中科大光学讲义01光的波动模型.docx

物理学是一门实验科学，这就是说，物理学的理论来源于实验，物理学的理 论也必须要经过实验的检验。对于光的本质，人们通过观察，最初曾得到了不同 的结论。在早期，实验无法对这些结论进行检验，因而它们都是假说。这些优势 是相互对立的假说，不管理论上如何完美，都不足以使反对的一方完全信服。正 如我们所熟知的，NeWtOn和HUygenS分别提出了光的微粒说和波动说，这两种假 说的争论持续了一百多年。即使NeWlOn建立力学的崇高威望和他的众多的追随 者也没有使相信Huygens的人放弃他们的信念。1801年，T. YoUng在光通过双孔的实验中，首次观察到了与水波的干涉现 象相似的光的干涉现象，即光经过双孔后，由于干涉，光能量在空间重新分布， 显示为明暗交错的条纹，这些条纹被称作干涉条纹。这一实验称为杨氏干涉。杨 氏干涉证明了光的波动性。后来人们又观察到了光的衍射及偏振现象，由此建立了波动光学。1865年，MaXWell总结出了关于电磁场规律的方程组，提出了电磁波理论。由这一理论，可以得出电磁波的传播速度为=1/4，£0。当时，RudolphKohIraUSCh以及WilheIm Weber等人通过测量磁导率和介电常数，计算所得出的 电磁波的速度竟然与已经测量到的光的速度相一致。这就使得Maxwell推测光就 是电磁波。1887年这一推测被HeinriCh Hertz的实验所证实。而此时Maxwell已 去世8年。麦克斯韦(James Clerk Maxwell, 183Pl879) 赫兹 (HertZ,HR 1857- 1894)1.1 光的电磁波理论光是电磁波，这是我们所熟知的结论，或者说，光是电磁辐射频谱的一段， 如图Ll所示。我们所说的光，通常是指可见光，即波长约在400760nm的一段 电磁辐射。在光学中，研究的范围通常还包括波长较长的红外光和波长较短的紫 外光。(nni)v(Hz)E(MeV)o7IO5IOY二丫射线-IO2-IO21IO6IOSIoT- t-IOx -IO4IO-2-1-IO1910,IA IOT- -4- X射线-IOu IO2_ IO17 10-J_紫外光一 IO 0-1图1.1电磁辐射谱既然光是电磁波，光的所有物理性质和物理行为都应当遵循电磁理论。1.1.1 Maxwell 方程组电磁场的基本特性可以用电场强度矢量E和磁感应强度矢量3来表示。为了 表示电磁场在介质中的特性，又引入了另外一组物理量：电流密度矢量J,电位 移矢量。和磁场强度矢量，电磁场的规律用MaXWeIl方程组和反映介质电磁 性质的物质方程组描述。VD = PcDV× = + 加电磁场的能流密度，即Poynting矢量为S = E×H (1.1.3)1.1.2 无源各向同性介质中的MaXWeH方程组电磁场的性质由空间中电荷、电流的分布、介质的介电常数、磁导率、电导 率以及边界条件所决定。原则上，只要上述各个参数是一定的，就可以通过求解 Maxwell方程组得到电磁场的分布，即得到E和3的数学表达式。例如，在自由空间或均匀介质(其中电荷P=O ,电流J = O)中，上述MaXWeH 方程组可以化为(D = OVXH= 一设介质是稳定和各向同性的，即物质方程中的磁化率和介电常数等都是恒定 值。取第二式的旋度，并利用物质方程的第二式、第一式以及MaXWeH方程组的 第四式，得到VX(VXE) = YVX5 = 一=7乂" = 一"安=一«达?a d(7*而根据矢量分析公式Vx (VxE) = V(V-E)-V2E由于是各向同性的无源场，VE = V(- D ) = - 1 V D = O则有-72E = -r,ir令 PMNo = 乂，即 U = 1 (1.1.5) 'J凡 M¥Fq可以得到齐次方程21。2£VE- = 0 (1.1.6)V2 t2 同样可以得到，1 0 2jVB- =0 (1.1.7)V2 t2在真空中，r= 1, r= 1,记GA = !