英才学院机械工程控制基础教案03线性系统的时域分析.docx

Chp. 3时间响应分析基本要求(1) 了解系统时间响应的组成；初步掌握系统特征根的实部和虚部对系统自由响应项的 影响情况，掌握系统稳定性与特征根实部之间的关系。(2 ) 了解控制系统时间响应分析中的常用的典型输入信号及其特点。(3)掌握一阶系统的定义和基本参数，能够求解一阶系统的单位脉冲响应、单位阶跃响 应及单位斜坡响应；掌握一阶系统时间响应曲线的基本形状及意义。掌握线性系统中，存在 微分关系的输入，其输出也存在微分关系的基本结论。(4)掌握二阶系统的定义和基本参数；掌握二阶系统单位脉冲响应曲线、单位阶跃响应 曲线的基本形状及其振荡情况与系统阻尼比之间的对应关系；掌握二阶系统性能指标的定义 及其与系统特征参数之间的关系。(5) 了解主导极点的定义及作用；(6)掌握系统误差的定义，掌握系统误差与系统偏差的关系，掌握误差及稳态误差的求 法；能够分析系统的输入、系统的结构和参数以及干扰对系统偏差的影响。(7) 了解单位脉冲响应函数与系统传递函数之间的关系。重点与难点重点(1)系统稳定性与特征根实部的关系。(2) 一阶系统的定义和基本参数，一阶系统的单位脉冲响应、单位阶跃响应及单位斜坡 响应曲线的基本形状及意义。(3)二阶系统的定义和基本参数；二阶系统单位脉冲响应曲线、单位阶跃响应曲线的 基本形状及其振荡情况与系统阻尼比之间的对应关系；二阶系统性能指标的定义及其与系统 特征参数之间的关系。(4)系统误差的定义，系统误差与系统偏差的关系，误差及稳态误差的求法；系统的输 入、系统的结构和参数以及干扰对系统偏差的影响。难点(1)二阶系统单位脉冲响应曲线、单位阶跃响应曲线的基本形状及其振荡情况与系统阻 尼比之间的对应关系；二阶系统性能指标的定义及其与系统特征参数之间的关系。(2)系统的输入、系统的结构和参数以及干扰对系统偏差的影响。建立数学模型后进一步分析、计算和研究控制系统所具有的各种性能。时域分析法利用L变换对系统数学模型求解，可以导出各种时域性能指标。§1时间响应及组成1、 响应：古典控制理论中响应即输出，一般都能测量观察到；现代控制理论中，状 态变量不一定都能观察到。能直接观察到的响应叫输出。2、时间响应：系统在输入信号作用下，其输出随时间变化的规律。 若系统稳定，时间响应由瞬态响应和稳态响应组成。3、 瞬态响应：系统在达到稳态响应前的时间响应。4、 稳态响应：当t-8时的时间响应。实际给出一个稳态误差, x(t)-() I ()5、过渡过程：在X (t)作用下，系统从初态到达新状态之间出现一个过渡过程。 原因：系统中总有一些储能元件，使输出量不能立即跟随其输入量的变化。 过渡过程中系统动态性能充分体现：快速性：响应是否快速；平稳性：是否有振荡，振荡程度是否剧烈；稳定性：系统最后是否稳定下来。6、 时间响应的数学概念：从数学观点上理解时间响应。线性定常系统f非齐次常系数线性微分方程，其全解=通解+特解通解：对应齐次方程，由系统初始条件引起(零输入响应，自由响应)特解：由输入信号引起，包括瞬态和稳态响应。例：质量-弹簧单自由度系统动力学方程：my" (t)÷ky(t) =Fcos t全解：y(t)=y (t)+y2 (t)(通解+特解)=Asin ,t+Bcos t+Ycos t求出A、B、Y,得：§2典型输入信号系统动态性能通过时间响应表现。时间响应不仅取决于系统本身特性，还与输入信号的 形式有关。系统输入信号大多具有随机性质。但从考察系统性能出发，总可以选取一些具有特殊性 质的典型输入信号来替代它们。