中科大《线性代数与解析几何》讲义6欧几里得空间.docx

第6章欧几里得空间在我们所接触到的一类集合,如解析几何中所有三维向量的集合R3,次数小于或等 于n的实系数多项式集合Pnx以及n X m阶实矩阵的集合PnXm等等.都在加法和数 乘这种代数运算下是封闭的.不管这些集合是如何构成的,其元素(通称为向量)之间的 加法和数乘都满足共同的代数法则将这样的加法和数乘以及所满足得法则抽象出来 就引进了线性空间的概念如果说解析几何中的三维几何空间R3是线性空间一个最具 体的模型的话,我们会发现R3中向量的长度、夹角等几何性质在线性空间理论中没有 得到反映.而向量之间的度量等几何性质在物理和几何等许多问题中具有十分重要的作 用因此,本章的主要目的就是研究一类具有度量的线性空间-欧几里得空间?6.1定义与基本性质从解析几何中我们知道,对于三维向量所构成的线性空间R3中任意两个向量a和 b,设a和b分别是他们的长度，是他们之间的夹角,则其内积(有时又称为数量积 或点乘)定义为(a, b) = ab cos .这个具体的内积满足对称性线性性和正定性等基本性质反之向量a的长度以及向量a和b之间的夹角也可由内积表示Aa = ( )a,a = arccos("00 a,ab,b因此,如果我们首先给出满足基本性质的内积的定义则向量之间的长度和夹角也 就可以由内积表示1 .欧几里得空间的定义定义1.1设V是实数域R上的线性空间如果V内任意两个向量a和b都按某一 法则对应于一个实数记作(a, b),且满足(1)对称性:即对任意两个向量a, b V ,有(a, b) = (b, a)(2)线性性:即对任意一个实数和任意三个向量a, b, c V ,有(a, b) = (a, b) (a + b, c) = (a, c)+ (b, c)(3)正定性:即对于任意一个向量a V ,有(a, a) 0,等号成立当且仅当a =。(零 向量).则称(a, b)为a和b之间的内积，定义了这种内积的实数域R上的线性空间V称为 欧几里得(EUdid)空间，简称欧氏空间.简言之欧氏空间就是装配了内积的线性空间 这样的线性空间,不但具有代数性质同时也具有了几何性质注意到从定义中的和可知,对任意两个实数1 f2和任意三个向量a,b,c V, 也有( a + 2 b, c) = (a, c)+ 2 (b, c)(a, b + 2c) = (a, b)+ 入2 (a, c)推而广之有kmk m( Nai, jbj) = j (a, bj)i=1j=1i=1 j=1另外 Q)和(2)也蕴涵着下列特殊情况(a, 0) = 0这里0表示线性空间的零向量.读者不妨自己证明上述内积的定义其实并不陌生从定义中的(1)和(2)可以看出(a, b)实际上定义了 一个V上的双线性函数如果V是一个有限维线性空间那么(a, b)在V的一组基下对 应一个对称的实矩阵而定义中的(3)表明(a, a)是一个正定的二次型即对应的实矩阵 是正定矩阵反之如果在V内给定一个双线性函数f (a, b),且f (a, a)是一个正定的二 次型则可以通过这样的双线性型函数定义V上一个内积(a, b) = f (a, b)使之成为一个欧氏空间由此可见对于实数域R上有限维的线性空间V的内积概念和 二次型是紧密联系的.2 .欧几里得空间中向量的长度与角度设V是一个欧氏空间我们可以通过其内积定义V中任意一个向量的长度和任意两 个向量之间的夹角为此我们首先证明如下命题命题1.1 (柯西-施瓦茨不等式)：设V是欧氏空间(，)是V的内积,则对V中 的任意两个向量a和b,有 (a,b) ( )( )a,ab,b证明 如果a或者b有一个为零向量,则结论显然成立.否则对任意的 ,有O (a + b, a + b)=(a, a)2 +2(a, b) +(b, b).