i)ad + he)复数的除法:, M , c-a 4=-»+ Iqc </户+4 '复数的共挽：z = a - ib称为z = «+ ib的共优，记为Z ?0.6.2复数的向量表示设平面中建立了直角坐标系oy复数Z= +活唯一对应了一个有序实 数对也/),而有序实数对)”,0)对应了平面中的一个点Z.点Z又决定了一个 向量OZ .因此复数与向量是对应的.复数的加法与对应向量的加法是一致的.?0.6.3复数的三角表示设复数z = +活对应的向量为l,向量方的长度/称为复数的模,因 A此 r= 。2 + 扭.一_,以OX轴正向为始边，向量OZ为终边的角 台称为复数Z的幅角.一个复 数的幅角有无限多个,相差2的整数倍.其中满足OS台<2的幅角 台称为 幅角主值，记作arg.由定义知,若复数z = +"7的模为r,幅角为台,则a = rcos , b = rsin ,因此复数可以表示为Z =" COS 台 + i sin 台)称为复数的三角形式.乘法公式：r)cos 台 I + os 台2) . /2)COS 台2 + i sin台2)= n)cos), +2) + i sin) +2)由此可得r)cos 台 + i sin 台)F = F )s 台 + i Sin 台)EuIer 公式： ei° = CoS 台 +/Sin台第一章空间解析几何§1.1直线与平面直线的方程BPOA I在向量空间中，过任意不同两点AB可作一条直线I。对于直线1上任意点P,由于向量故有实数t使得A = t- A8。于是得到等式OP = OA +- AB(1. 1)当t取遍所有实数时，等式(1.1)给出直线1上的所有点。等式(LI)称为直线1的参数方程，非零向 量A称为直线1的方向向量，而t称为参数。设点A的坐标 为(a"2,a), A的坐标为(*,%),点P 的坐标为于是直线1的参数方程可写成坐标形式X = ai + INy=a2+ U21z=a3+ Ugt 从方程(1.2)中 (1.2)消去参数t,则可得到直线1的点向式方程X - aiy - a2 z - a3(1.3)Uj U2 U3§1.1.2 点到直线的距离/ P设直线1过点A,方向向量u, P为空间中任意一点。过点P作直线1的垂线, 垂足为B。于是，点P到直线1的距离.,p., u - AP. Iu X API/、BP = AP sin O= AP -u=-.(1.4)U-UU§1.1.3 两直线的位遗关系向量空间中的任意两条直线h和12,它们可能共面(平行、相交、重合)或 异面。设Il过点&01皿，3),方向向量U=劭,U2,U3); 12过点B (bi, &2, &3),方 向向量V= (vi, V2, V3)。两条直线的点向式方程分别为,'X - aiy - a2z-a .x - biy z-&3Ui U2 U3Vi V2 V3Ii与12共面的充分必要条件是U, 98共面，即UXV-AB = O(1.5)Ii和12的方向向量U和V所夹的锐角或直角称为两直线h和12的夹角.设点分别在h和12上，并且直线CD与h,12都垂直，直线CD称为两直线 h和12的公垂直线，公垂线段CD的长度ICDl称为两直线h和12的距离当Ii和12平行时，h和12的距离就等于点B到h的距离叵料。当h和12不平 行时，因为CD垂直于h和12,所以CDU xV, COx一在UXV方向上的投1uv1影，1 n,I-A- 1(16)CD=IUXVl( 1 句§114平面的方程在向量空间中，过任意一点M有唯一的平面n与给定的非零向量垂直。 对于平面n上任意点P,都有M -± n,即(1.7)MP-n = Q反之，满足等式(1.7)的点P一定在平面n上。等式(1.7)称为平面n的点法式方 程，非零向量n称为平面n的法向量，设点M的坐标为曲,机2,All的坐标 为 (n'2,D3),点P的坐标为(x,y,z),于是方程(L 7)可写成坐标形式m (x - nu) + ”2 (y - m2)+ «3(z - m3)= O(1.8)将方程(L 8)展开合并，又可得平面n的一般方程Ax + y + Cz + D = O(1. 