中科大光学讲义05衍射光栅.docx

第五章衍射光栅如果光波在其传播路径上遇到某种障碍物，则将产生衍射，从一般意义上， 光路上障碍物被定义为衍射屏。衍射屏的作用，就是破坏原有自由空间的波前并 重新构建波前，从而使光波场，即衍射场重新分布，前面讨论的具有圆孔、单缝、 矩孔等空间结构的障碍物都是衍射屏。除了上述结构简单的衍射屏之外，还有许多空间结构比较复杂的衍射屏，例 如，具有多条狭缝或多个圆孔的衍射屏。在种种结构复杂的衍射屏中，有一类是具有空间周期性结构的，其衍射的结 果又比较简单的规律，而且容易进行数学上的分析，所以获得了很广泛的应用。 这种衍射屏就是衍射光栅。衍射光栅：具有周期性空间结构或光学结构的衍射屏。衍射光栅可以具有反射或透射结构，可以按不同的透射或反射率分为黑白光 栅、正弦光栅，等等。这类光栅由于使透射光或反射光的振幅改变，因而统称为 振幅光栅。还有一类光栅，对于入射光而言，是全透或全反的，但是透射光或反射光的 相位将被改变，因而被称作相位光栅。5. 1多缝夫琅和费衍射在一个不透光的屏上，周期性地分布着一系列透光狭缝，这就是一种最简单 的平面型透射式光栅。相邻两缝的距离为d,狭缝的宽度为a,不透光部分的宽度 为b,则 + 6 = d, d是光栅的空间结构周期，称作光栅常数。由于这类光栅指 在一个方向上具有周期性结构，所以是一种一维光栅。采用夫琅和费衍射方式，平行光向光栅入射，光栅之后，有一焦距为f的汇 聚透镜，将衍射光汇聚到位于透镜焦平面处的接收屏上。5.1.1衍射强度在讨论单缝衍射时，我们曾经指出，如果单缝沿着衍射屏平移，而衍射装置 的其它部分保持不变，则衍射的强度分布将不发生改变，因为位于透镜焦平面上 的光强只与衍射光的方向有关。因而，对于多缝衍射屏来说，其中每一个单缝， 即每一个衍射单元在接收屏上所产生的衍射条纹都是相同的。但是，来自不同狭缝的光，由于是相干的，因而相互之间也要进行相干叠加, 实际上是一种干涉过程，而不是简单的光强相加。对于衍射光栅来说，既有来自 每一个衍射单元的波列各自的衍射，也有不同单元波列之间的干涉。巾 本V对于光栅的每一个单元，按衍射分析；不同的单元之间，按干涉分析。可以采用振幅矢量方法或者记分方法求的衍射强度分布，以下分别加以说明。 1.用矢量法分析沿着与光轴夹角为9方向的衍射光，经过透镜后，都将汇聚到焦平面上的P 点。P点的方位角可以由透镜成像的规律得到，如图所示，就是9。每一个衍射 单元的复振幅可以用一个矢量表示，记为49。相邻两个单元的衍射矢量间具有位相差所有单元衍射的矢量和为光栅衍射的复振幅。设第n个狭缝的中心到P点的光程为£”，由图上可以看出,L2 =d sin,即 Ln = Li+ (n - IMSin8相邻衍射单元间的光程差= dsin相邻衍射单元间的位相差，A。= kd sin= d sin记 2(3= ,则 B=Sir16,设光栅共有N条狭缝，则合矢量就是N个单元衍射的矢量相加。将N个矢量依次首尾相接，而且第n个矢量相对于第n-1个矢量转过外即邛角。如图，Ae - aa2+ a3+ + a»eA9 = OBn - 2RsinN= 2二Sin N =的"" sin Pstn。用复振幅会为。9二-“ sn?衍射光强为/9= /°（丝上）2（二 ）2M sin P例题5.1. 