，即c = -j-! (1.1.8)有2 1 %VE- =0 (1.1.9) c2 t221 ?BV-=0 (1. 1.10)上述方虐是资型的波动方程，在特定的边界条件下，可以严格求解。 1.1.3特定边界条件下波动方程的通解1 .平面场在直角坐标系中，设在与解垂直的平面上，电场分量和磁场分量分别有相同的值，即E和3的值与x、y无关，则上述方程(1.1. 9)可以写作如下形式：图2平面电磁场-± = 0(1.1.11)z V t或者对于其中的任一分量，用标量方程表示为2E /I 2EV t1L = O , = x,y,z (1. 1.12)引入参量P = z W, q = z + Vt由于她+立为"+且z dp z q z dp q:、=今嫣+今)*针针针铲=A +看靖+3p p q z q dp q z Op q p q=+ 2+p1 pq q2 i) . q,、 = 1 + = v(-) t dp t q t dp q2 _d_d_ &_ _a a _ a a_ _a _a_A次厂 ' pqp q, t 十 %q SP q)dl 一 ' 5 q"p qv(7-2+ 2)pq q代入方程(LLI2),得到Ne:O (1.1. 13)其通解为Ej(z,f)=f(p) + g(q) =F(Z - vt) + g(z + vt) (1. 1. 14)磁场分量同样有B®, t) = Cf(z vt) + g(z + vt) (1.1. 15)或者写成矢量式，即E (z, t) = F (z vf) + G(z + vt) (1.1.16)B(z,。= CF (z - vt) + G(z, + vf) (1.1.17)设该平面的一般情况下，波场中E和3分别相等的平面可以是任意取向的, 法线为s = sxex + Syey + SZel (1. 1.18)图3平面电磁场则一般的边界条件可以表示为Es = Const. (1.1. 19)和 3 s = Const. (1. 1. 20)在这种情况下，可以将坐标系XyZ旋转得到新的坐标系,并使？轴沿矢量S的方向。此时由于边界条件的要求，E和8的值与、f无关，即2E _d2E2 = d2 = °'仍有/£*)_工£(?八=0 (1.1.21)1 V2 l2形式上与式(LI. 11)完全相同，所以同样得到其通解为E(j) = F(-vt) + G(+vt) (1.1.22)B( t) = F(-vt) + G(+ vt) (1.1. 23)2 .球面场如果电场强度和磁场强度的分布是球面对称的，即它们的数值只与/*有关。在球坐标系中，E (r) = Er(r)er + Er)ee+ E(r)e,可以用标量式表示其分量图4球面电磁场 在球坐标系中寸=5÷ 下(M)+匚/ 'r cr /- snZ?3 “ 厂、”了 Js( 24)此时E与6, 无美,微分方程(1.1. 9)为i (产生)-y(=Oftr dr v21J1 O ,WE、 n E 1 2E H 正 E l 52E由于一一(厂一)=2 + r 2 ,而2(rE) = 2+ r2r dr dr dr dr ffr dr dr所以有"EJJ7 坐 E)=O(L dr v t与式(1.1. 11)有相同的形式，其通解为E(r, t) = -F( vr) + G( + vt) (1. 1.26)FB(r, r)=2F(< - vt) + G(<+ Vt) (1.1.27)t上面的推导过程显示，在特定的边界条件下，例如平面场和球面场，MaXWen 方程组可以用标量方程代替，其通解可以用含有宗量P = z-vt,g=z + W的函 数表示。1 14定态波动方程的解：平面波和球面波由前面的推导，可以知道，在满足一定的边界条件时，可以通过对标量方程 的处理得到原来的矢量方程的解。为了进一步求解方程组，还要采取其它的方法。 