英才学院机械工程控制基础教案05系统的稳定性.docx

Chp. 5系统稳定性基本要求1 . 了解系统稳定性的定义、系统稳定的条件；2 .掌握Rm加判据的必要条件和充要条件，学会应用R。“他判据判定系统是否稳定， 对于不稳定系统，能够指出系统包含不稳定的特征根的个数；3 .掌握Nyquist判据；4 .理解Nyquist图和Bode图之间的关系；5 .掌握Bode判据；6 .理解系统相对稳定性的概念，会求相位裕度和幅值裕度，并能够在Nyquist图和Bode图上加以表示。重点与难点本章重点1 . Routh判据、Nyquist判据和Bode判据的应用；2 .系统相对稳定性；相位裕度和幅值裕度求法及其在NyqUiSI图和Bode图的表示法。本章难点Nyquist判据及其应用。§1脸示例：振摆1、稳定性定义：若系统在初始条件影响下，其过渡过程随时间的推移逐渐衰减并趋于 0,则系统稳定；反之，系统过渡过程随时间的推移而发散，则系统不稳定。(图 5. 1.2)讨论：线性系统稳定性只取决于系统内部结构和参数，是一种自身恢复能力。与输 入量种类、性质无关。系统不稳定必伴有反馈作用。(图5.1.3)若x0(t)收敛，系统稳定；若X。发散，则系统不稳定。将XO(S)反馈到输入端，若反馈削弱E(S)-稳定若反馈加强E(S)一不稳定稳定性是自由振荡下的定义。即Xi=0时，仅存在Xi(O)或Xi(T)在Mt)作用下的强迫运动而系统是否稳定不属于讨论范围。2、系统稳定的条件：对a,pn+an pn,+ap+alxo (t)=b,p"+b,. p, 1+bp+b i (t)令 B(s)= a,p'+a, p , 1+a.p+a A(s)= bnp,+bn pn",+bp+bo初始条件：B (s) M(S)则 B(s)X)(s)- Bo (s)= A(s)X, (s)- B, (s)“黑石十M优儿3-AX (s)=0,由初始条件引起的输出：X(0_M©_、0 ;1>i + j1>4 +1f+a=(s)÷-X(r-zXf-z,).(f-zJXM = ZWLl变换 口J 0根据稳定性定义，若系统稳定须满足之 F'，即Zi为负值。系统稳定的充要条件：系统特征方程全部根的实部必须为负。或：系统传递函数的极 点全部位于s复平面的左半部。讨论：特征根中有一个或以上的根的实部为正一系统不稳定；临界稳定：特征根中有部分为零或纯虚数，而其它根为负数。临界稳定系统属于不稳定。则系统不稳定。零点对稳定性无影响。零点仅反映外界输入对系统的作用，而稳定性是系统 本身的固有特性。稳定性判定方法：a）直接求解出特征方程的根（高阶困难）b）确定特征根在s平面上的分布：时域：RoUth判据，胡尔维茨判据频域：Nyquist判据，Bode判据§2劳斯（ROUth）判据Routh判据在特征方程系数和根之间建立一定关系，以判别特征根分布是否具有负实 部。一、必要条件：特征方程:B（s）= ap' +a. pn1+ ap+aH）必要条件：B（S）R的各项系数&符号均相同，且不等于0;或 &>0 a. >0 a>0 a>0 （证明）二、充要条件：（Rough稳定性判据）：E Rough表：将特征方程系数排成两列：偶：aa-2a»-ia>-Rough 数列表：(p. 124)S a 即2 a->n-1S & I3-5sn' AlA2A3,3sBB2B3*: a】a”38a1-7ai a，47&00.0III2、判据：Rough列表中第一列各项符号均为正且不等于0若有负号存在，则发生负号变化的次数，就是不稳定根的个数。例1,已知系统特征方程B（s）=s +8s +17s2+16s+5=0试判定其稳定性。解： a4= 1 a3=8 a2= 17 a= 16 ao=5（过程）ai>0 （i=l, 2, 3, 4, 5） Rough 列表中第一列（1, 8, 15, 13.3,5）均大于 0, 故系统稳定。