上式右端是的二次多项式,其值非负,故没有相异的实根,因此其判别式满足2(a, b)2 4(a,a)(b, b)即得不等式向量的长度：设V是欧氏空间(，)是V的内积,对于任意的a V ,定义Aa = ( )a,a称为a的长度或模.从内积的性质(3)可知a = O的充分必要条件是a是零向量. 当Ial = I时称a为单位向量.对于任意一个非零向量a,则不难验证向量 由a的长度 为1.因此通过这样的方式可以把任何一个非零向量压缩(或"放大")为一个单位向 量这个过程称为向量的归一化.根据长度的定义命题中的柯西-施瓦茨不等式为(a, b) ab.我们还不难证明 下列三角不等式成立a + b a + b这是因为a + b2 = (a + b, a + b) = (a, a)+2(a, b)+(b, b)< a2 ÷2ab ÷ b2 = (a + b)2所以a + b a + b因此长度也给出欧氏空间中任意两个向量a和b之间的“距离"：d(a, b) = a - b读者不难验证上述定义满足距离定义的三个要素,即对称性d(a, b) = d(b, a),正定性d(a, b) 0,等号成立当且仅当a = b和三角不等式：d(a, b) d(a, c)+ d(c, b)向量的夹角：对于欧氏空间V中任意两个非零向量a和b,由柯西-施瓦茨不等式 得1 (a，b)-一1 ab 1所以可以定义两个非零向量a和b之间的夹角为 = arcs ajb 建。一特别,当(a, b) = O时,称非零向量a和b相互正交或相互垂直，记作a ± b.还可以定义向量a垂直于V的子空间W ,即a垂直于Vi中任何一个向量子空间 Vi和V2之间相互垂直即是Vi中的任何一个向量垂直于V2中的任何一个向量例如在 解析几何的三维欧式空间中z轴正方向的单位向量k垂直于由i和j张成的二维子空 间，即OXy平面.?6.2有限维欧几里得空间中的基"基"是有限维线性空间理论中的"纲"把握住这个纲,也就基本把握住了整个线 性空间现在我们要研究欧氏空间中内积在空间的基之下的表示以及构成空间基的向 量之间的内积关系设V是有限维的欧氏空间1 , 2 , , Bn是它的一组基.因此，V中任意两个向量a和b的内积可以表示为n(a, b) = (ei, ej)abjij=1这里a = Si l + S2 2 + + 3nb = bi + b2e2 + - + be因此,把握住内积在基向量之间的取值也就把握住了内积在任何两个向量上的取值 将基向量之间的内积记为gy = (e, ej), i, j = 1, 2,，n则根据内积的性质矩阵G = (gij)%-是一个实的对称的正定矩阵利用矩阵G欧氏空间V中任意两个向量a和b的内积可 以通过他们在这组基下的坐标(a ,a2 , -,an), (b1 ,b2 ,，bn)表示n(a, b) = gjaibjM= 1称矩阵G是内积(a, b)在基e , 2 ,，e下的度量矩阵.现在的问题是(1)欧氏空间的内积在不同的基下对应的度量矩阵之间有没有什么关系(2)是否存在一组特殊的基,使得欧氏空间的内积对应的度量矩阵尽可能简单？比 如说是否存在这样一组基,使得内积在这组基下的度量矩阵是单位矩阵要回答第一个问题就要从n维线性空间中两组不同的基之间的关系出发.设n 1, n 2，小是欧氏空间V的另一组基.对应的度量矩阵为t?=(所)根据线性空间的理论可知,存在一个矩阵使得两组基满足(7，n 2，) = (e, 2,，e)T因此，有 = TGT即欧氏空间的内积在不同基下的度量矩阵相互合同对于第二个问题就是希望找出一组类似三维几何空间中构成直角坐标系的单位正 交向量i, j , k的一组基.如果欧氏空间V中有一组两两正交的非零向量a1 , a2 ,，a,，即(a, aj) = a2 ij, i, j = 1, - ,r则称该向量组为正交向量组.显然正交向量组一定是线性无关的.