常用的就是分离变量法，在这里，就是将空间变量与时间变量分离。介质的磁导率和介电常数如果保持为常数，则可以应用分离变量法。首先对 齐次方程(1.1.9)的标量形式求解。将方程72E(r,t)-L-'r V2E(r) = 1 J，(，) (1. 1.29)Eiri v() d令方程的两端都等于常数/,可以得到-v2=o(1.1.30)和 SJ2E(T) - lE(r) = 0 (1. 131)对于(1. 1.30),通解为-fn = 0 (1.1.28)V2 的解设为E(r ") = E(r)f(t),则方程化为原则上，/可以取任意的常数值，即可以是正数、负数或者复数。这里仅讨 论当/>0的情形，可以令U l = ,即/ = ()2,记a=2,则有可以将液。中的常数并入E(r)中，而将其记作fS = e±3 (1. 1.32)称为电磁波的圆频率或角频率。 而空间部分的方程变为V2E(r)-2E(r) = 0 (1.1.33)这就是HeImholtZ方程的形式。下面将分别求出平面场和球面场中Helmholtz 方程的解。1.平面波在平面场中，利用1.1.3中的结论，可知一般情形下，当电场强度在法线为S =+ syey + szez的平面上有相等的值时，方程的标量形式可以写作dE(") _ 1 d2E(") = U1 V2 drHelmholtz方程为j',j2l2-2E(<)=0 (1. 134)是常微分波动方程，则解为E = E() = E0ek+ (1.1.35)是XrZ坐标系中沿S = S,纥+ &4 +邑6方向任一点的坐标值，也是过该点且与轴垂直的平面上任一点r (4,0在？轴上的投影。而系中的任一点r(f,)，在XyZ坐标系中为r(x, y, z) = xex + yey + Ze二,在S上的投影为s r(x,y, z) = (sxex + syev + s:e:) (xex + yey + ze:) = xsx + ysy + Zg即 = xsx + ysy + zs.如果引入矢量Jt = AS (1. 1.36)则ZC =ks r = k ' r空间部分的解，即(1. 1.35)式可以写成在XYZ坐标系下的表达式，为£(r) = E0ekr+nj (1. 1.37)则平面场中MaXWell方程的解可以写成E(r,f) = Eo*"f恢 (1.1.38)而磁场强度可以用同样的方法求出，为B(r J) = B0eiikri,+'y (1.1.39)说明波是沿着矢量无的方向(+无或-A)传播的。图5平面波由(1.1.28)式，知道电磁波的速度为1 = -j 1,真空中的波速为c ="设波长为 ,则由波的周期性，在A方向每变化 ,振动不变，于是-II-光学M + Ur) = M"),可以得到M= 277 ,即 k=-s (1. 1.40) k称为波矢,其方向为波的传播方向，数值为手。因为常用波长的倒数 匕枳L表示单位长度内波长的数目，称作波数；则女表示277长度内波长的数目， 也称圆波数或角波数。又由前面的推导过程，知道Ic = - = jrofu (1.1.41)利用MaXWeH方程组(1.1.4)的笫二式B-g(rf) = B(f) = ±zB(r)tC1V×E=V× (EOMh±3什M) = VeiM±3什如XEG =V(ik r)× E0ekri,+=V(z r) × Erit+°y = ik× E即 ±i3B(r,f) = ikxEB = ±- AXE(LI.42) M取(ll.38)式的散度，有VE(r) = E0 :=ik EGeM±3M) = ikE(r,i)由(1.1.3)式的第一式，VE(r,f) = 0,所以k 'E (r ,f) =0 (1.1.43)由(1. 1.42)及(1. 1.43)式，可以判断三个矢量A、E和B是相互正交的，故为 横波，而且E和3是同步的(即同时取得极大值)。图6平面波的电矢量、磁矢量和波矢2.