例2,已知系统特征方程B（s）=si-4s+s+6=0试判定其稳定性。解：有一个负系数，不满足稳定的必要条件，有几个不稳定的根？ （过程）有二个负实根，实际上 s -4s +s46= （s-2） （s+l） （s-3）tj =例3,已知系统 '1%4MJ加'4Rte *应试判定其稳定性。解：B（s）=s5+2s4+ 14s3+88s2+200s+800=0（过程）符号改变二次，存在两个不稳定的根。例4,设有系统方框图如下，已知C =0.2, n=86,6,试确定k取何值时，系统方能稳定。（p. 126 图）（过程）三、特殊情况：1、Rough列表中任一行第一项为0,其余各项不为0或部分不为0。 造成该行的下一行各项变为无穷大，无法进行ROU曲计算。措施：以任一小正数代替0的那一项，继续计算。例：B（s）=s -3s+2=0 （求解）若用E代替后，系统R。Ugh列表第一列均为正，一临界稳定（共加虚根）用因式（s+a）乘特征方程两边，得新的特征方程，进行Rough计算后 判断（A为任意正数）。例：B（s）=s -3s+2=0 （求解，取 a=3）2、Rough列表任一行全为0“原因：系统特征方程的根出现下列一种或多种情况时会发生。具有相异符号的实数根（如s=±2）；虚根时（如s=±j5）：共胡复数根时（1b - °9/°%弓）解决：利用全为0这一行的上一行的各项系数组成一个多项式方程（辅助方程）； 对辅助方程取导数得一新方程； 以新方程的系数取代全为0的哪一行，继续进行Rough计算。例：B （s） =s ,+s1-3s -s+2=0 （求解）例：B（s）=s6+s5-2s -3s-7s-4s-4=0 （求解）§3 Nyquist 判据时域判据的弱点：工程设计中，组成系统的各种参数尚未最后确定，时域判据不能应 用；时域判据仅能判断系统是否稳定，不能说明系统稳定或不稳定的程度，因而不能提出改 善系统性能的具体途径。Nyquist判据特点：图解法：由几何作图判定系统稳定性； 由开环特性判断闭环系统稳定性(开环特性由分析法或实验法获得)；可判断系统相对稳定性；可指出各环节对系统稳定性的影响。一、预备知识：1、三种函数的零、极点关系：(Gk(s)、Gb(s)、F(S)(图5.3. 1)Gk(S)=G(S)H(S)-l+gw®F=1+ G(s)H(s)F(P) -1+4(0 +y*5%S /X仆(.) X-川3-¾ ： Gk(S)的零点；p1: Gk(S)的极点。上述各函数零点和极点的关系：(p. 131)结论：闭环系统稳定充要条件为GB(S)全部极点具有负实部一F(S)函数的全部极点均具 有负实部，即通过Gk(S)=G(S)H(S)判断GB(S)的稳定性。2、映射概念：设函数 F(s)=Re(s)+jIm(s)而 S=。+ j 两个函数：F(s), s两个复平面：F(s), sDd上的每一个点对应F(s)上有一个映射的点，称为像点或映射轨迹。例：己知F(s)= s2,求s=l+j2的像点。F(s)= s2= (l+j2) 2=-3+j4即s平面上点(1, j2)在F(s)复平面上的像点为-3, j4(tu 2)3、映射定理(幅角原理)：设F(S)为一有理数，设LS为s平面上的一封闭曲线(看成点的封闭轨迹)，L为F(s) 平面上的对应曲线，则：L在F(s)平面上的映射轨迹L ,也必然是一条封闭曲线。(tu 2) 若L包围了 F(S)的Zi个零点和Pi个极点，则L上某动点S沿L顺时针方向转一周 时，它在B(s)上的映射轨迹L将会顺时针方向包围口原点N次(N=z-p) O (tu 2) 二、Nyquist 判据：1、映射定理的推广：F(s)=l+G(s)H(s)为有理数，满足映射定理。在s上，当S按顺时针方向沿整根虚轴(-j8-+j8 )及R=8的半径组成的封闭曲线 L (实际上为s平面的右半部)转一周时，若虚轴上无F(S)的极点，则在L在F(s)平面上 的映射轨迹L：也将顺时针方向包围原点G共N次。