这是因为如果有 1 a + 2 32 + + r3r = O则两边分别用ai1 i = 1,，r作内积,得ia2 = OJ = 1,，r因为国是非零向量所以就有 = 0.这就证明了正交向量组的线性无关性如果r就 是空间的维数则正交向量组就是V的一组基.定义2.1在n维欧氏空间中,含n个向量的正交向量组称为正交基.由单位向量组 成的正交基称为标准正交基例1.1中所给出的a就是欧氏空间Rn中的标准正交基.设e , 生 ,，ez是欧氏空间V的一组标准正交基,由定义知1. t = j(e, j) = 6jj = <O. a 4 i换句话说一组基为标准正交基的充分必要条件就是空间上的内积在这组基下的度量矩 阵为单位矩阵因为任何一个度量矩阵是正定的,根据实二次型的结果,正定矩阵一定 合同于单位矩阵.度量矩阵合同得过程就是对应的基之间的变换过程.因此,对于欧氏 空间中任何一组基,都可以通过基变换得到另一组基,使得内积在这组基下的度量矩阵 是单位矩阵这说明欧氏空间的单位正交基是存在的.下面将给出如何从一组基出发,构造一组标准正交基.构造的方法称为施密特(Schmidt) 正交化方法.施密特(Schmidt)正交化方法 设 1 ,，an是欧氏空间V的一组基,我们可以 将其改造成为标准正交基.做法如下首先将a 1归一化,令1 = i1则有(e, e1) = 1.然后在e1与a2所张成的子空间中找出一个与e1正交的向量或者说在6与的 线性组合中着这样一个向量图2.1上图启发我们这样的向量是 2 = Q2 - (a2, e )e即，。2减去a2在e上的投影.不难验证(e1,2) = 0再将P2归一化,得3H显然(, e2) = 0, (e2, e2) = 1继续上面的过程,假设利用 1 , 2 , ak- (k - 1 < n)已经构造出了单位化的正交向量组ei , 2 , - , k-1 ,我们再从ak和l , 2 , - , k-1所张成的子空间中挑选一个与 e , 2 ,，ek-都正交的向量 k,这个向量如下k-1 k = ak -(a, e)eii=1显然它一定非零,否则就有k-1ak =(a, ei)ei=1即ak是例，62 ,，ek-的线性组合从而也是a 1 ,，ak-的线性组合这与a , a2 , an线性无关矛盾.另一方面k-1( k 1 j) = (ak, ej) -(a, e)(i, ej) = 0i=1故 k与所有ei , 2 , , ek-正交再将 k归一化得到一个与所有ei , 2 , , ek-都正 交的单位向量ek=ik将上述过程一直进行到k = n,这样就得到了一组标准正交基e1 , e2 ,，e令?6.3欧几里得空间中的线性变换由于有了内积,欧氏空间既保留了线性空间的代数性质又具有了几何含义.本节 我们感兴趣的是那些与内积密切相关的线性变换.1 .正交变换和正交矩阵简言之正交变换就是那些保持内积不变的线性变换,即定义3.1设V是一个n维的欧氏空间，A是V内的一个线性变换,如果A保持V 的内积不变,即如果对于任意的两个向量a, b V都有(Aa, Ab) = (a, b)则称A是V内的正交变换因为欧氏空间中向量的长度和向量之间的夹角以及正交性都是由内积表示的,所以 当向量经过正交变换后其长度或夹角是不变的.这就是正交变换的几何含义下面的定 理给出正交变换的两个充分必要条件定理3.1设V是一个n维的欧氏空间，A是V内的一个线性变换,则下列两个条 件中的任何一个都是A为正交变换的充分必要条件(1) A保持任意向量的模不变；(2) A将标准正交基变为标准正交基.下面讨论正交变换在标准正交基下对应的矩阵设灯，,，en是欧氏空间V的标 准正交基，A是V的正交变换，A = (ay)是变换A在标准正交基下的矩阵.