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递推数列求通项的分类解析与教学思考东莞市第五高级中学李新【摘要】数列问题灵活多变，形式多样，蕊含着丰富的数学思想，是考查学生数学能力很好的载体.对于由递推关系求数列的通项公式问题，通常可通过对递推关系的变形转化构造新数列成等差数列或等比数列.数列题规律性强，题型决定方法.若能辨析题中关系式的特征，则能迅速找到解决方法.本文试图从数列求通项这个问题进行分类解析，探索出这类问题的通解通法.【关键词】递推数列：通项；类型；方法1引言数列是高中数学的重点内容之一，也是初等数学与高等数学的重要衔接点.由于它既具有函数特征，又能构成独特的递推关系，使得它既与高中数学其他部分知识有着密切的联系，又有自己鲜明的特点.而且具有内容的丰富性、应用的广泛性和思想方法的多样性，所以数列一直是高考考查的重点和热点.纵观广东省近几年高考数学试卷，数列占有相当重要的地位，一般情况下都是以一道小题和一道解答题形式出现，小题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前项和公式等内容，对计算技能要求比较高，具有“小、巧、活、新”的特点.解答题属于中高档难度的题目，以考查递推数列为主，具有综合性强、变化多、难度较大特点，着重考查数列内在的本质知识和推理能力，运算能力以及分析问题和解决问题能力.求递推数列的通项公式是递推数列中的最重要的一环，因为求出了递推数列的通项以后，对这个数列的结构就有了进一步的认识，其他后续问题才有可能解决，如求和、数列与函数、数列与不等式等问题.递推数列的题型多样，求通项公式的方法也非常灵活，往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决.因此，仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法，是快捷求出通项公式的关键.2递推数列的类型及其求通项公式的方法类型+=5）q（%）可以求积）.解决方法累积法.例1在数列z中，4=1,W*=(+l)%52).求数列qj的通项公式.解na-(÷06z"2).4一(八.%_2%_3%_4%_nan_72+113a24ai5an_xn+将上述-1个等式相乘，得6722=(2)a-1,.all=(2)ain+l2.又rq=l也满足上式.=5N)n+评析累积法就是将题中的递推关系转化成“商型”关系巴=g5),令n=l、2、nT,an-将n-1个等式相乘，求出进而求出可(2),验证当n=l时是否也成立，写出%nN*时的表达式.事实上，所归化出的“商型”递推关系A=g()可以看成是等比数列2=q的推广.将其T%进行累乘：4=2.a1L.01.%=力*().4,于是只要g5)可以求积就行.%Tan-22值得一提的是：正因为“商型”递推关系巴二g()可以看成是等比数列2=4的推广，an-X两者形式相似，故有一些学生将满足A=g5)的数列当成等比数列，认为g5)是公比，错误得an-到所求的通项公式为=qg()”".类型二%=4+/()(/'()可以求和).解决方法累加法.例2已知数列qj满足g=1,4=q_1+2-1(九2),求数列的通项公式.解-,=2n-(n2):.a2-al=1,Ci3-Ci2=3,a4-a3=5,an-an_=2n-l.将上述九一1个等式相加，得an-ai=n2-1(2)4=1,/.an=n2(n2)又1=1也满足上式，/.45n')评析解决本题的关键是把递推关系式。用=q+2+1转化为“差型”关系：a0+-。"=2+1.然后令n=l、2、nT,将nT个等式相加,求出q,-01,进而求出q<2),验证当n=l时是否也成立，写出N*时4的表达式.实质上，归化成的“差型”递推关系见-0=/()，可以看成是等差数列。的-4=1的推广.将其进行累加：an=(atl-an_+(an_i-a_2)+(a2-al)+ai=f(n)+al,于是只要/5）可以求和就行.同样，有一些学生错把满足关系勺-勺=/（）的数列当成等差数列，认为75）是公差,用等差数列通项公式求得（=4+5-l）5）.错原是对公差的含义理解不透彻.例3已知数列q满足4+=34+23"+L%=3,求数列4的通项公式.解。