(tu 2)根据闭环系统稳定充要条件，特征方程F(S)=O的根均为负实数或实部为负的复数，即 F(S)在s平面右半部无零点，一系统稳定下的映射为N=-p复平面下系统稳定的充要条件：若s虚轴上无F(S)=I+G(s)H(s)的极点，则当S沿-j 8-+j 8按顺时针方向转一周时，其在F(s)平面上的映射轨迹L也将顺时针方向包围 原点Oh共N次，系统才能稳定，否则就不稳定。2、Lp含义的变通：N=-P的实质就是利用特征函数F(S)=I+G(S)H(S)的零、极点分布来判定系统是否稳定， 实用上不方便，希望判据建立在开环基础上。含义变通：在N=-P中的F(S)的极点数p,理解为开环G(S)H(S)的极点数；将F(s)平面转换成G(s)H(s)平面；F(s)的原点就是G(s)H(s)的(-1, j)点。s=j,贝IJS取值T 8-Hj 8,变成取值-8+8。通过上述转换，将N=-P含义重新引申为：N：开环G(S)H(S)轨迹包围(-1, j)点的次数，即开环轨迹顺，逆时针方向包围(-L j)点次数之代数和。P:开环G(S)H(S)在DJ平面右半部的极点数。2、Nyquist 判据：充要条件：当3取值-8-+8时，其开环G(j)H°3)轨迹必须逆时针包围(-1, j) 点P次，则系统稳定，否则就不稳定。讨论：a) Nyquist判据在GH平面上判断；过程：s± Nyquist轨迹映射到GH上的Nyquist轨迹G(j)H(j),根据G(j 3)H(j3)包围(-1, j)点的次数来判断系统的稳定性。b)应用简单：一般开环系统为最小相位系统，p=0.故只需看开环Nyquist图是 否包围(-1, j)点，不包围则稳定。若开环系统为非最小相位系统，p#0 (开环不稳定)， 则看Nyquist图是否逆时针包围(-1, j)点P圈。C)开、闭环稳定性关系：开环不稳定，闭环可能稳定开环稳定，闭环可能不稳定(0绘制开环3 Rf+8的Nyquist图即可判断。原因：开环Nyquist图对实轴对称。三、对虚轴存在极点的处理：Nyquist判据中规定开环Gk(S)中不能含有S=O和s= ±jk (k为实数)的极点，否则，这 些极点处的幅角是个不确定值，因而，这些点的映射轨迹也不确定。但工程上大多数Gk(S) 会含有S=O或s=±jk的极点，此时，Nyquist判据仍可使用，但需对L曲线修正。 四、应用举例：1、开环稳定，判断闭环稳定性：Gk(S)在s右半部无极点，p=0,则3=0+8时Gk(j3)不包围(T, j)点，即N=O, 则系统稳定，否则就不稳定。OWH3 =旦一-例 1,0 型系统 iJ+i)(7>+i)例2,。型系弊3遥微提例3,tri)I型系统(7÷ig÷0例4,I型系统“4一+旗4，+/(2词批)sf7jBMT+l)CZ+HZ +DG(GJie)乎例5, II型系统2、开环不稳定，判断闭环稳定性：对p#0,若需闭环稳定，则hf="p,即在3取值-8+8时，Gk(j3)逆时针包围(-1, j)点p次。(MG) =K-W'°例：高阶系统IX7GNI)四、典型环节对系统稳定性的影响: 1、比例环节G(s)=k若NGk(j)>-180,则k无论如何变化，系统总是稳定的；ZGk(j)<-180,则 k t - IGktj3) I 随之增大，可能包围(T，j)点。2、惯性环节Gt/)-17÷l高频时(3- 8 ) , G(j) T-90,增加了开环幅角NGk(j)的滞后，对系统稳定 不利，惯性环节越多，系统越难稳定。3、导前环节G(s>Ts+ 1高频时(- 8 ) , G(j 3)+90,减少了开环幅角NGk0 3)的滞后，对系统稳定 有利。若系统需较多惯性环节时，用导前环节保持其稳定性。4、积分环节高低频均产生90滞后幅角，对系统稳定性影响大。积分环节越多，系统越不容易 稳定。