球面波如果电磁场的边界条件为：电场分量和磁场分量在一个球面上分别有相同的 值，即E和3的值只与r有关，即球面场中，波动方程为中.1.25)式,HelmhoItZ方程为 rE(r) -kirE(r) =0 (1.1.44)与(1.1.34)式解的形式(1. 1.35)相同，为E(r)=当 外r+*>> (1.1.45) r故球面场中MaXWeII方程的解可以写成ES")= &1评(1.1.46) r或写作矢量式E(ryt) = ei,+ (1.1.47) rB(r") =殳泮±3代蜡(1 1 48)说明电磁波沿着±r的方向传播。Hkr±+0)VE(r) = V-取(1.1.47)式的散度，有.e(="匕±w+弧)V 1 + Ve'fa±ME0r r=ri1,-L + VrE0 = -X +-E(r) = 0要使上式成立，只有， E (，。= O即电场强度与球面法线垂直。与平面波相似，取(1.1.47)式的旋度VxE = Vx (综/七妙滋)=V='B巴 ) = ±i0出(r")St可以判断三个矢量/*、E和3是相互正交的。此时如果同样引入矢量k = k-t表示波的传播方向，A= 2二则A、E和5相互正交。r图7球面波的矢量在前面的推导过程中，以假设介质的介电常数和磁化率保持为常数。事实上, 实验研究表明，£,和r都随着电磁波的频率如改变，即r = r(), = ,(3),这种现象称为介质的色散。因而，在介质中，是不能推导出关于电 场分量和磁场分量的一般的波动方程的。方程(1.1.6)和(1.1.7)只有在固定不 变的频率下才能够成立。也就是说，上述结论只对单色波才适用。这种以确定频 率振荡的称成为定态电磁波。上述结论就是MaXWen在定态条件下的解。1.2定态光波及其描述在前一节中，通过求解特定边界条件下的MaXWeIl方程组，得到了定态电磁 波的数学表达式，并引入了一些重要的物理概念，下面将着重从物理模型出发， 阐述光波场，尤其是定态光波场的特征。1.2.1 光波场具有时间和空间两重周期性波是振动的传播。振动在空间的传播形成物理量在空间的分布，即为波场。振动和波的共性是都具有周期性。而波的周期性又与振动不完全相同。振动 具有时间周期性，而波同时具有时间和空间的周期性。波场中任一点：具有振动的周期性，该点的物理量经过一定时间后又可以恢 复原来的数值，即具有时间的周期性。这种周期性可以用振动的周期T描述。振 动的频率为v = l;圆频率或角频率为3= 2m,表示在277时间内振动的次数。T-WWWW"图8波的时间周期性在任一时刻：波场在空间的分布具有周期性，即物理量在空间周期分布，这种周期性用波长才描述。波长的倒数称为波数，表示单位长度内的周期数，即单位长度内波长的数目，则波矢左=即表示277长度内波的数目。(*)-wwww：图9波的空间周期性从以上的讨论，可以看出，波场具有时间和空间两重周期性。这是所有波动 的共性。所以波的表达式，必须能够同时反映时间和空间的周期性。上述平面电磁波的表达式E(r, t) = Ek'rh ,或者E = EOCOS(A r 3。就具有这两重周期性。由于波是振动的传播，所以波的表达式就是要反映出一个振动量随时间和空 间变化的情况，即物理量偏离其平衡位置的程度，以及这一物理量在空间是如何 传播的。一般情况下，平面光波场中电场强度的表达式记作E(r, 0 =其中，kr-t +0o = (r) -t = (r,f)称为波的相位，与时间和空间相关。而。被称作初相位，即初始时刻原点的相位。1.2.2 波的传播波的传播，就是将波场中的振动从点传播到另一点。例如对于定态平面波 E(r,D = Eo*L3'+M,就是将其电场强度矢量E (电场分量)的方向和数值从 空间的某一点传播到另一点。在没有吸收等其它损耗的情况下，就是将该物理量 以不变的量值传播。而该物理量的值取决于波场的相位。(九Z),所以振动的传播 其实就是相位的传播。