三条平行狭缝，宽为a,缝距分别为d和2d,求正入射时夫琅和费衍射分布用矢量方法求解如图，三个等长矢量，Z = L吧上，夹角依次为A0、 2f U0 = kdsin9 = sin9 = 2合矢量为A9,分量为A9x=- A + A CoSA(P + A cos(3) A9y. =ASinA¢ + 4 sin(3)Ag = A9 + Agf2 = A + A cos0 + A cos(3)2 ÷ A sin + A sin(30)2=A2 + J2 cos2 0 + icos2 (30) + Z42cos + 2A2cos 3+2J2cos cos 3+ J2 sin2 + 4 sin 2(3) + 2A2 sin sin(30)=3J2 + 2J2 cos + 242 cos 30 + 2J2 cos 2= A23 + 2 cos + 2 cos 20 + 2 cos 3=T0(2!”)2 3 + 2 cos 2+ 2 cos 40+ 2 cos 605.2. 导出不等宽双狭缝的夫琅和费衍射强度分布公式，缝宽分别为a和2a,缝距 d=3ao矢量方法解： 1对于每个单缝，单元衍射因子分别为" zx _ Sinw 一sin 力, +._ . C6ZJ (6) Uq . 9 612 () 2U ,1, 其中 u 一 SSirl uIu沿。方向的衍射光，两缝的光程差 = Jsin = 3sin6,位相差(p = 3ka sin = 3亍FQSin = 6w ,则两矢量的夹角为：合矢量为A2 =+ a1 - 2ala2cos(TT - 0)sin 2 l /e sn2x2 . i, JWnUSln2/=(UQ) ÷ (2UO) - + 4Lcos Gu=(U0sin u)2 1 + 4cos2 w + 4coswcos6w u即光强为/ = 70(*n ".)21 + 4 cos2 w + 4 cos u cos6u，其中 =sin 6。 uA或者将宽度为2a的狭缝作为两个宽度为a的狭缝，采用三个矢量叠加的方法， 可以得到相同的结果。53 2N条平行狭缝，缝宽为a,缝间不透明部分周期性变化，间距a,3aa3a, 求下列各种情形的衍射强度分布(1)遮住偶数条；(2)遮住奇数条；(3)全开放1 1) (2)两种情形相当于单周期光栅衍射。(3 )有两套光栅常数为d=4a的光栅，相互错开a。 第一套Lj =Ll + (/ - 1)(4« sin0)第二套£： = Ll' + (44sin ) = L1 + a sin+ (/ - l)(4asin)矢量方法：有两套相同的矢量各自相加，其中对应的矢量间有夹角¢o,0o = ka sin9 = sin 9 = 2u。各自合成的结果为 A1 (9) , A2(9),两者之间的位相差为仇。这两个矢量的和为A2 =力：(9) + A21 (9) + 2A (9)J2(9) cos 0ii =/(9)2 + 2 cos 2u2 .用FreSneLKirChhoff衍射积分求解平行光入射，满足近轴条件，倾斜因子尸(90,9) = 1 , 1为常数，记为1 o r %UYP)二项 U0(m9。m = jj u°(QWd瞳函数。0(。)具有周期性的数值，透光部分，uo(2)=uo(0);不透光部分的u0(0)=O，所以仅对衍射屏透光部分求积分，有对每个狭缝的积分是求得入射光经该狭缝后的衍射在P点引起的振动，即 复振幅，为光的衍射：对所有狭缝的求和是将每一个狭缝射出的光在P点引起的 振动即复振幅进行叠加，自然是相干叠加，为光的干涉。物理过程为：每一个单 狭缝的光在P点先进行衍射，衍射后的复振幅再进行干涉。在第n个狭缝中，位置在Xj的点光源发出的光与狭缝中心发出的光到达P点的光程差为乙=-xsin,即rn - Ln- x,tsin,上述积分化为Ufp) =dxn=%,=包叫。1/ J -2邛打二L耍就是单缝衍射的复振幅，而X *就是多光束干涉心4（O）Sm “一心。（。严 M詈 Sme）" 2 e*in% -J J-H2的结果。sin。为单元（单缝）衍射因子，由瞳函数决定。2i挹工sin9eiN e- iNfi_ e iNi -i ie e - e、1 . z, e法Lft =、.-IWSin9 =、-d*dsin9 =2in9-al e d(N-1' P' _ e>tv - 19)sin fl其中 = kd sin9 = sin 9 N:N元干涉因子。