即有(Ae , A2,，Ae) = ( , 2 , , n)A或nAej = aij + a2je2 + + aje = aije, j = 1, 2, ,ni=1根据定理3.1,得nnI/6ij = (Ae, Aej) = ae, akjk1=1k=1n= aakj6k = akakjl,k=1k=1即nakakj = 6ij, i, j = 1, ,nk=1这正是矩阵满足AxA = I的具体表示因此,标准正交基下正交变换对应的矩阵具有特 殊性质为此我们先给出一个独立的定义定义3.2实数域R上的方阵A,如果满足AA = |,或 A-1 = A则称方阵A为正交矩阵.注意到上面的定义自动给出AA = I1同时给出正交矩阵的行列 式 det A= ±1.根据上面分析我们有定理3.2欧氏空间中的线性变换A是正交变换的充分必要条件是A在标准正交基 下对应的矩阵A是正交矩阵上面的分析过程是可逆的,也就是该定理的证明定理3.1和定理3.2分别给出了正 交变换三个等价的命题它们是正交变换的基本性质也可以通过这三个等价命题中的 任何一条给出正交变换的定义定理3.3设V是n维欧氏空间,则(1)单位变换是正交变换.(2)两个正交变换的乘积仍然是正交变换.(3)正交变换一定可逆其你变换也是正交变换.换句话说如果设。(n)为n维欧氏空间V上正交变换全体所构成的集合,则(1)单位变换E O (n);(2)如果 A, B 0(n),则 AB 0 (n);(3)如果 A 0 (n),则 A 可逆且 A- 0 (n)证明Q)是显然的.对于(2),只要注意到对任意两个向量a, b V,有(ABa, ABb) = (A (Ba), A (Bb) = (Ba, Bb) = (a, b)对于(3),由定理3.1,正交变换把标准正交基变为标准正交基,所以变换可逆,而且(a, b) = (AA-a, AA-1 b) = (A(A-Ia), A(A-Ib) = (A-a, A-Ib)读者也可以将变换在一组标准正交基下对应成矩阵利用正交矩阵的性质证明上述结论 因为定理3.2说明在标准正交基下正交变换和正交矩阵是一回事定理3.3的证明是简单的,但含义是深刻的.即欧氏空间上正交变换(或正交矩阵) 的全体所构成的集合0 (n)是一个具有单位元每个元素都可逆并在变换(矩阵)的乘积 运算和逆运算下封闭的集合.具有这样性质的集合数学上称之为"群"，研究"群"的学问 称为“群论".因此0 (n)就是欧氏空间的正交变换群(线性空间上所有可逆的线性变换 也具有上述性质,称为变换群).由正交矩阵的定义可知正交矩阵的行列式det A= ±1. 如果A是正交变换,则A在一组标准正交基下矩阵的行列式为±1,由于A在不同基下 的矩阵相似而相似的矩阵的行列式相同故A在任何一组基下的矩阵行列式或为1,或 为-L如果A在任何一组基下的矩阵行列式为1,则称A为第一类变换或称为V内的 一个旋转.如果A在任何一组基下的矩阵行列式为-L则称A为第二类变换.正交变换最简单的模型是二维欧氏空间R2和三维欧氏空间R3中的坐标旋转变换.在R2中,对应标准正交基（正交标架）i, j,这样的正交变换对应的正交矩阵为 Z（COfiO KlU 0A 二 I -sin。Cabd其中表示旋转的角度.在R3中,对应标准正交基i. j, k正交矩阵的一般形式如下COS Yi C0SY2 COS Y3特别,如果旋转绕Z轴进行,即变换保持k不动,则对应的矩阵为A =（第 8 C 就（P） 001/.从二维和三维欧氏空间的旋转变换可以直观地理解定理3.3.几何上看两次旋转可 以形成一次总的旋转一个旋转的反转也是旋转,当然不作任何动作也是一种旋转 而行第一类变换就是保证右手系不变的旋转,而第二类变换就是在旋转的同时又做了一 个反射,把右手系反射成左手系我们还知道,二维欧式空间R2中的二次曲面Ax2 +2 Bxy + Cy2 = D可以借助坐标旋转变换/× _（ dsin ' X,y 1 bincjh yf化为所谓的标准形式A2 + y2 D在三维欧氏空间R3中也有类似结果（参见解析几何）.