的=3/+2-3”+1两边除以3-1得凡+1an21rt,la,+1an21/、.、_2±L=一±+-+,则-Ji±L2-=+（1）3+1333"十】3+1333n）故当n22时，-¾=-÷-,¾-¾=-+-!,-4=-÷-L3"3"T33"3”T3”-233,323l332为4,21、*1xz21、，21、¥"7=（3+7）+（3+3）+（3+3）+（3+F）,%=3,.二工二2（"-1）+（_1+工+±）+11 3"33"3"T3h232即M=Q+±22+=幺+L-L3"31-33223"2 11：,an="3"H3"（n2）.当n=l时q=3,也满足.322211.数列的通项公式为4="3"+/=（eN）评析本题解题的关键是把递推关系式=3%+23"+l转化为成“差商综合型”的递推关系4-%=2+J,进而用累加法求出"，最后再求4的表达式.3+1333"3n对于一些递推数列通项公式求解的问题，往往可以通过递推公式的变换，转化为“差型”、“商型”或“差商综合型”的递推关系，然后用累加法或累积法求解.类型三=A4+8（其中A、B为常数,A0,1）.解决方法等式两边加上同一个常数，构造成等比数列.例4在数列q中，4=1,当2时，有4=3,+2,求数列4的通项公式.解在等式q=3。小+2两边加上1,得4+1=3（%t+1）二.4+1是以q+1=2为首项，以3为公比的等比数列.=23”J评析解题思路是在已知递推等式两边加上同一常数，构造成一个特殊数列一一等比数列，由等比数列的通项公式求出新数列的通项公式，继而得到所求数列的通项公式.一般地，两边所加的常数可以这样找出：设为+f=3(4+f),则4=3,+2f,与已知等式q=3(_1+2比较系数，得t=L一般地，两边加上的常数，=2.A-I在例4的解答中，用到了一种解题方法一一构造等比数列或等差数列.实际上有些数列并不是等差、等比数列,给出数列的首项和递推公式,要求出数列的通项公式，这些题目往往可以用构造数列法解决。什么是构造数列法？根据递推公式，适当将其变形，构造出一个新数列，使新数列是等差或等比数列，从而间接地求出原数列的通项公式.构造法的目的就是将陌生的问题转变为熟悉的问题，将难以解决的问题转变为容易解决的问题.从例4的解答中可以看到，构造法给人耳目一新的感觉.类型四an+i=Aall+f(n)(A1,/()可以求和.注：当A=I时为类型一).解决方法在已知等式两边除以或加上一个与f(n)有关的式子，构造成等差数列或等比数列.例5在数列zl中，4=l,q,+=3an+2,求通项公式见.解法1,an+l=3atl+2".n+1+2n+,=3n+2+,+2”,即+2fl+,=3(an+2n).数歹U%+T是首项为4+2=3,公比为3的等比数列.zi+2"=3,/.an=3n-2nC1).解法2an+.=3all+2n9-=-(-)n(21)用“3e3”33将以上n-1个等式左右分别相加，得争争小尹+(犷+.+(孙卜令.q,=3"-2"52)当=1时，4=1,上式也满足.数列4的通项公式为4=32"5D评析解法1的核心在于%d=3/+2"两边同时加上2+L构成一个特殊数列一一等比数列.两边所加上什么样的式子是难点，该式子可以通过比较系数求出：设M+x2"+=3(+x2"),即an+1=3+x2n,将它与%=34+2n比较系数得=l,故在递推关系式两边加上2w+,即可.解法2的核心在于：凡+1=3。+2"同时除以3向，转化成类型一.分析发现：解法1是从2"作为解题切入点，而解法2是从乙的系数3作为解题切入点.由递推公式求数列的通项是高考的热点和难点.解这类问题的主要方法是把问题转化为求等差或等比数列的问题.要使学生学好递推数列，顺利解决相关问题，教师应设法让学生熟练掌握形如an+l=/(«)-an,an+i=an+f(n),n+1=Aatt+B,an+l=Aan+/(n)这四种基本的、常考的类型的求解方法.例6己知数列a1J满足4=3+52"+4,a1=l,求数列a11的通项公式。解设+x2''+y=3(%+x2"+y)化为=3%+x2"+2y,与已知等式比较系数，得X=5,y=2代入式，得%+52+,+2=3(a+52+2)由4+5x2+2=l+12=1300及式，故数歹J%+5x2”+2是以6+52+2=l+12=13为首项，以3为公比的等比数列，因此q+5x2"+2=13x3"-,则=13x3"T-5x2"-25N").