最后得到U(P) = UOU(9)*9)M9)衍射光强为I(P) = /。(也与(任必)2* JUn (sinw / )2u=nasin9(sin7V/ sin)2=dsin9例题1.积分方法 L2 = L + cl sin9， L3 = L1 + 3d sin9 , rj - Lj- x sin 9*旧 £ + k(L1-Ll) + / a-叫WP) = KFlj#o=dx + j±Uo;cix + j J°T 闵=心”4 丝1 + + = KFIJoa=KFUoaLlw /kI fcfo9 + tdsin9强度分布/(9) = Zo(-)2 I 1 + eikdiw9 + wsin9 I2 u=0(i)23 + d邛 + ei6+ e i2 + e-i6+ ei4 + e i4 U=0(-.1? -) 23 + 2 cos 2+ 2 cos 4+ 2 cos 62.解法一、两缝中心发出的沿9方向光的光程为4和L2 ,有，=4 + 1sin9 , rj = Lz - X sin 9,女尸）=阳j/。=去+jj=岗=K/卬g q詈+: a2¾"Trrs,n W 1 cj%dsin9Lsin"C'" "口 fj, Sin r 1。/打而91KFUoaP- + 2*rfs,ny = KFUOeI1 + 2s,nycos urn w九rn w强度分布/(9) = 0(-n</) 21 + 4 cos2 M + 2 cos w * 2 cos(kdsin9) U=TO(IrII) 21 + 4 cos2 + 2 cos w * 2 cos 6uU解法二、将第二缝分为缝宽为a的两狭缝，三缝中心间隔为dl=(52)a和d2=a。相应皿2 = L + & sin9 , L3 = Li+ (& + 4) Sin9。U(P)= KFa U0 隆阳 + e心”上二 KFaU0-1 + *&4)+ "他知Mn7uKFa TJO-1 + e'kd'sin9 + 出)si9j强度分布/(9) = 0(ln-)2 I 1 + exp(- ika sin9) + exp( ika sin9) 2= 0(?1 nr/.)2 1 + 1 + 1 + exp(Z47 sin9) + exp(-zZra sin9)it227722+ exp(-ica sin9) + exp(-ika sin9) + exp(二永 sin9) + exp(-ika sin9) )22=0(-n</)2 3+ 2 cos 5u + 2 cos Iu + 2 cos 2uu=(*")23+ 2 cosu * 2 cos6w + 4 cos2 u- 2U二4(,n)2 + 4cos2w+ 2cosw* 2cos6w3. (1) (2)两种情形相当于单周期光栅衍射。(3 )有两套光栅常数为d=4a的光栅，相互错开a。 第一套Lj=L广(J l)(4a sin 9)第二套4 = L： + (4QSin9)= Z1+ asin9+ (/- l)(4sin9)U(P)=(a + f()公=KF Uq Lnueikl-' stn+ e叫 + 如Sm "、4*.ru u sin sn7=KFIJ 卢SIn 1 + "Aasin °i U /7强度分布/(6) = /。(竺Ui)2 (- V7 )2 I 1 + e,sin 2“ sin Yn )2(、in )?2 + c'asn + > _而Sin jU sn?0(,n lt)2(、e '' )2 2 + 2 COS(Z4 sin)usin 兰但)21 + cos2u sin4i其中 =sin , /3 = 4« 5.1.2双缝衍射如果光栅只有两条狭缝，N=2,衍射光强为KP) = 4,o COS2 -，Ir而杨氏干涉为/= 0l + cos(sin) = 0(l + cos 2) = 40 cos2 义sin2 U两者相差衍射因子，这当然是由于杨氏干涉中不考虑单缝衍射的结 u果。