推广到n维空间中,就是将二次式aj×i×j = X GXi.j=1X = AY通过正交变换使之变成平方和0 Q*的形式下面讨论正交变换的特征值定理3.4设A是实数域R上的n维欧氏空间V上的正交变换.则A的实的特征值 （如果存在的话）只能是1或者-1.特别,如果欧氏空间的维数是奇数则其上的第一类 正交变换,一定存在值为1的特征值注记 事实上正交矩阵的任何特征值M不管是实的还是复的)，都满足 = 1.我们 将在后面详细讨论2 .对称变换和对称矩阵欧氏空间中还有一类重要的变换,称为对称变换,其定义如下定义3.3设V是实数域R上n维欧氏空间，A上的线性变换.如果A作用在V 中的任意两个向量a和A上满足(a, Ab) = (Aa1 b)则称A是V中的对称变换.此处主要讨论对称变换以及该变换在标准正交基下的矩阵的性质定理3.5设A是欧氏空间上的线性变换,则A是对称变换的充分必要条件是A在 任何一组标准正交基上的矩阵A是对称矩阵A = A.定理3.6设A是欧氏空间V内的对称变换,则A对应不同特征值的特征向量相互 正交证明 设 1 ,入2是A的两个不相同的特征值 北1 ,北2是对应的特征向量,即Ab = 1北1, A =人目卜因此(4b, ) = (A北 1 ,½) = Ob, Nb) = 2(ib, )因为入1，人2,所以(北1 ,山)=0,即北1和也相互正交?6.4欧几里得空间的子空间我们感兴趣的是在有度量的空间中子空间的正交性犹如三维几何空间中过原点的 直线与直线直线与平面的正交那样1设a是欧式空间V中一个向量W是V的子空间如果a与Vi中任意一个向量 都正交即(a, b) = O对任意的b Vi成立则称向量a与子空间Vi正交记为a ± Vi .2 设V,V2是欧式空间V的两个子空间如果对于任意的a1 Vi , a2 V2,恒有,a2) = O则称子空间VilV2相互正交记为Vi ± V2 .当然可以类似定义r个子空间Vi , . . . ,Vr两 两相互正交因为只有零向量与它自身正交所以如果a J_ Vi ,则a名Vl除非a二O是零向量 如果Vi _L V2,则Vi n V2=O.根据这种分析我们有定理4.1如果子空间W,V2相互正交那么它们的和Vi + V2是直和.推而广之如 果Vl , . . . ,Vr两两相互正交则那么它们的和Vl + Vr是直和.证明设a Vi, a2 V2z且a + 2 = O上式两边分别与a1和a2作内积,利用正交性就有(a , ai) = O, i = 1, 2.即a二O定义4.2子空间V2称为子空间Vi的正交补空间或简称为正交补,如果W _L V2且 V = V - 1+ V2 .显然如果V2是Vi的正交补,则Vi也是V2的正交补.定理4.2欧式空间中任意一个子空间Vi都有唯一的正交补空间?6.5西空间欧几里得空间是针对实数域上的线性空间装配上一种内积(或者说度量)后形成的. 自然会问可否将这些结果推广到复数域上的线性空间形成一种复数域上的欧氏空间 另一方面欧氏空间内正交变换的特征值有可能是复的,因此也有必要将实数域扩展到 复数域的情形今后对于一个数人，或Cn中一个向量a = (a ,，an),或一个复矩阵A = (aj)x ,或 a = (a ,，arl),或A= (aij)分别表示它们的复共扼 a和At表示转置共扼1.西空间的基本概念定义4.1设V是复数域上的线性空间如果V内任意两个向量a和b都按某一法 则对应于一个复数(即定义一个二元复函数)，记作(a, b),且满足(1)共扼对称性:即对任意两个向量a, b V ,有(a, b) = ( )b,a(2)线性性:即对任意一个实数和任意三个向量a, b, c V ,有(a, b) = (a, b) (a + b, c) = (a, c)+ (b, c)(3)正定性:即对于任意一个向量a V ,有(a, a) 0,等号成立当且仅当a = 0(零 向量).