中科大《线性代数与解析几何》讲义0预备知识.docx

第零章预备知识?0.1向量的线性运算?0.1.1向量及其表示向量：速度,加速度，力等等.用一个有向线段来表示它.以A为起点乃为 终点的有向线段所表示的向量记为.(图7.5).还常用小写的粗体字母a, b,. 来记向量.如果两个向量的大小相等、方向相同,就称这两个向量是相等的.如图7.5 一 中,AB和AW'是相等的向量,记作A8=A%' .自由向量：能平移至任意起点的向量.相反向量：两个向量的大小相等而方向相反.负向量.向量模及其向量模的表示.?0.1.2向量的线性运算如果两个向量是相反向量，则其和显然为零向量，就是a +)a) = )a) +a = 0.显然，还有a +0 = 0 +a = a.从三角形法则容易证明向量的加法满足交换律，即a + b = b + a.从图7.8不难看出，向量的加法满足结合律a + )b + c) = )a + b) +c,因而可以略去括号而记a + b +c = )a +b) +c = a + )b +c).向量的减法与数量的减法一样，定义为加法的逆运算.向量与数的乘积.设有向量a和数儿则其乘积表示这样一个向量,它的模等于向量a的模 之倍,当大于零时它与a同向,当人小于零时与a反向(图7.9).由定义可知Oa = 0.显然又有)-l)a = -a.向量的线性组合.利用向量与数的乘积，向量a可以表示为a = a a0,其中a。表示与a同向的单位向量.由此得到a« .a,即一个不为零的向量除以它的模后是与它同向的单位向量.向量与数的乘积具有以下性质.设a与b是给定的两个向量,而人及是任意常数,则有) + ) a = a + a;)a) = )a) = )a;)a + b) = a + b.?0.1.3向量的共线与共面向量共线，向量共面.(零向量和任一个向量共线.)向量a1b共线的充分必要条件是,有实数人使a = b或b = a.向量a, b, C共面的充分必要条件是:其中一个向量可以表成其余二个向量 的线性组合.?0.2坐标系在空间中,任取一点O,从点O画三条互相垂直的直线,依次记为ox, OK OZ 这样就得到一个直角坐标系.如果在坐标轴Ox, Oy, Oz上以O为起点分别取三 个单位向量ij,上其方向与轴的正方向相同，这些单位向量称为坐标系OXyZ 的基本单位向量.给定向量a.过向量a的终点A作三平面分别与坐标平面平行,且与各坐 标轴交于点X, K Z.易知OX= /, V= azj , 2- a3k.由向量加法的三角形规则可得OA=OP +PA = OX +XP +PA=OX +OY +OZ,即a = ), 2, g) = ai + ay + a3k.它就是a按基本单位向量的分解式.应用这个分解式，向量的加法，减法及 向量与数的乘积就可归结为其坐标的相应运算.事实上,设a =)山，,G)，b = )加，历，的)，而人是一常数,则有a = aii +cnj +aic, b = b i + ba + b3k.从而得到a ±b = )a ±b )i + )a2±b2 )j + )a3±b3 )=)4 ±b , a2±b2 , a3±b3);a = tu + Kaij + Kaik = )A ,入02 , as).例0.2.1.已知两点A)“, G, CBhB )加小，左)，求向量Ab的坐标. 解如图7. 13,作向量X与豆,则OA = )a,a21 G) , OB =)bfb2,b3).所以AB= OB - OA = )b a,历一a, by一.就是说向量AB的坐标等于终点B的坐标减去起点A的坐标.口例0.2.2.设点尸把有向线段75分成定比A,即有 乱=.若已知端点A和8 的坐标为)xi Jl ,Zl)和)x2,* ,Z2),求分点P的坐标)x,y,z).解由题设可知AP= kPB .若将A,P,B各点与原点O连成向量,则有OP-OA= NOB-Oa.由此得到OP= -L-) OA +KOB).I 4-Z因为*OA = i + yj+ zk, OB= x2i+y2j+ zik, OP= xi+ yj + zk,x十入町;+ “十八上；+I ÷ I ÷代入后给出xi+ yj + zk =比较Ud的对应系数即得Xl + M Vl + 入、2 Zl + Az2I÷y= 1 +=1 + 这就是空间线段的定比分点公式.