措施：增加导前环节，增加内部负反馈或降低系统“型”号。5、延时环节G(s)=e s不改变原系统的副频特性，仅使系统的相频特性变化。§4系统的相对稳定性绝对稳定性判断出系统属于稳定、不稳定或临界稳定，还不能满足设计要求，应进一步 知道稳定或不稳定的程度，即稳定或不稳定离临界稳定尚有多远，才能正确评价系统稳定性 能的优劣，此即相对稳定性。一、系统相对稳定性的两个指标：1、两种坐标对应关系：Gk（j3）可用极坐标（Nyquist图）和对数坐标（BOde图）表示，二者有对应关系: a）极：单位圆一f对：零分贝线（幅频特性）相当于：I GH I =1-2OIg I GH I=OdBb）极：负实轴一对：-180水平线（相频特性）原因：负实轴上的每一点的幅角都等于-180C）极：开环轨迹与单位圆的交点c -对：幅频特性曲线与零分贝线的交点。交点C处的频率3,称为剪切频率、幅值穿越频率、幅值交界频率。d）极：开环轨迹与负实轴的交点g-对：相频特性曲线与-180水平线的交点。交点g处的频率3 .称为相位穿越频率、相位交界频率。2、幅值和相位裕量：幅值和相位裕量是衡量系统离临界稳定有多远的两个指标。（D幅值裕量R：定义：在相位交界频率3处IGk（j） I的倒数。£，= IZi，IGU4)fg在对数坐标上,rl(rf) = 20ferf =20=-2OIamaDHg讨论: a）若Gg）H（js） I Vl,>l,即 K （dB）>O f系统具有正幅值裕量。I GGg）HQg） I >l,<l,即 K （dB）<O 一系统具有负幅值裕量。b）对最小相位系统p=0,正幅值裕量对应的开环轨迹不包围（-1, j）,闭环稳定，负幅值裕量对应的开环轨迹包围（-b j）,闭环不稳定。C）Kg实际上是系统由稳定（或不稳定）到达临界稳定点时，其开环传递函数在38处 的幅值lG（j3jHG3j I需扩大或缩小的倍数。d）一阶、二阶系统幅值裕量为无穷大。原因：其开环轨迹与GH平面的负实轴交于原点，1/K/0相位裕量 ：定义：在3c处，使系统达到临界稳定所需附加的幅角滞后量（或超前量）。= ZG（jt）H（jc）- （-180 ）=180+ （c）若Y >0称正相位裕量（正稳定性储备）丫必在Bode相位图横轴（-180'线）以上，在NyqUiSt图负实轴以下（第三象限）；若YVO称负相位裕量（负稳定性储备）Y必在Bode相位图横轴（-180'线）以下，在Nyquist图负实轴以上（第二象限）。（3） 几点说明：a）R、Y作为设计指标，对最小相位系统，只有K、丫都为正时，闭环系统才稳定；K、 丫都为负时，闭环系统不稳定。b）为确定系统相对稳定性，必须同时考虑工和。C）为使系统满意工作，一般：Kg（dB） >6 dB=30 '60- ZG（j.）H（jc） 150 '120 0二、对数判据（Bode判据）：在Bode图上判断系统稳定性。1、对最小相位系统p=0在BO（Ie图上，若MV 3c在g左方）一闭环稳定； c> s （c在g右方）一闭环不稳定； 3'= g 临界稳定。2、对一般系统p0:用“穿越”概念判断。（tu 2）a） “穿越”的两个要素：幅值大于1：即幅频特性上的与横轴相交的左侧段；幅角-180 ：即相频特性上的-180水平线。b）正负穿越：正穿越：在03c范围内，相频曲线自下而上穿过-180”水平线。（幅角滞后减少）负穿越：在0M范围内，相频曲线自上而下穿过-180水平线。（幅角滞后增加）C）判据：在Bode图上，在03c范围内（即开环对数幅频特性不为负值的范围内）正穿 越和负穿越-180”水平线的次数之差为p2,则系统稳定。d）讨论：正半次穿越和负半次穿越；存在多个M （tu 2）三、应用举例：例1 ,已知系统开环对数坐标图如下，试判断稳定性。削*口）=-例2、设,0A幻卜&I）求k=i（）k=o的K和丫G>KS）9例3、已知二阶系统1一工2缶）求相位裕量丫与阻尼比的关系。