9)其中 A =n, B = «2, C= «3, D= - 6mm + m2«2 + 63“3)。§1.1.5 点到平面的距离设平面n的 般方程为Ax+ By+ Cz+ D= 0,法向量II= (A. B, O , M(XO,yo,zo)为平面n上任意一点，P 6,y, z，为空间中任意一点。过点P作平 面n 的垂线，垂足为Q。点P到平面n的距离iQj-pl = In MPl = a。XO) M yO) 9 ZO)I 屋一国,A2 + B2 + C因为点Q在平面n上，所以Ax。+ Byo+ Czo+ D - 0,由此得§1.1.6 两平面的位置关系向量空间中的任意两个平面ni和的，它们可能平行、相交或重合。设两平面的般方程分别为:Aix + Biy += 0, ： A2X B：y Gz ÷ D - 0ni的法向量ni= (Ai, Bi, Ci)和的的法向量攻二任B, C2)所夹的锐角或直角们轼为 两平面ni和的夹角当IIi和112共线时，两平面平行或重合。若A/ 喈=Cl Dl则两平面 平行，若A蜜=Cl =。则两平面重合。此时，平行平面ni和的的距离就等于 n2上任意一点到平面m的距离。当Ili和112不共线时，两平面相交于一条直线1。方程组J Aix 十 Biy + Ciz + Di = 0A2X+ B?y + C2Z + D2= 0(Lll)也称为直线1的般方程，通过一条直线可以作无限多个平面，因此总是可以表示成为两个平面的交 线。由已知直线的点向式方程(1.3)(假设* = 0),可以很容易地写出直线UiX Uiy + (Uia2 庭)=0 的般方程。U3X Uiz+(Uia3U3i) = 0由直线的般方程(LII)求直线的点向式方程，则应当首先求出方程组 (LII)的一个解即直线上的一个点(皿仙)和直线的方向向量u = niX 8,然后代 入到点向式方程(1.3 )中。§1.2.3中介绍了求两条异面直线Ii和12的距离的方法，现在给出求Ii和12 的公垂线1的方法。设直线Ii和12的方向分别为U和V,贝IjUXV为1的方向向 量，Ii和1张成的平面ni具有法向量(u Xv) Xu, 12和1张成的平面力2具有法 向量(UXV)XV。于是可以先求出m和n2的方程，1正是ni和力2的交线。当然, 也可以先求出1在Ii,12上的垂足，然后求出1的方程。§1.1.7宜线和平面的位置关系向量空间中的任意一条直线1和一个平面n它们可能平行、相交或直线在 平面上。设它们的方程分别为U2U3 : Ax + By + Cz +。= 0设1的方向向量U=(Ui,U2,U3)和力的法向量nS,B.O所夹的锐角或直角为则郭=2- ©= arcsin与带称为直线1和平面n的夹角C当U和n不垂直时，I和n有唯一的交点，可通过解线性方程组求得交点 的坐标。当U和n垂直时，若Aai + Ba-2 + Ca, 3 + D = 0,贝!j 1和n有公共点(a a2, a3), 1 在 n 上；若 Aai +* C3 + O = 4则 1 和 n 平行。§1.2 空间曲线与曲面§1.2.1 曲线和曲面的方程P (t) = (x (t),y (i)tz (t)(1.12)表示一条空间曲线，(L 12)称为该曲线的参数方程；P (s,t) = (x (s,t)ty (s,t),z (s,t)(1. 13)表示一个曲面，(1.13)称为该曲面的参数方程；满足/ (x,y,z) = 0(1. 14)的点(x,y,z)的集合形成一个曲面，(1.14)称为该曲面的一般方程；满足(1. 15)"GyJ =。g(, y，Z)= °的点(x. y, Z)的集合则是两个曲面f (x, y, z) = 0和g(x, y, Z) = O的交线，(1. 