特别地，线段中点的坐标为Xl +2 Vl + V2 Zl +Z2X= 2 = 2 ,Z= 2 口设向量a = ),(i2, 3)的起点在原点,这时终点A的坐标就是), cn., a3), 由空间两点的距离公式得Ial = OA=d + & + 姆.?0.3向量的内积?0.3.1内积的定义定义0.3.1.两个向量的内积是一个数量，它的大小是这两个向量的模与其夹角的余弦的乘积.通常用记号a. b表示向量a与b的内积.如果a.b=0称a与b正交.设它们的夹角为台，按定义有a . b = a bcos 台.?0.3.2内积的性质La与b正交的充分必要条件是a, b之一为零向量或它们是互相垂直的 非零向量.2 .向量的内积满足交换律a . b = b . a.口3 .向量的内积满足分配律)a + b) . c = a . c + b . c.4 .向量的内积与数的乘积满足结合律)a) . b = )a . b).?0.3.3直角坐标系下内积的计算设给定两个向量a = ai +aj + a3k, b = b i + by + b3k,则有a . b = )ai +ay +gA) .)bi +by + W)=ab)/ . 0 +)i .j +13) . B?0.3向量的内积+ GbI V-O+ 仍21/ ) + a2b3)j . &)+ a3b1)k . 0 + tabi )k .j) + cabi )k . Ar).因为力，&是互相垂直的单位向量,所以i. i 1, . j y k . k 1,i . j = O, i . k = O, k . j = 0.从而得到a . b = ab +a2b2 + a3b3.这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积之和.特别当a = b时,有 222a a = +g + g但 a a = aF，所以，a I = 0j + 姆 +代.这与7.2.3中导出的向量模的计算公式完全一致.设a = )“,G,"3)与b = )",b2*3)之间的夹角为台,则由内积的定义可得a b- +2一 +公历COS C3 I H I =, hlallbl 2+2+fl2 b2+h2+h2由于)a + b)2 = a2 + b2 + 2a . b = a 2 + b2 + 2a bcos 台 S)Ial + b)2所以有三角形不等式IaI + b 2 a +b.例0.3.1.证明Cauchy不等式)ab + a1b2 + Gb3) 2 S 渴 + ) + /)而 + + ).证设a = ), G, g) , b =)加，历，b)则有a . b = ab +a2b2 + a3b3,a 2 =aj +«5 + W，IM?=吊 + + /.由内积的定义a.b = abcos台及IcOS台ISI推知)a . b)2 S a 2b2.把它写成坐标的形式，即得欲证的不等式.?0.4向量的外积?0.4.1外积的定义定义041.两个向量a与b的外积是向量c,它满足：若a与b的夹角为台,则ICI = Ia b sin 台.这就是说，向量C的模在数值上等于以向量a与b为邻边的平行四边形的面 积(图 7. 19).(2)向量C垂直于向量a与b所决定的平面,并且a, b, c构成右手系统.a和b的外积记成a × b,即c = a × b.?0.4.2外积的性质外积具有以下性质.1 .如果两个向量共线，则它们的外积必是零向量；反之，如果两个向量的 外积为零向量，则这两个向量共线.2 .当因子的次序互换时，外积要改变符号，就是b × a = -)a X b).所以两个向量的外积不满足交换律.口3 .向量的外积与数的乘积满足结合律)a) ×b = )a × b).从性质3又可推出外积与数的乘积另外一些形式的结合律a X )b)=入)a X b),)a) × )b) = )a X b).4 .向量的外积满足分配律)a+b)×c = a×c+b×c.由此又可推出外积的分配律的另一形式c×)a+b) = c×a+c×b.?0.4.3直角坐标系下外积的计算利用外积的这些运算性质，就可以导出外积的坐标表示式.