评析本题是在例4与例5基础上的拓展题，是题型与解法研究的深入.此处给出的递推关系式与例5递推关系式比较，发现右边多了常数项，解题的难度大增，需要求出两个待定系数.思路的核心是把递推关系式=3%+5X2”+4转化为afl+1+5×2+,+2=3(an+5×2w+2),从而可知数歹U+5x2”+2是等比数列，进而求出数列4+5x2+2的通项公式，最后再求数列ql的通项公式.一般来说，解决等差(比)数列问题都可以归结为研究首项和公差(比)问题；非等差、等比数列的问题常通过构造辅助数列转化为等差或等比数列求解.通过两个基本数列以及递推数列的学习，在化归与转化过程中可以认识更多的数列，了解数列更多的内在联系，掌握巧妙的解题方法，享受奇妙的解题乐趣，提高学习的幸福感.类型五Ssrt)解决方法利用公式/=<"?IATZtT52)例7(2012年广东高考理科19题(1)(2)小题)设数列2的前项和为S”，满足2S=an+-+1(N'),且q+5,0,成等差数列(1)求q的值；(2)求数列“的通项公式。解（1）由题意易得q=l.（2）2S=勺”-2n+,+KnN'）2S,=all-2n+1（2）两式相减，得2(Srt-S")=z-2"52)-SnSn=atl(n2)2an=n+1-an-2n(n2)即=3a+2n(n2)由知=1,a2=5f代入上式也满足，故对W"N*,a.=3%+2"都成立.下面解法与例5相同.评析如果题中给出可与S型的递推关系，通常利用公式为=1'S=?.有两种常规思l-V(22)路，其一是把S“转化成见,求出耳；其二是把氏转化成5，将S“看成新数列，求出S，再利用公式求出例8(2012年广东高考文科19题)设数列,的前n项和为S，数列S,的前项和为Tn,满足Tll=2Stl-W2,N*.(1)求Ql的值；(2)求数列的通项公式.解(1)在7；=2S一/5N")中，令=1,得q=lTn=2Sr-n1(neW)用+1代替的得小=2S-(+1)2一得Tn+l-Tll=2Sn+l-2Sn-2n-5N*)Z+Zr=S“+1Sg=2S,+(2"+l)5)用-1代替的得5=2S.i+(2+1)(n2)-得Sz,+1-Sn=2S一25zf.1+2(2)'*SN-Sn。+Sfl-S“八一Cln.an+i=2an+2(n2)在中，令=2及4=1得。2=4,也满足上式.所以得到递推关系4+=+2(N'),由类型三的方法可求得/=32"-2(eN").评析又是涉及Sn与an的关系问题.解例7时只需一次利用S“与4的关系式，而例8需要两次利用SZI与勺的关系式.用今Slsn-sn-l>1-1IC求通项公式是常见的数列题.其解法特征表现为n2“再写一式，两式相减”，得到关于凡的递推关系，但应注意n的取值范围，验证初始值n=l是否也满足.2012年广东文科高考题是典型的难题，题中“和中有和”，解答时“减了乂减”，且最后还要构造新数列，学生平时很少接触到这样的题型，对学生的思维能力、推理能力以及运算能力都是一次挑战.当年的文科数列题明显比理科数列题难多了.类型六anC,"-*S,d,eH0).解决方法取倒数例9已知数列4中，q=2,G2时，%=ZT求通项公式.tn-4113.an-l=,两边取倒数得=+-.31+lan-1-I4可知是首项为1,3+ 143公差为2的等差数列.43+53+1评析对一部分学生来说，看起来容易，做起来难，究其原因就是缺少洞察事物的能力.在数列教学中，应让学生有观察分析各种特征的递推关系的机会.本题的递推关系为分式，分子均是勺7的一次二项式，解答时进行变形、取倒数，化归为等差数列的问题.将陌生问题转化为熟悉问题,把复杂的递推关系转化为特殊的递推关系，这就是化归与转化思想方法的精粹所在.化归与转化是很重要的数学思想方法,尤其是解数列问题时运用比较多，教学中应有针对性地强化学生的化归与转化意识，提高学生化归与转化的育生1学生能够从容对待陌生面孔的试题.类型七川=9(4)+8阿1解决方法化成等差、等比数列或换元去根号.例10在数列%中，q=l,用=-L(1+4%+Jl+2加).求明.,2解设=Jl+2W”>0,则仇=5,”=1+24%,即氏展=Kl+4x铝+bj化简得(2%y=(2+3)2，2。向=2+3,即-3=l-3)数列2-3是以2为首项，；为公比的等比数列.