15) 称为该曲线的般方程§1.2.2 柱面由一族平行直线形成的曲面叫柱面，这些直线叫做柱面的母线柱面上与 每条母线都相交的一条曲线叫做柱面的一条准线,过准线上的各点作平行于母 线方向的直线，或者将一条母线沿着准线作平行移动，又或者将一条准线沿着母线作平行移动，都可以得到柱面。一般地，设母线的方向U =(*),准线的 参数方程p(t) = (P,P2(t),P3(t),则柱面具有参数方程(1. 16)P(s, D = su + p(t)§1.2.3 锥面由族经过给定点的直线形成的曲面叫锥面，这些直线叫做锥面的母线. 那个定点叫做锥面的顶点。锥面上与每条母线都相交的但不经过顶点的一条曲 线叫做锥面的一条准线.把准线上的各点与顶点用直线联结起来，就可以得到 锥面。一般地，设顶点”2仙),准线的参数方程p(t)= (pi(t),p2(t),P3(t),则锥 面具有参数方程(1. 17)P (s, t) = (1 s) A + s p(t)设/伉)，,z)是一个齐次多项式，如果f (x,y, z) = 0,则对任意实数t都有 f(tx,ty,tz) = 0。因此，f (x,y. z) = 0在空间中表示一个顶点在原点的锥面。它与任 意不过原点的平面的交线都是它的一条准线。§1.2.4 旋转面由空间中的一条曲线Y绕着一条直线1旋转而产生的曲面叫做旋转面，丫叫 做旋转面的子午线，1叫做旋转面的轴。(a > 0,b > 0,c > 0)§1.3 二次曲面简介一般方程为三元二次多项式，具有形式a2 ai2xy aifxz + 哑寸+ alfyz 呢Z2 + ax + a：y z = O的曲面称为二次曲面常见的二次曲面有2221 .椭球面% + % + % = 1(a > O,b > 0,c > 0)2222 .单叶双曲面 ÷*-C2= 1双曲抛物直俗称马鞍面，可以被看作是OyZ平面上的抛物线Z=沿 着OxZ平面上的抛物线Z= X平行滑动而成。2 y28.双曲柱面 一2 = 1 (>0,b>0)9.抛物柱面y2= 2px (p > Q第二章 线性方程组（Systems of Linear Equations ）n个变量× ,，xn, m个方程的线性方程组：（3, 1 Xi + 3l2 ×2 + + ai n×n = t）i I1 a21×1 + a 22 ×2 + + 32nXn = b2! ： ,（ am1 ×1 + 3m2 ×2 + + 3mnXn = bm若将XI=C1 ,，Xn= Cn代入上述方程等式都成立,则称（CICn）为该方程组的 一组解（solution）几个基本问题 方程组是否存在解？如果有解,有几个解？ 如何求方程组的解？ 解的公式表示 解的几何结构（如一个二元一次方程表示一条平面直线）§2.1 GaUSS消元法基本思想：将方程组三角化,再回代求解例2.1(3× + 2×2 X3 = 6 (.× + 3×2 + 2x3 = 9'2× ×2 + 3×3 = 3 f × + 3×2 + 2×3 = 9； l 2× - x2 + 3x3 = 3(3x1 + 2x2 - X3 = 6 f × + 3x2 + 2x3 = 9 ,( 一 I -7×2 - X3 = -157×2- 7×3 = -21 ×1 + 3×2 +2×3 =9x1 + 3×2 =7 f X1 =。t取代，-.-7×2 - ×3 = -15 上l -7x2= 14YY一 l ×2= 2' 6x3 = 6X3 = 1Yq = 1 例2.2j Xi + 2x2 + 3x3 + I4 x4(×1 + 2×2 - 5×4=1I 2× + 4×2 - 3×3 -19x4=6(-i- AYa RYC -24y.