在振动传播过程中，相位保持不变。在Z时刻，空间点，处 的波经过时间Ar后，传播到了空间另一点 = r+Ar,可以表示为E(r,/) E(r ÷r + )图10振动与相位的传播对于平面波，即A (r +r) -(t + Af) +0 = k r-t +©)Ar r CUAf = 0K x + KAy + 攵_ Az = r, kx- + k.= r / AfA " = 3 ,即AT = 3 , V就是平面波振动传播的速度，称作相速度。对M于沿z方向传播的平面波，相速度V = (1. 2.1) k球面波，由于(P= ±kr-3f+S,同样可以得到v= ±60 即U = ± k“ + ”表示沿着r方向传播的球面波，即从原点发散的球面波；“一”表示沿 着一厂方向传播的球面波，即向原点汇聚的球面波。光速 V= -Jr0l = c4jc=l-J为真空中的光速。折射率 n = cv = Jrr (1.2.2)实验研究表明，对于绝大多数各向同性的光传播介质而言，可见光几乎不会 引起介质的磁化，也就是说，在光的波长范围内，可以认为光传播介质是“磁真 空”的，因而有, l,所以nr (1.2.3)正是基于这样的原因，研窕光在介质中的行为时，只需要考虑其电场强度， 即电场分量E即可。1.2.3 光波是矢量波光是电磁波，因而是种矢量波，电场分量、磁场分量、波的传播方(波矢)， 都是矢量。因而应该用矢量描述光波的物理特征。图Il光是横波光波是横波，在真空和各向同性介质中，电场强度矢量、磁场强度矢量、波 矢是两两正交的。但是，用矢量描述光波，给数学上的计算和推导都带来了许多不便。而事实 上，在多数情况下，光波电矢量在横向是均匀和对称的，因而任意选定一个方向 之后，电矢量在这一方向的特征与其它任何方向没有区别，因而只需要用标量对 波的特征进行描述即可。即使电矢量的分布式非对称的，也通常可以采用正交分 解的方法，得到E =纥4 +工4,对于两个分量纥和纥，都可以用标量表示。 j jf y图12光波振动矢量的正交分解因而，在光学中，用标量方法处理矢量波，是一种常用的手段。当蔡用标量 表达式处理光波时，有时也将研究对象称作“标量波”。电场分量振幅、磁场分量振幅、波长、频率等是标量。1.2.4 光强光的强度即是其平均能流密度的绝对值，就是平均坡印廷矢量的绝对值。例如，对于平面波，利用（1.1.42）,得到.D=他询上总而餐从Jg右，3二干,所以CU1N除出=除: COS2 ( r±t)dt二帚即/=，产E；=lJ-Ef ="反，"凡（124）2 WR M1 2办2crtl 2e0故I oc nE （1. 2. 5）如果光只是在同一种介质中传播，通常取I = El (1.2.6)可以用电场分量振幅的平方表示光强。1.2.5定态光波根据1.1中的讨论，定态光波具有如下的性质1 .定态光波具有下述性质的波场为定态波场(1)空间各点的扰动是同频率的简谐振动。(2)波场中各点扰动的振幅不随时间变化，在空间形成一个稳定的振幅分布。满足上述要求的光波应当充满全空间，是无限长的单色波列。但当波列的持 续时间比其扰动周期长得多时，可将其当作无限长波列处理。任何复杂的非单色波都可以分解为一系列单色波的叠加。定态光波不是简谐波，其空间各点的振幅可以不同。2 .定态光波的描述对符合上述条件的定态光波，如果没有偏振性，即其电场分量在各个方向都 是相同的，通常用标量表达式描述，其实是在一个取定的平面内描述定态光波某 一分量的振动。t(P)= A(P)COS 0(P)-=A(P)cosr-0(P) (1.2.7)P表示空间众任一点。则A(P)是振幅的空间分布；¢(P)是相位的空间分布。均与时间F无关。3 .定态光波按波面分类波面：空间中¢(P)相同的点所组成的平面或曲面是光波的等相位面，即波面或波阵面。可根据波面的形状将光波分类。