或者，认为在杨氏干涉装置中把上=1,则必须有u = in= 0 ,只有 ”在Q <<人条件下才能实现。也就是说，在杨氏干涉实验中，每一个狭缝本身的宽 度比光的波长要小得多，这种情况相当于每一个狭缝、或者针孔中只有一个次波 波源。5.1.3衍射花样的特点dsin9ld=5a由图可以看出，因为衍射强度是单元衍射和N原干涉的乘积，总的光强是由 一系列细锐的衍射峰组成，包括主极大和次极大。极值是由缝间干涉因子M9) =把且决定，对M9)求微分，即可得到取 sin/7极值的位置。N(9) '=(sn N0、_ N CoSN"sin 0-CaS° sin Ar'= sin sin" Ntan = tan(M?)这是一个超越方程，可以从图中看出，在每一个区间内，除去N-I个位于+1)二奇点之外，共有N-I个解，都 )2 V是极大值点。,taG-2N 2N1 .衍射极大值位置 = j为超越方程Man = tan()的一组解，此时N(9)取极大值，N(9) = N,光强 /= N2o(-)2 ,U而 = g5:ng ,所以"sin9 = j, =0, ± 1, ±2, ±3,每一个主极大值代表接收屏上的一根亮条纹，因而有一系列的亮条纹，衍射 光谱线。/为谱线级数。谱线位置与N无关，由"，J, A决定。谱线位置与衍射因子无关。谱线强度与Nz成正比，受衍射因子调制。2 .极小值位置当衍射因子或缝间干涉因子为。时，强度都是极小值。要使叫上 = O,只有sinv = O,同时 O,即"二 = ± 1 , ± 2 ,UTTa sin9而=一：一,于是到Aa sin9= n, =±1, +2, ±3, 要使干涉因子”;“二0, 必须si23=0, 同时SinSW0, 即dsin9 = L j= 1 ,2, .N- , N+ , .» 可以列表表示为,.o a 2 (N-IMNN + IM QN- IM Oid sm9 = O , , , .",； 2A,.NN NNN3 .次极大值在任意两个主极大值dsin 9i = N Jsin 9/+l = (/ +1M之间，有N-I个 极小值；而每两个极小值之间有一个次极大值，所以每两个主极大值之间还有N -2个次极大值。次极大值的位置由超越方程Man = tan(N)的另一组解所 决定。4 .谱线的缺级在干涉的极大值与衍射的极小值重合的位置，由于干涉的极大值不能出现而 产生缺级。干涉极大位置dsin9 =",衍射极小位置sin9=n,所以缺级条件为 jd=na,即0o具有上述级数的谱线由于衍射而缺失。5 .1.4干涉与衍射的区别和联系干涉和衍射都是波的相干叠加，因而其物理本质都是相同的，所以，无论是 应用广的叠加原理还是采用惠更斯一菲涅耳衍射积分公式，都遵循振动矢量叠加 的原理。如果仅从这一点来看的话，实在没有必要将干涉和衍射加以区分。之所 以区分，无非是基础以下几种考虑；其一、从实验所采用的装置和方法看，两者有区别；其二、从采用的数学手段上看，两者有区别；其三、从物理结果上看，两者有区别。干涉是“光束”之间的相干叠加，因而要求每一条“光束”都要足够细，因 而，样式干涉实验装置中，每一个狭缝或针孔都要足够小，以至于可以认为其中 仅包含有一个振动源。这些光束是有限条，或虽然有无限多条，但是光束之间是 离散的、不连续的、可数的。而衍射则是连续分布的无限多个点光源（次波中心）发出的光波的相干叠加。 所以每一个衍射单元可以比较大，例如菲涅耳圆孔、夫琅和费单缝、圆孔、矩孔 等等，其中每一个衍射单元中包含有许多（无限多）个扰动源。