-3=2×)=2即bll = 25)-122z,i+3×2,1÷1243×22n,评析乍一看，好象无从下手，但仔细观察，进一步深究无从下手的原因，原来是递推关系中的根式在作怪，那去掉根式就是解题的切入口了，正是“蓦然回首，灯火阑珊处”.如何去掉根号呢？若令=J1+2也那就巧妙地去掉了根式,构建新数歹J或.根据数歹12递推关系式的特征，采用类型三的方法，第二次构建成等比的新数列勿-3.至此，问题得到解决.类型八4i.+2+8%+C=0(A,B,C为常数，且ABCO)解决方法首先构造等比数列，再根据得到的递推关系式的特征采用累加法或再一次构造等比数列.例11在数列%中，4=1,。2=2且满足2q,2-3。m+41=0(叱)，求数列凡的通项公式.简解将2ali+2-3¾+1+4=0变为24+2一用=2。用一凡2。用一4,是首项为24-4=3,公比为1的等比数列用一。”=3,再根据类型三的方法化为%-3=g(4-3),.q-3是首项为-2,公比为:的等比数列，可求得4=3-22-"5N*).例12已知数列%,%=4=2,%=att+2.,"(2),求数列伍”通项公式册.解.an+i=%+2%，两边加%得：%+cn=2(4+rt-1)(n2)t/.an+i+afl是以2为公比，%+/=4为首项的等比数列.*.an+an=4×2,l=2x2"Hj)下面给出两种解法.解法1：式符合类型四，将它化为4用一;2向二"一亍2),.%“一|-2是首项为4一半2=|,公比为T的等比数列，2可求得见=§2"-(T)”(nM).解法2：川=a“+24T的两边减去2%,得%一2、=Taft-2%)(2).an+l-2an）是以一1为公比，4-24=-2为首项的等比数列.=_2x（7严=2x（-1）”2-得3an=212n-（-V）tan=-2n-（-）n（nN）.评析例11思路之关键:将A。+&，,+Ctz,=O转化为A（a“+2+M“+J=y（4+i+m），与原式比较系数，列出方程组4'-y=8,解出x,y；还原到Aa+2+必,用）=）（。同+咫），则I-y=C数列4z+x4是以外+xq为首项，上为公比的等比数列，然后再结合其它方法，就可以求出生.例12的两种方法各有千秋，它们都是化归为熟悉的等比数列来求通项公式.对于解法2,其实是利用了二元二次方程组的两组解得到与，再联立解求出4.这体现了方程思想在数列中的作用.以上八种类型递推数列是基本的常见的，相应的求通项方法也是常用的.在教学中应作为专题，以习题组形式训练，侧重于学生的洞察能力、思辨能力的培养，将重要的数学思想方法一一化归与转化思想贯穿于整个数列学习和教学过程.3结束语递推是数列的本质性内涵，是数列的一大特色.解决递推数列问题，是培养学生思维能力、探索能力、推理能力和运算能力的好素材.虽然教材中有两个地方分别提到数列的“递推公式”和“递推关系”，但并没有深入研究，也没有出现递推数列的题目，数学课程标准和近几年广东高考数学考试说明也没有对递推数列的教学有明确的要求.因为很多数学知识方法都能蕴涵其中，对于“考查能力为主”的选拔性考试一一高考而言，递推数列无疑是经久不衰的热点问题.纵观近几年广东高考试题的数列题（2010年解答题中没有数列题），对递推数列的考查情有独钟，在高考中处于相当重要的位置.不过，不论是文科或理科，数列在解答题中的位置已从2008年的压轴题前移到2012年的第19题，这对面上中学一部分考生来说有机会也有能力解答数列题了，不再是可望不可及的试题.教师对递推数列的教学应理直气壮地适当拓广和深入,让学生系统地完整地学习递推数列.在数列学习和教学中，应突出两条主线：一条是基础知识主线，一条是思想方法主线.要以等差数列、等比数列两个主干知识为载体，以通项公式与求和公式为主渠道，灵活运用等差（比）数列的性质，将最基本的解题方法训练好，注重在两个重要数列的内在知识体系中挖潜.通过分析典型例题和习题，加强数列与其他知识点结合的综合性问题、探索性问题、应用性问题的训练，提高运算能力、思辨能力、转化能力、探究能力以及分析问题与解决问题的能力.【参考文献】1 2012高考数学复习指导理科（上册）.新世纪出版社，2011.52 2013高考备考指南理科数学系统复习用书.华南理工大学出版社，2012.23何学军.求数列通项公式常见题型及解法J数学教学研究，2011年06期4递推数列求解方法