相位同的空间点应满足下述方程(相同时刻)(P) = Const. (1.2.8)场点P可以用直角坐标表示为P(X, y, z) = xex+ yey + ze:或者用球坐标表示为P(，;9)对于Ll中从电磁场边界条件所得到的平面波和球面波，具有如下的特性。 (1)平面波：波面是平面。平面波具有下列特征：(a)振幅A(P)为常数； (b)空间相位¢(P)为直角坐标的线性函数，即(P) = k r + 6 = kxx + kyy + k2z + 0 (1.2.9)常数。为初相位，即时刻/ = O时原点的相位。k = -s,波矢，指向波的传播方向，其数值为角波数，表示277长度内的 久波长数目。波面的条件为O(P)=Const.,即A = CawZ.,为与波矢垂直的一系列平面，故名。波矢的方向角表示：图13波矢的方向表示图14波矢的方向表示在数学中常用方向余弦表示矢量的方向，即用矢量与坐标轴间的夹角表示。波矢的方向可以用方向余弦角表示为(aS，y)，其中的三个角度分别是波矢 k与X,匕Z轴的夹角。则波矢可以用矢量式表示为：k = MCoSacr + cos e + cos ez) (1.2.10)在光学中，我们习惯上用上述三个角的余角表示波矢的方向，即a=g-,2 = - , 3 = - / 0 则(3,8263)就是人 与 yoz、XOZ和Xoy三个平面 的夹扁。则上述波矢表示式变为A = Msinqe, + Sinqe, + SinaeJ (1.2. II)空间点P(K X Z)处的相位为(x, MZ) = k(x sin1 ÷ y sin2 + Z Sina) +o(1212)由于光学中的探测器或接收屏往往是一个平面，所以通常总是研究波场中一 个平面上的相位。可以取取该平面位于坐标系中Z=O处，则该平面上的相位分布 为图15平面波前上的相位(xt y,0) = kx sinl + y sin2) +0 (1.2.13)如果平面波沿+Z向传播，其波面垂直于Z轴。f时刻轴上某一点Z处波面的 相位为(, z) = kz-OOt +0o o在下一时刻，t, = t + dt,要保持相位不变，该波 面的位置为z' = z + dz,则有kz COt +d=网z + dz) CiXr + dt) +仇，即 kdz = (x)dt,波面传播的速度 为V =互S=以，该速度为波面传播的速度，即相位传播的速度， d k 2j称为相速度。如果波面的表达式为(z) = -kz - t +0 , 或者(z) = kz + t +0o,其相速度为V = ' = - 2 = -VTV向-Z方向传播。dl k一列平面波在XoZ平面传播，并以6角入射到XOy平面上，则入射波的波 矢为k = k(excos+ e. sin)反射波的波矢为k ' = Z(e*cos9+ e. sin9)相位分别为¢(P) = AaCoS9+ z sin 9)和¢'(P) = M-XeoS9+ Z sin 9)(2)球面波：波面是球面球面波有以下两个主要的特征：(a)振幅A(P) -air (1.2.13)振幅与到波源的距离成反比；(b)空间相位是球面对称的(P) = kr +0 (1.2.14)波面¢(P) =kr+ 0 = Ca?",即厂=常数，代表一个球面。振幅沿传播方 向衰减。球面光是从某光源点源发出的，或是向某一点汇聚的波。图16发散球面波图17汇聚球面波如果波源为0 9,0,0),波前为(p) = kr - 3f+(po,沿任一球面法线方向，有kr cut +o= Hr + dr) (x)(t + dr) +(Po,波面传播速度为V =,为从原点发出的发散球面波。 dt k如波面表达式为O(P) = -kr- t +0,波面传播速度为V =-=dr k为向中心传播的球面波，即向原点汇聚的球面波。例题1.比较从。0, 20)和。0,O)处发出和向(0,0,-Zo)和(0,0,Zo)汇聚(0,0, zo)出发出的球面波在(x , y , 0)平面上的振动为U+(x, MO) = CoS伏-J/ . / .