选取原则：应能使系统充分显露出各种动态性能；能反映系统工作的大部分实际情况； 能反映在最不利输入下系统的工作能力；应是简单函数，便于用数学公式表达、分析和处理。典型输入信号：脉冲信号：理想单位脉冲函数6L(t)=l模拟：碰撞、敲打、冲击等阶跃信号：单位阶跃信号Mt): R=I时，Ll=ls模拟：指令、电压、负荷等的突然转换，横速信号(斜坡函数)：单位横速信号v(t) ： R=I时，Lv(t)=ls模拟：速度信号恒加速信号：单位横加速信号a：R=I时,La(t)=ls, 模拟：系统输入一个随时间而逐渐增加的信号。正弦信号：Xi(t)=Asin tea a模拟：系统受周期信号作用。本章讨论6和U的时间响应。§3 一阶系统定义：可用一阶微分方程描述的系统。传递函数：f, 7+1特征参数：T一、单位脉冲响应：输入:Xi (t)= (t) Xi(S)=I响应：W(S)=X0(S)=G(S)单位脉冲响应: 讨论：只有瞬态项，稳态响应为0;单调下降指数曲线；过渡过程时间Ts:对A=2% Ts=4T惯性环节：一阶系统惯性较大；脉冲信号要求：脉冲宽度£ <0.1时间常数To二、单位阶跃响应：输入：Xi (t)= l(t) Xi(s)=ls一 _¥响应：X0(S)= G(S)Xi (s)= 7 4-1 e '''xi<w=rlxl= r1-1-11=1-单位脉冲响应：7i + l S讨论：瞬态项：一 N ,稳态项：0；单调上升指数曲线；过渡过程时间Ts:对A =2% Ts=4T 两种方法求T ： xo(t)=0.632时，t=T原点斜率，竽U=TIf 8时，Mo=I,输入与输出一致;Mw-T a f，求出jt),再方便求出W(t) §4二阶系统 定义：可用二阶微分方程描述的系统。0(f)-&r传递函数：d + 252+特征参数：系统固有频率3一系统阻尼比0尚正方程：S+2 rs+ pM)特征根： 一°士-1一、单位脉冲响应： 输入：Xi(t)=(t) Lxi(t)=lri=rj=G- 丁 :r 响应：* + 20j + 0.单位脉冲响应：同X【E卜.)，欠阻尼系统0< <l:尚正根为共枕复数AL-S±eE4 f342w _ £-1 Fl .6.出 Y.-Z 8+奴)：；9/二方.3 H5正英二尚阻尼频率啊.。a-G无阻尼系统C=O:特征根：共聊纯虚数SL产÷jn“)L /：/ 父 9/临界阻尼系统=l:特征根：两个相等负实数Sl n刁芸M ,7过阻尼系统C >1：特征根：两个不等负实数根 长=-8土。r-1. 4j2r- l+-rl-D *÷r->.J.-r-g,4 . g <*P=fc>l2“-1为两个一阶系统单位阶跃响应函数的叠加。讨论：a) =0,等幅持续振荡状态；(实际系统不可能无阻尼)iig.3.4.3C >1,无振荡，且w(t)永远为正值；0< <l,减幅振荡状态，幅值衰减快慢取决于衰减系数C b)最大振峰：当OV CVl时3.0 ,近二、单位阶跃响应：输入：xi (t)= u(t) Lu(t)=ls1-¾响应:< S+. +JX+dA -Jd)单位脉冲响应:伊=Oretg欠阻尼系统OV <i:t-ctXM=I-Hliya) 1-瞬态项：减幅振荡，稳态项：x( 8)=1无阻尼系统C=O:Xa (t) =I-COS t持续等幅振荡临界阻尼系统=l:K(t)l无振荡，指数规律单调增加，( 8)=1过阻尼系统C >1：<t(g)-l÷-,(户 ÷一户)Sl g 无振荡%=-+d+7b. 