=7l ×1 + 2×2 + 3×3 + 4x4 = -3 a13×3 9×4 = 4I 9×3 - 29×4 - 12I,(-11X3 - 36×4 - 16+ 3×3 + 4×4 -3×1÷×2-3×3 - 9×4 = 41 = 1 - 2t + 5t2 9三个基本变换(1)交换两个方程；Oi - Oj(2)某个方程乘一个非零常数c × Oi(3)某方程乘一非零常数加到另一个方程c × 0i÷0j定理2.1三个基本变换将方程组变为同解方程组因此不会产生增根§2.2 Gauss消元的矩阵表示解方程组的时候,变元不参与运算因此可以省去变元重新考虑例2.1X1 ×2 ×31329)-7-1-15 JAA2-1)32 X 3'36< x19 <'1329)J ； 2 T 334-72-13 QQ2-1 pn7于是例2.1种的线性方程组等价于,(3x + 2×2 - ×3 = 6 r (-7x2 - 72x3 = -21 '(6x3 = 6两个进一步的例子重新考虑例2.2匚经 ×1 + 2X2 + 3×3 ÷ 4×4= -3X2 + 2j N I' 3× + 6×2 - 3x3 24×4 = 7例2.3:无解实例I- 2x2 + 5×3 + 4X4 = 2以6x1 - 7x2 + 4×3 + 3×4 = 39x1 - 9×2 + 9x3 + 7X4 = -1§2.3 一般线性方程组的GaUSS消元解法1 .算法描述2 .最终形式Cln )C11 Clj21JC2j2 ' ' ' C2lj3 1 C2n d2 1» i IICr. jrCrn O . O a(O . O Idm)定理2.2线性方程组的解如下情形1 di O, i (r ÷ 1, ,m),方程组无解情形2 di = O, i = r + 1,，m且r = n,方程有唯一解情形3 di = 0,i = r + 1, ,m, r < n,方程有无穷多解 ×j1, ,×jf为非独立 未知数,其余为独立未知数(共有n - r个)，记为X , Jn r.则方程的通解可以写成 tl, ,tnr的线性组合对于齐次方程,只有情形23发生推论2.1齐次线性方程组有非零解充要条件为r < n,只有零解条件为。r = n.推论2.2若m V n,则齐次线性方程组一定有非零解回头看本章开头提出的几个基本问题：（1）解的存在性与唯一性问题已解决；（2） 求解问题已解决;我们还需继续研究方程的公式解及解的几何结构对于n = 3的情形,由于每个方程表示三维空间中的一个平面,因此方程组的解 将是一些平面的交集，因此解集可以是一个平面,一条直线一个点或空集这里, r是决定解集的一个非常变更的量！几个新的问题1 .如何从原方程组判别解的存在性唯一性及多解？2 .如何从原方程组直接确定r?3 . r是否唯一？4 .解集的大小与r有何关系？5 .直接从原方程获得解析（公式）解为研究方程组的解析（公式）解,我们将引入行列式的概念为研究方程组的解得 属性（存在性,唯一性等），我们引入矩阵的运算（特别是乘法运算）.为研究线性方程组 的解集的结构,我们将引入线性空间的概念线性方程组行列式矩阵线性空间课堂作业1 .求下列线性方程组的通解：/2北1 + 3也一他+也=1 '* < tl + 1l-b3+t4=3I 4北1 + 6也+ 3他-涉=3，2北1 + 3必+9他-7也=32 . 为何值时,下列线性方程组有解？并求解：(2x1 - x2 + X3 + ×4 = 11 ×1 + 2X2 - ×3+ 4x4 = 2Y 一X1 + 7x2 - 4 X3 + 11×4 = 3*.是否存在数域F使RUFU C?第三章矩阵与行列式?3.1矩阵的概念对任意正整数m和n ）由m n个数或不定元排成的m行n列的表/、3l112a2n|21222n，.I（3.1）称为一个mn矩阵。表中的每个数或不定元称为矩阵的元素。排在第i行第j 列的元素a”称为矩阵的第（i, j）元素:当i =时）a”也称为矩阵的对角元。矩阵 （3.1）通常记为（列）m x。两个矩阵相等）当且仅当它们的行数和列数都相等）且每 个位置上的元素都相等。