二；-/ +0o 1x2÷÷(0 , 0 , -ZO)出发出的球面波在(x , y, 0)平面上的振动亦为U.(x, XO) = -J-=COS伙-Jx2 ÷J2 ÷2 - 3i +0Jx2 ÷÷向(0, 0, ZO)点汇聚的球面波为U *+(X, MO) =sT-Jx2 ÷ y2 ÷ r02 - t +0lx2 ÷>2 ÷r02向(0, 0, -Zo)点汇聚的球面波为UIa,yfi) = -f sT-Jx2 ÷ y2 ÷ -02 - 3t +00Jx2÷÷图20图21例2.比较从 4)和(%,%,z0)处发出和向Q0,%, 一 Zo)和 0,%,z0)汇聚的球面波在a,3，,。)平面上的振动表达式。点如果点光源在°,为,±zo),则发出和汇聚的球面波分别为U±(x,y,O) =cosA:(.x-xr ÷(y-r0f÷0 -t +.J(X-X0) ÷(>-y) ÷U±(x,y,0) =-cos(.-X0 y ÷( v- V11 r ÷- +°J(X-X0) ÷(>,-y) ÷对于球面波，其在某点的振幅和相位只与该点到源点的距离r有关，而与场 点相对于源点的方位无关，所以在球面波的表达式化简和变换的过程中，应该注 意这一点。4.光波的复振幅描述波动的表达式，即可以用余弦或正弦函数表示，也可以用复指数表示。用复 数表示，则为U(P, t) = A(P )e 土il (p >-刈=4尸)eP)e - M(取正指数)定态光波的频率都是相等的，可以不写在表达式中。定态部分，即与时间无 关部分为称为复:振幅。即复振幅为/P)=A(P)e 讶P) (1.2.15)复振幅包含了振幅和相位的空间分布，宜接表示了光波在空间尸点的振动， 或者说复振幅表示了波在空间的分布情况。所以，对于定态光波，凡是需要用振 动描述的地方，都可以用复振幅描述。光波场在P点的强度可以宜接从复振幅求得/(P) =A2(P) = U(P)U(P) (1.2.16)1.2.6有关光波的几个概念L波面：相相位等的空间点构成的曲面，也称波阵面。2 .波前：光波场中的任一曲面。3 .等幅面：振幅相等的空间点构成的曲面。4 .共匏波：复振幅互为共聊的波。互为共枕的波，其传播方向应该是相关联的。对于球面 波， . = Jexp间(Xr(I尸(尸Pjm，为从9Go,%, Zo)点发出的波。其共挽波"=-exp-ikj( X- x0 )2 ÷ (j - J0 )2 ÷ (r - 0 )2 则是向(x0,y0,z0)点汇聚的。波矢相反的平面波，其复振幅是定是共挽的，即夕丽和纥夕.互为共驰。 但反过来则不尽然。例如，在XoZ平面中沿9方向传播的平面波，其复振幅在Z=O的波前上表示为 U(x, Mo) = A exp(toin91),共挽波 LT 为 y,0) = A expztoin(-91)，则是沿方向传播。图225 .波线与波面垂直的直线，表示波的传播方向。与波矢的方向是相同的。波线就是几何光学中的光线。1.3远场条件、近轴条件图23 图24尽管平面波的表达式非常简单，但在实际中，遇到的往往是球面波。在一个 平面上，例如成像面或者探测器表面，其相位并不相同，而且表达式相当复杂。 往往需要在一定条件下，将球面波近似为平面波处理。1.3.1 轴上物点的近轴条件和远场条件物点在OXrZ坐标平面的原点，接收屏X'0'与物平面Xoy相距较远， 在接收屏上的任一点P ,有P =产后球面波在接收屏上的振幅为A(P) = E0r÷ = Eq ZI -Jl + (pz )2 = ¾z(l+()2 + -)如 p2<<z? (1.3. 2)则(pz)2可忽略，有A(P)=E0ZIzI (1.3.2)P2 <V Z2称为近(傍)轴条件。球面波在接收屏上的相位为“尸)=2-&*£=如Z I +p2/ 2z + ) 如有z>>p2/ (1.3. 