由于干涉的“光束”是离散的，因而其叠加的过程可以在数学上用求和的方 法解决，既可以直接应用波的叠加原理；而衍射的扰动源是连续分布的，则在数 学上必须采用积分（曲面积分）的方法求解，所以需要求解菲涅耳一一基尔霍夫 衍射积分公式。从最后的效果看，干涉之后光的能量在空间均匀分布，无论杨氏干涉还是薄 膜干涉，各级光条纹有相差不大空间角宽度和强度；而衍射所产生的一系列亮条 纹中，有一个条纹具有较大的强度和角宽度，例如夫琅和费圆孔衍射的爱里斑、 单缝衍射的零级条纹，这个特殊的衍射级就是系统的几何像点上，因而衍射的结 果更接近于几何成像的情况，或者，几何光学就是衍射的零级近似。5.1.5光栅方程前面推导光栅衍射的复振幅及强度分布时，为了表达简单，假设入射光是沿 着平行于系统的光轴方向入射的。实际上，入射光可以沿任意方向，设入射光与 系统光轴的夹角为9。，如图所示，则对于透射式光栅斜入射时光程差 = -t(sin9n ± sin9) = J入射、出射在光栅平面法线同侧，d（sin90 + sin9） = J光学第五章衍射光栅入射、出射在光栅平面法线同侧，t(sin90 - sin90 = j反射式光栅(sin9 ± sin 90) = J,同侧取 “+”，异侧取“”。正入射时d sin9 = , j - 0,± 1,±2,.5. 2光栅光谱由光栅方程dsin9="可以看出，一方面，对于单色光，经过衍射，不同 的衍射级次具有不同的衍射角；另一方面，对于复色光(通常所说的白光)，在同 一级衍射谱中，不同的波长具有不同的衍射角，即9 = 9() = arcsin(J),即 光栅具有色散能力。5. 2.1谱线的角宽度和光栅的色分辨本领dsin9 光学第五章衍射光栅对于单色光，每一级光谱线，在空间都有一定的角宽度，通常用谱线的极大 值与相邻极小值的角度差表示谱线的角宽度，有时也称作“半角宽度”。极大值的位置由光栅方程决定，为sin 9=-,'d1 而相邻的最小值出现在Sin 9' = (/ +>广处，9； = 9 + q因而有 sin 9' - sin 9. = cos9,9. =,可得J , ' Xd9尸- - = .Nd cos Acos",L=Nd,就是光栅的宽度。光谱线的角宽度与光栅的有效宽度成反比，也与衍射交有关，衍射角大，则 角宽度也较大。但是，由于系统基本上都满足近轴条件，也就是说，通常都是小 角度衍射，因而衍射角度对谱线的角宽度的影响并不大。2.光栅的分辨本领入射光是白光，则同一级衍射谱中，不同的波长成分有不同的衍射角。设波长差为6人的同级衍射光谱线的角距离为59 ,则由光栅方程d sin9 = j,可以得到d cos99 = j,即KO 必09 - jo<cos?用RayIeigh判据，9 9时，可以认为人与Z+的谱线是可以分辨的， 因而/二n二Z一可分辨的最小波长间隔为d cos9 Nd cos9= /jN一般用分辨本领表示光栅对不同波长光谱线的分辨能力，分辨本领的定义是 A_A;/吓分辨本领是针对波长的分辨，因而也称作色分辨本领。N越大，/越大，分辨本领越大；分辨木领与光栅常数4无关。5. 2.2光栅的色散与自由光谱范围1.光栅的色散9 = 9(A),不同波长的光在空间分开称为色散，光栅具有色散能力。1) d9d,角色散率，光栅的分光能力。定义为：两条纯数学的光谱线在空间分开的角距离。由光栅方程，可以得到d9 d= J / d cos9(1) y=0, d9d= 0 ,零级光谱无色散，即所有不同波长的零级光谱线 都集中于同一位置。原因是零级谱的干涉的光程差等于零。(2) 9很小时，d9d= jd,对于固定的衍射级数/,角色散率为常数。角色散率与N无关。2)线色散率dd儿 光谱线在焦平面上分开的距离。dl / d= fd91 d2.