与t+g-T)%当>L5 W, * 出芸就忖龄x"1+Tvfig.3.4.6三、性能指标计算（瞬态指标）：1、指标形式：二阶系统的单位阶跃响应（时域，单位阶跃输入，二阶系统） 原因：容易获得；最不利输入；二阶系统能较全面反映系统动态特性。2、指标定义及计算：在欠阻尼OW <l下给出，选C=04'08fig.3.4.7J dfvlg 丫- C1）上升时间tr：-0R-d - 1定，若 3n 1 ,则 tr I3n一定，若 t ,则 tf t2）峰值时间tp ：，5 5 耳 C心是有阻尼振荡周期2 H/3d的一半，匕,随M和变化情况与tr相同。3）最大超调量M ：%= %f xl（¾山直接反映系统过渡过程的平稳性；肠只与有关，与3无关； =40. 8 时，M=25% 0.9%,C =0.7 时，M=I. 5%4）调整时间t；（过渡过程时间）：定义：I X （t）-1 （） I WA Xn（）（tt）ti-Ln-=8. i7r4÷A.Cm QJtl f, >盘（OYJOA.M. 纭讨论：最佳阻尼比（使t,和豚均小）当A=02,C476时，匕最小当=005,C=0.68时，匕最小 取设计平均值f =0.707C过大（>0.8）,不但不减小，反而趣于增大。原因：阻尼过大，造成迟缓。5）振荡次数N： 定义：在Ott*, 振荡周期：2系统以阻尼频率3d为振荡频率所经历的振荡次数。 d 调速时间t；N反映系统响应平稳性。N随U增大而减小，直接反映系统阻尼特性。6）结论：a）系统时间响应性能：由特征量、 n决定。提高nj t I , I, I,一提高系统响应速度增大C ： MLNl -获得较好的平稳性b）同时提高3“和增大矛盾：即响应速度和振荡性能之间存在矛盾。C）合理设计系统，满足三方面性能指标。稳定性（首要），快速性（灵敏性），准确性（精度）设计中，先从稳定性出发，给出M以确定C ,然后根据其它指标确定§ 5高阶系统分析方法：抓主要矛盾，忽略次要因素，将问题简化。实际系统大多为更杂的高阶系统。建立闭环主导极点概念，将高阶系统简化为一、二阶系统的组合。二阶系统最能反映系统过渡特性，用二阶系统分析结论，对高阶系统近似分析。 一、高阶系统的时间响应：+>)【"卬("孙)“+& p(s+A)I系统在单位阶跃作用下有两种情况：1、G（S）的极点是不相同的实数，全在复平面左半部；（实数极点可组成一阶项）在阶跃信号下，(+a)夕项分式定理）L"变换：Ul式中，第二项包含多项式分量，随t-8,各项均趣于oPi值不同，衰减速度不致。关注：衰减较慢的分量(Pi较小)主要影响过渡过程。 忽略：衰减较快的分量，从而将高阶一低阶。2、极点位于复平面左半部，为实数极点和共额复数极点(可组成二阶项)j,+*D<G÷)GW 厂 卢 ÷2=)(<÷)C*j÷2Gu*÷)UIUAU在阶跃信号下，%®七吟焉+£：莅UV令0. = %j Z)LdA "R%CM十金 °i 2d(r÷G¾>)a +吃 3+G)' +xQO ÷52Af<',f +Z<4*l*f 匕 cot S/ ÷D am .皆 1-1可见，高阶系统的单位阶跃响应，不管极点是复实数或共额复数，都可看成一阶和 二阶单位阶跃响应的叠加。在各低阶响应中，各极点对系统的动态性能影响不同。二、主导极点：条件：距虚轴最近的一对共额极点sl. S2的附近没有零点；其它极点距虚轴的距离都在这队极点距虚轴距离的五倍以上；则这对距虚轴最近的极点称为主导极点。讨论：主导极点的调整时间是其它极点的5倍。Ts 25ts3主导极点衰减最慢。忽略非主导极点的影响，将高阶系统近似为二阶振荡系统。