3)则 p2zVV 九 即 22zVvH2 = 则 p22z 可以忽略。此 时C(P) = Az (1.3. 4)z>>p2/ 4为远场条件。满足远场条件时，在接收屏上，球面波的相位可按平面波处理。由于*<z,所以由远场条件可得P? V< 4zVzz=z2,即远场条件 必然包含近轴条件。近轴条件下，轴上物点发出的球面波可以简化为U(x',y', 0) = exp(z + ' ) + 叭(1. 3.5)I-I 2-远场条件下，轴上物点发出的球面波可以简化为UM 义 0) = expAz + z (1. 3.6)I-I可以作为平面波处理。1.3.2 轴外物点的近轴条件和远场条件图25物平面上有一物点，在0(x,y,O),场点在平面X'。'尸上，为PC,y,z)°场点到物点的间距r = J(x-x,)2 + (y-y,)2+z2 (1.3. 7)场点与物平面中心的间距r0 = Jp2 + z 2 = Jx2 + y,i + z 2 (1.3.8)接收屏中心与物点的间距物点。到物平面中心。的距离Po=JEF。当物点场点都满足近轴条件时，即p2 VV Z2和R； VVZ2,有JVf扪=z + 2z (L 3 10)fj = z + hy- (1.3.11)° 2z/ + K? X2 + V? x + Wr = z+ +-(1.3. 12)2z 2z Z(L3.i3)0 2z Z= +X25h,v2 X÷ V (1314)接收屏上的复振幅U(x', y,) = -expik(r0 + -)exp-¾ - - 1-) (1. 3. 15)Irl2，E=expz(r0, + - J一)exp-/( - -) (1. 3.16)物点的远场条件为z >>p为儿 即x'V2<< Z 和-<< Z 场点的远场条件为z>>p2/人 即/y,i- << z 和 «z 如果物点满足近轴条件，而场点尸再满足远场条件的话，(1. 3. 16)式化为U(,)/)=且 exp永/：一欣(XT * ") I二 I=S ' exp一永(Ur .电)(1. 3.17)如果场点满足近轴条件，而物点。再满足远场条件的话，(1.3. 15)式化为U(H ) = exp电-ik(xx 4 ) r I二=Llexp-弧 Xr ”>) (1. 3. 18)Irl，都是平面波的形式。L4波场中的相位与光程1.4. 1光程虽然“光程”这一概念并不是在光的波动理论中最先被提出来的，但是这一 概念却极其重要的。对于平面波，其相位表示为(P) = kr + 6 = kxx + kyy + k2z + 想波矢为 k = 2/T-= 2- (1.4.1) Xo人为真空中的波长，为介质的折射率。以一维为例，设S = O,则(z) = ZZ = nz = ns (1.4.2)o A= 为介质中波的光程，即光走过的路径(路程)与介质的折射率的乘 积。可见相位由光程决定。即在同一时刻，空间中光程相同的点，其相位也相同， 因而振动也相同。或者说，等光程面，就是等相位面，即波面。平面波的反射、折射都可以用光程与波面的关系解释。入射光的波面为AA1，反射光的波面为3。，由于两个波面上的各个点之间 必须保持等光程，于是有而I=砺即Oz =入射角等于反射角。对于折射波而言，要求 IirAA2 = nrAB1 ,即 Zj7ABsin i2 = H1Afisin Z1,即 电 Sin i2 = n1sin l (.平面波通过棱镜或透镜，将发生折射。折射后，方向和波面都会发生改变。 棱镜、透镜的原理都可以从光程的变化进行解释。例如，平面波射入棱镜之前，波面为ABC,射出时，经过的光程为丽", 几BB, 届G ,各不相同，这时的波面，即等相位面必须处于A8'Cz的方位, 才能使得丽F= 而瓯=+斥r,从C处入射的光到达另一 侧表面。时，从C点以上X处的A点入射的光应该到达距离另侧表面上的出 射点Al为nr tana的球面上，由于出射后波面倒棱镜