光栅的量程由光栅方程dsin9 ="或d(sin9 ± sin90) = j可以看出，由于 卜吊9| < 1 ,所以< dsin9j<d,波长大于光栅常数的光不满足光栅方程， 因而光栅的量程，即可以测量的最长波长为九 3.自由光谱范围将入射光的波长范围表示为4儿=4+ M、则衍射后有dsin 9n(J) =JmJsin 9w() =jf=j(m + *)为了使光谱线不重叠，即第j级的长波Am的谱线与第j+1级的短波人的谱 线不重叠，就要求9“(/)< 9(+l),由上式可以得到J（m +）<（/ + 1）4即 w - w < Mj入射光的波长范围必须满足上式，才能保证第j级光谱不与第j+ 1级光谱重 合，这一光谱范围，称作自由光谱范围，即光栅可以自由工作的波长范围。对于一级光谱0= 1 ）,可以从光的短波端人计算出光产的自由光谱范围， As hm = L<hm ,所以一级光谱的自由光谱范围为（人,24）。同样也可以从 其长波端确定此范围，对于一级光谱有，ZUV4,=4 一 即< w2 , 一级光谱的自由光谱范围为（儿/2/“）。光栅方程要求A<d,当儿二d时， 自由光谱范围为（"/2,"）。5.3闪耀光栅5. 3.1问题的提出与解决方案前面所讨论的平面型光栅，无论是透射式的还是反射式的，J= O级的色散 为零，但该衍射级的能量却是最大的。必须注意到，能量集中是衍射的结果，即大部分能量都集中在几何像点上。而色散是干涉的结果，来自不同狭缝的光具有不同的光程。对于平面型光栅，单 元衍射零级的位置与缝间干涉的零级的位置恰好是重合的。如果让干涉零级与衍 射的零级在空间上分开，则可以使衍射的绝大部分能量集中在一个有色散的衍射 级上。即让光的几何像点偏离光栅平面的法线即可。5. 3.2闪耀光栅闪耀光栅具有这种能力。如果让光栅的反射面与光栅平面之间保持一定的夹 角，则入射光相对于光栅平面法线的夹角为9°,而相对于反射面（即衍射单元平面）法线的夹角为9。'，则各个反射面的反射光进行干涉（即缝间干涉）的结果， /二 O级出现在与反射面法线夹角为的方向；而对于每一个反射面，衍射的结果，其主极大、即中央。级衍射出现在与光栅平面法线夹角为9。的方向，即反射 面的几何像方向。这两者是不重合的，因而，干涉的零级光谱不占据光强最大的 位置，而是另外的/HO的谱线处于中央主极大处。如图所示。这种反射面与光 栅平面不平行、而是保持一定夹角的光栅称作闪耀光栅。闪耀光栅同样也具有周 期性结构，每一个反射面被称作闪耀面，闪耀面与光栅平面间的夹角称为闪耀角，记作仇O7=0dsin / y5. 3.3两种常用的照明方式对于闪耀光栅，入射光通常采以特殊的角度入射，这种入射方式被称作闪耀 光栅的照明方式。除力，工一 ”11立方式通常采用图示的两种方式入射（照明）。第一种方式，光沿着闪耀面的法线入射，在反射光的方向上，缝间干涉的光 程差为8= 2d sin%,在这方向上的光谱线满足的条件是2d sin¾ = jyf j=时，衍射最强的波长为Ks = 2d sin/，乂8称作一级闪耀波长。其它波长的一级光谱出现在闪耀波长附近。由于衍射的零级有很大的宽度， 所以，其它波长的一级谱线也有足够的强度。第二种方式，光沿着光栅平面的法线入射，入射光与反射面（即闪耀面）简单夹角为a，则反射光与入射光之间的夹角为2b,因而，在反射光的方向上，相邻两个单元干涉的光程差为8= d sin26s ,因而有在反射方向上，有光学第五章衍射光栅d sin2% =", 一级闪耀波长为= d sin2%0具有级闪耀波长的谱线会出现在衍射。级的方向，而波长为As+的谱线将出现在2dsin（%+（59）=48 +处（在采用第一种中明方式时），由于59 并不是很大，所以该谱线依然有足够的强度。同理，如采用第一种中明方式，波 长为As + 土A的谱线将出现在d sin（2% + 29） =a +小处。