则称(a, b)为a和b之间的内积，定义了这种内积的复数域C上的线性空间V称为 西(unitary)空间.注意到从定义中的Q)和(2)可知(a, b) = (, 0) ,人(b. ci) ,入(a, b)推而广之有( a + 入2 b, c) = (a, c)+ 入2 (b, c)(a, b + 2c) = 1 (a, b)+ 2 (a, c) kmk m(ia, jbj) =AiMj (a, bj)i=1j=1i=1 j=1例4.1在复数域上线性空间Cn中定义内积如下对于任意两个向量a = (a1 , - ,a) 和 b 二和, ,bn),令n(a, b) = a bi + a2 b2 + + abn = aibj = a bti=1这里"t"表示转置共扼.不难验证它是Cn上的内积.2.西空间的基本性质类比欧氏空间我们同样可以定义酉空间中向量的长度或模这是因为在酉空间内 对于任何一个向量a, (a, a) 0,所以定义a的长度(模)如下Aa = ( )a,a当Ial = I时,称a为单位向量.任何一个非零向量az向量而是一个单位向量,称为 a的归一化.然而对于酉空间由于任何两个向量之间的内积(a, b)不再是一个实数所以无法 定义两个向量之间的夹角这是酉空间和欧氏空间之间一个较大的区别!尽管如此,我 们仍然可以定义酉空间中向量之间的"正交"或者称为"垂直定义4.2酉空间中两个向量a和b满足(a, b) = O时,称为相互正交(或垂直)，记 为aTb.再次强调,这里的"正交"或者"垂直 仅仅是指内积等于零,而不是夹角等 于90 ,因为这里没有夹角的概念因此欧氏空间中凡涉及正交性的结果均可移植到酉空间中定理4.1设V是n维的酉空间,则(1) V中两两相互正交的一组向量一定是线性无关的；(2) V中也存在标准正交基.即存在一组基e , e2 , - , e,满足(ei, ej) = 6ij, i, j = 1, 2, ,n(3)重要的是欧氏空间的施密特正交化过程在酉空间一样有效!即从酉空间中任何 一组基出发,可以通过完全一样的施密特正交化过程,得到一组标准正交基.根据上述定理设e1 , e2 , - , en是酉空间V内的一组标准正交基.因此对于V内任 意两个向量a, b,有a = a e + a2 2 + + ae, b = bi e + b2e2 ÷ + be则nn(a, b) = ( aii, ej)i-1j-1n n=abj (e, ej)i=1 j=1n n=6ijaibj =aibi=1 j=1i=1读者可以自行完成上述定理的证明下表就一些重要性质给出了欧氏空间和酉空间 之间的类比.欧氏空间V(R)酉空间V (C)内积(a, b)为实数满足 (a, b) = (b, a).(a, b) = (a,b) = (a, b).内积(a, b)为复数满足(a, b) = ( )b,a.(a, b) = (a, b); (a,b) = (a, b).模 Ial = (a, a) O. 向量a的单位化向量：-ia.模 Ial = (a, a) 0.向量a的单位化向量：柯西-施瓦茨不等式(a, b)2 (a, a)(b, b)即(a, b) ab.当且仅当a, b线性相关时等号成立.柯西施瓦茨不等式(a, b)( )a,b (a, a)(b, b)即(a, b) ab.当且仅当a, b线性相关时等号成立.向量a, b的夹角: = arccos卷(其中a, b是非零向量).无定义向量a, b正交：(a, b) = 0.向量a, b正交：(a, b) = 0.三角不等式成立 a + b a + b.三角不等式成立 a + b a + b.度量矩阵S为实对称矩阵设e , /2 ,e为基， y = (e, ej) = ji.度量矩阵S = (j) = S.度量矩阵S为复共U对称阵设e , e2,，e为基，Qij = (ei, ej) = (ej, e) =。