设给定两个向 量a = ai + ay + a3k, b = b i + by + b3k, 则有a × b = )ai + ay +3%) × )bi +b2j +63© =ab )i × i) +ab2)i × j) + ab3)i × &)+ GbI V × i) + a2b2 V × 7) + a2b3 )j × k)+ a3b )k × i) + a3b2 )k × j) + a3b3 )k× B .因为ij, 2是互相垂直的基本单位向量,所以i X i =0,j × = 0, ×=0;i X j = -j * i = k,j × k = -k × j = i,k× i = -i × k-j.于是得到a × b = )a2b3 - cobi )i + )aib - abi )j + )aib2 - aib )k. 它可以利用三阶行列式写成i j 1i xb 6 I it 5»1 k k例0.4.1.已知三角形的顶点A) 1,2, 3) ,8)3,4, 5),。一 I, 2, 7),求ABC的面积. 解设所求三角形的面积为S,则由外积的定义可知1 ,S= - A× AC |.但IK二 )2, 2,2), AC= )-2,-4,4),=16/ V2j-4k, 所以，S= 162 +) 12)2 +)4)2= 226口?0.5向量的混合积?0.5.1混合积的定义定义0.5.1.设给定三个向量a, b, c, )a × b) . c称为a, b, c的混合积.它是一个数 量.以a, b, c为棱的平行六面体的体积V等于以a, b为边的平行四边形的面 积S乘以高人即V= Sh.但由外积的定义可知S=IaX b.另一方面,若设a X b与C的夹角为,则有h = c I cos 1其中为锐角时£ = I,否则取£ 二 一 1,因而推得V = a × bc cos =)a × b) . c.其中£ = 1或 = 1使所得的体积为正数,所以当a, b, C组成右手系统时取 = 1,而组成左手系统就取£ = 1.混合积为零的几何意义：三个向量共面.?0.5.2直角坐标系下混合积的计算混合积计算公式:设a = ), G, G), b = )Z?i ,历，历)，c = )ci, c, c3),因为或用三阶行列式表示为例0.5.1.已知四面体的四个顶点为A) I, 1, 1),8 )3, 4, 4),。3, 5, 5) Q )2, 4, 7),试求 该四面体的体积.解 容易看出，所求四面体的体积V是以丸就,G为邻边的平行六面 体的体积的六分之一，故V=1)AB × AC) .AD.%而A B = )2t 3s 3), AC= )2, 4,4), AD= ) 1,3,6),所以233MXAC),AD=244= 6.I36于是得到V= 1.?0.6复数虚数单位i： i2= - 1.复数: + ib, )" R)称为复数,a称为实部,b称为虚部. 复数的加法：)a+ib) + )c+id) = )a +c) + f)+J) 复数的减法:)a + ib) )c+id) = ) c) + i)b 小复数的乘法：)4+活)c+M) = )ac bd) + i)ad + be)复数的除法:=4=+ /a Jc l + </8+ 4 i复数的共挽：z = a - Ib称为z = + ib的共钝，记为Z ?0.6.2复数的向量表示设平面中建立了直角坐标系OXH复数z= +活唯一对应了一个有序实 数对左0,而有序实数对)”,b)对应了平面中的一个点Z.点Z又决定了一个 向量OZ .因此复数与向量是一对应的.复数的加法与对应向量的加法是一致的.?0.6.3复数的三角表示设复数z = +活对应的向量为OZ.向量方的长度r称为复数的模,因此 r = a2 + b2 ._»以OX轴正向为始边，向量OZ为终边的角台称为复数Z的幅角.一个复 数的幅角有无限多个,相差2的整数倍.其中满足OS台2的幅角 台称为 幅角主值，记作argz.由定义知,若复数Z = +协的模为,幅角为台.则a-r cos 台,h =r sin 台因此复数可以表示为Z = r)cos 台 + i sin 台)称为复数的三角形式.乘法公式：n)s 台 1 +x)s) . /2)a)s +isin台2)=nm)cos)台 1 + 台2)+isin)台 I + 台2)由此可得r)cos 台 +近山台)"= )coS 台 +isin?台)Euler 公式：d台=COS台 +/ Sin台i / kAB ×AC= 222-2-14222222"I -4 4 H I -2 4 i" I -2 -4 I1 2