5.4 单色仪与光谱仪衍射光栅具有色散能力，平行入射到光栅上的白光，经过光栅的色散，具有 不同的波长的谱线将会出现在空间不同的位置上，即9 = 9（人）。如果保持整个系 统不变，而只让某一个具有特定衍射角的谱线出射，则从系统中出射的光之具有 单一的波长，这种仪器就是单色仪。如果转动光栅，从而使不同波长的谱线能够 在某个方位一次出射，就是光谱仪。其实，单色仪与光谱仪是同一种仪器，只是 根据使用目的不同而有不同的名称。现在的光栅光谱仪或单色仪中，几乎都采用 闪耀光栅作为色散元件。光栅光谱仪的结构可用图说明。入射狭缝。和出射狭缝S2是位置是固定的，而缝宽可以调节。球面反射钠的焦点就是入射狭缝，入射光经变为平行光， 射向光栅G,衍射光经过球面反射镜M汇聚后，射向出射狭缝SJ转动光栅G, 不同波长的谱线就可以从£射出。在S2处，连接探测器，如光电倍增管等，即 可以测得射入SI的光谱。如果将光栅G固定在某角度保持不变，则从S?出射的光，就具有固定的波 长，就可以通过该装置从入射的白光中获得单一波长的出射光。为了提高光谱仪的分辨本领，往往在其中安置两块衍射光栅，如图所示。经 过第一块光栅。色散的光再入射到第二块光栅G2±,进一步色散，则最后从狭 缝S2出射的光，单色性将进一步提高。双光栅单色仪的色分辨本领A = A1A2 =j J2NxN1其中4、力和小、人 本领、光栅刻线数、各谱线级数。 人叱，-si 上H阳久"S? W 一4rint4tr*c4l. 02I1、人分别是第一块光栅和第二块光栅的色分辨母献MI怵曲也g引出外色光5.5 正弦光栅前面讨论的光栅称作黑白型光栅，即透光部分与遮光部分截然分开。与黑白 型光栅不同，正弦光栅的具有可以用正弦或余弦函数表示的振幅透过率，其透过率往往表示为fOC 1+ cos其中d为光栅的空间周期。则在衍射屏上，其瞳 d函数为Uo(x) =+ COS二x,d单元衍射因子为/9) = KUo"i ： (1+S-x>-,fes¾J J 工 d=5亡i俏(1 + L九L号L瞰J JYA 12=陋* I e",fa5,n9+ Led +le dxf77=KUY-I e-lkxs'n9+Ledx0 / J，而,d/2 1 i("r-jtsin9)x-e ddxJ-dJ2 2.“2 rt-A Sin9k，衣=5 % ,小"一 (-sin9)r /< -Asm")II/(lf-sin9)TlIfSin9)W=-e' - e“：T$in")U2i SinI'(77 - k、Sin 9)1-k sin9)=)2 Ld n 2 X 得一k sn2 1 了一2柳d _ d sin(0肝)Ji5 ex 2 x于是永 9) = KU±型 + LaM 夕一工" >(jg÷)° /£2 B-霓 2 BF相当于具有三个不同的夫琅和费单缝衍射因子，缝宽为d,狭缝中心分别在0, 兀，兀处。正是多元衍射因子而(9)的。级和±1级的位置。其余的级次全部抵消。 所以只有这三级衍射。 /(9)4(9)J-L一dsin9-2024685.6 位相光栅振幅型衍射屏使得光的振幅发生变化，上述各种黑白光栅和正弦光栅都属于 振幅型光栅；而相位型光栅则通过改变光的相位，使波前变化，从而重新构建光 波场。具有周期性变化的相位因子的衍射屏就是相位光栅。例如，将光学玻璃做成阶梯形结构，每一阶都有相等高度d和宽度a,设玻 璃的折射率为n ,则从玻璃相邻台阶射出的光，光程差为= (n - )a ,相位差为 A = k= "丁。衍射的极大值条件为5.7 X-RAY在晶体中的衍射5.7.1 晶格点阵晶体具有周期性的空间结构，这是由于晶体中的原子、分子或离子在空间作 周期性排列的结果。晶体的这种周期性可以用晶格描述。晶体的每一个结构单元， 即结构基元，也就是仅包含一个原子、分子、或离子基团的最小的具有周期性的 结构单元，称作晶体的原胞。