口. 度量矩阵S = (j) = Sx = St.用施密特方法可将任一组基 改造为标准正交基：, 2,，e.(e , ej) = j, i, j = 1, 2, ,n.用施密特方法可将任一组基 改造为标准正交基：l , 2 ,， .(i，ej) = ij, i, j = 1, 2,，n.在标准正交基下、 /nfn(a, b) =ai e, bjj = abi.i.1i.1i.1在标准正交基下、 /nnn(a, b) =aei, bjj = abi.ii 1j!3. VT换和V矩阵定义4.3设U是酉空间V内的一个线性变换,如果满足对一切向量a, b V有(Ua, Ub) = (a, b)则称U是酉空间V内的一个酉变换.定义4.4设U是一个n阶可逆的复矩阵,如果满足UtU = I,或 UT = Ut则称U为酉矩阵二阶酉矩阵的一般形式如下、 /a uA= 4, BF + b2 = 1a从定义看酉变换不改变酉空间的内积,因此它和对应的矩阵应该具有欧氏空间中 正交变换和矩阵类似的性质这些性质如下定理4.2设U是酉空间V内的一个线性变换,则下列各命题相互等价(1) U是一个酉变换；(2) U保持向量的模长不变,即对任意的a V,有IUa = a;(3) U把酉空间的标准正交基变为标准正交基；(4) U在标准正交基下的矩阵是酉矩阵定理4.3设U (n)是n维酉空间内所有酉变换的全体所形成的集合,则(1)单位变换E U (n)；(2)如果 Ui , U2 U (n),则 U 1U2 U (n); (3)如果 U U (n),则 UT U (n)因此 U (n)也具有正交变换全体所构成的集合O (n)类似的性质,即在变换的乘法和逆运算之 下是封闭的.定理4.2和定理4.3的证明完全类似于关于欧氏空间内正交变换的定理3.1,定理3.2 和定理3.3.只是在需要取复共U时要注意定理4.4设U是酉空间上的酉变换,则其特征值满足 = 1.证明 设入是U的特征值X是对应的非零特征向量,因此有(x, x) = (Ux, Ux) = (x, x) 所以2 = = 1推论4.1欧氏空间上正交矩阵的特征值如果是复数的话,则其模长为1.这是因为欧氏空间可以看成是特殊的酉空间正交变换则是特殊的酉变换,因此, 如果正交变换的特征值是复数的话,则其模长为1.3.尼米特变换和尼米特矩阵将欧氏空间中的对称变换推广到酉空间中就是厄米特变换.定义4.3设A是酉空间V内的一个线性变换.如果对V中任意两个向量a和b有(a, Ab) = (Aa, b)则称A是酉空间V上的尼米特(Hermite)变换注意到,从定义的形式上看,厄米特变换与对称变换完全一样,但前者是定义在酉 空间(即复数域上具有内积的线性空间)上,而对称变换是定义在欧式空间(即实数域上 具有内积的线性空间)上的.我们将看到,当取定空间一组基后,厄米特矩阵在基下的矩 阵与对称矩阵之间的差别.设e , ©2 ,，即是酉空间V的一组标准正交基,并设厄米特变换A在这组基下的矩 阵是A = (aj).从(Ae, ej) = (e, Aej)出发，有nn(Aei, ej) = ( akiek, ej) = aki(ek, ej)= k1k1nn(e, Aej) = (ei, akjk) = akj (e, ek) = ayk= 1k=1所以Bji = Sij即Z = A,或 A = At这就是说厄米特变换A在一组标准正交基下的矩阵A等于它自己的转置共扼定义4.4称满足A = At的矩阵A为尼米特矩阵.所以厄米特变换在任何一组标准正交基下的矩阵是厄米特矩 阵.厄米特矩阵一个显然的性质是其对角线上的元素一定是实数所有元素都是实数 时,厄米特矩阵就是实的对称矩阵下面是一些简单的例子 显然,二阶厄米特矩阵的一般形式如下a bA= b c ' *是实数是A的共U变换的充分必要条件是从在一组基下的矩阵B是A在同一组基下的 矩阵的转置共U