下面介绍几种常见的矩阵名称。 n n矩阵称为n阶方阵。 元素都是。的矩阵称为零矩阵）通常记为0。 对角元是1其它元素都是。的方阵称为单位阵）通常记为I。 对角元是a其它元素都是0的方阵称为数量阵）通常记为al。 若方阵A = （aij）nr满足a” = 0对所有i为成立）A称为对角阵）通常记为 A diag（a t, a）« 若矩阵A = （au）mn满足aij = 0对所有i > j成立）则A称为上三角阵。 若矩阵A = （aij ）mn满足aij = 0对所有i < j成立）则A称为下三角阵。 若方阵A = （aij ）nnSaij = ai对所有万成立）则A称为对称阵。 若方阵A= （aij）nn满足西=,对所有万成立）则A称为反对称阵。 若方阵A=（dj）nn的每行、每列都恰有一个元素等于1且其他元素都等于0 ）则A称为置换阵。 若矩阵A的元素都取自某个数域F）则A称为数域F上的矩阵。特别）若A的元 素都是复数、实数、有理数、整数、多项式、）则A分别称为复矩阵、实矩 阵、有理数矩阵、整数矩阵、多项式矩阵、。?3.2矩阵的运算?3.2.1加法和数乘设矩阵A= (aij )mxnfQB = (5 )m n)是一个数或不定元)则/ 、11 + bn a12+b12 × × × 3m + bin |321 + b2i 322 + b22 XXX 32n + b2n (A + B= ,j (3.2)(3ml + bm1 a2 + bm2 × × × 3mn + bmn ,和/ 、an a2 × × × am ja2 a22 × × × a2n 'M= ,1l (3.3)(入 ari 入 arn2 XXX Aamn分别定义了矩阵的加法运算和数乘运算)记为A + B = (aj + bjj )m> A = (ajj)mn类似地)可以定义矩阵的减法运算和负矩阵A . B= (3ij . bjj ) m X n >.A= (. 3ij ) m X n按照定义)只有大小相同的矩阵才可以相加减。定理3.1.矩阵的加法和数乘运算具有下列性质，(1) A + B = B + A：(2) (A + B ) + C = A + (B + C)：(3) A+O=O+A=A:(4) A + (.A) = (.A) + A=O:(5) ( + )A = A + A:(6) (A + B ) = A + AB ：(7) ()A= (A):(8) 1A = A0因此)数域F上的所有m n矩阵构成F上的一个线性空间)记为FmX1 设Eij为(i, j)位置元素等于1 )其它位置元素等于。的m n矩阵)则每个矩 阵A = (aij)rn*n都可以唯一地表示成A =么 E"的形式。于是)Fmn的 i. j维数等于mn )且Ejj 1 < i < m1 1 < j < M是FmXn的一组基。?3.2.2矩阵的乘法并非任意两个矩阵A与B都可以相乘)只有当A的列数等于B的行数 时)A与B才可以相乘。 设A = (aij)1n)B = (bij)mp)定义A与B的乘 积 AB = (Cij) m* P )其中n I QGj = ikbkj = ¾bij + ¾2b2j + × X × + ¾n bj(3.4)k1即Cij等于A的第i行与B的第j列相应元素的乘积的和。(1)即使A与B是同阶方阵)AB与BA也不一定相等。(2)两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。(3)在A的左边乘上对角阵相当于将A的各行分别乘上一个数)在A的右边乘 上对角阵相当于将A的各列分别乘上一个数。特别)用数量阵入I与A相乘 的效果等于矩阵的数乘入A。更特别)IA = Al = A )0A = AO = Oe定理3.2.矩阵的乘法运算具有以下性质，(1) (AB)C = A( BC)：(2) (AB ) = (AA)B = A(B )：(3) A(B + C) =