将这些原胞在空间周期性排列，就组成了晶体。在晶体结构学上，通常将一个原胞用一个点表示，则原胞的排列就变成了电 的排列。由于每一个点代表一个原胞，所以这些点就构成了与晶体结构一致的三 维空间网格，这种反映晶体结构的网格被称作晶格，或晶格点阵。一个原胞晶体的品格或点阵每一个格点都是由若干原子、分子、或离子基团组成，因而入射到格点的电 磁波将会向各个方向散射，散射波遵循波的叠加原理进行叠加。散射的过程可能 是相干的，也可能是非相干的。对于相干散射，散射波进行相干叠加，叠加的结 果，使得沿某些方向散射的波得到大大的增强，而某些方向的散射波显著减弱。 这种过程实际上就是衍射。因而具有空间周期性结构的晶体可以作为衍射光栅。 这是一种三维的光栅。光学第五章衍射光栅5. 7.2 X-射线在晶体中的衍射但是晶体的结构周期，即相邻格点的间距，晶格常数，通常比可见光的波长 小得多，所以可见光不能在晶体中出现衍射。而X射线的波长与晶格常数匹配，X射线可以被晶体衍射。入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。各个散射波进行相干叠加，产 生衍射。有一系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X射线出射的方向。晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不同的间距，即，晶格常数，do *Q O5 。二 -0一 。 F ，«一.极大值条件1 .晶面的衍射首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点间干涉，或称为晶面的衍 射。入射X光相对于晶面的夹角为9,而散射光相对于晶面的夹角为9',如图所 示。相对于晶面的入射角、散射角都是掠射角。一个晶面上各个格点对入射光散射，相邻两个格点沿9方向散射光的光程差 为l = a(cos9,- cos9)，如果上述光程差满足& = a(cos9'- cos9) = ,则散射光相干叠加，将会出现极大值。然而，晶格沿不同方向的散射光的强度并不相同，只有J=O的方 向光强最大，其它方向的散射光，及时满足干涉相长的条件，强度也要弱得多。 因而，每一个晶面的散射光，相干叠加的极大条件为9' = 9。这类似于衍射的情 形。2 .面间干涉相邻晶面间的光程差为2dsin9,当该光程差等于波长整倍数时，相干叠加 后，又极大值。因此面间干涉的极大值条件为。2d sin9 = j该条件称作Bragg条件。5. 7.3晶体X-射线衍射的实验方法1 .劳厄（LaUe）照相法对于晶格常数未知的单晶体，可以采用具有连续谱的X-射线衍射，用照像底 版或其它探测器测量并记录衍射光的方位。如图所示，对于晶体中的某一个晶面，如果发生衍射的掠入射角为9,则相 对于入射光的方向而言，衍射光偏转了 29角；换言之，在不知晶面方向时，从 衍射光相对于入射光的偏转角29可以确定衍射角为9,进而确定晶面的取向。所以，在测量单晶体的衍射时，入射光的方向是不变的，晶体放在可以转动 的样品台上，探测器则处在一个圆周上。两者的转角保持联动，即样品转过9角， 探测器同时转过29角。这种“9- 29 ”扫描方式，可以测得各级衍射光，进而 得到晶格常数在粉末样品中，多晶粒的晶面可以沿任意方向排列，即同一个晶面族，在不 同的晶粒中可以有不同的取向，因而满足Bragg条件2dsin9="的衍射光，只 要相对于入射光转过29角即可，而与入射光成29角的直线构成了一个圆锥面， 该圆锥的顶角为49,或者衍射光在照像底版上形成了以入射光为中心的一系列 的同心圆环。为了使得晶粒的取向更充分，可以让棒状的样品绕轴旋转，单色X 光入射。由于样品中故衍射光沿圆锥面衍射。