曲线与曲面进阶教程赵林.docx

曲线与曲面进阶教程赵林1365474442021.1.17本文为原创作品，谢绝转载或用于其他任何商业学术用途，仅供本群交流，请勿上传到百度文库等流氓网站.I前言：本文适合有一定geogebra作图基础的朋友，建议先阅读以下三篇文章作为基础. l.GeoGebra点运算的使用小结修改肖建伟 2.Geogebra中直纹面的绘制(更新)潘立强 3.GeoGebra中一类曲面的作法(以牟合方盖等为例)赵林本文写的仓促,难免有错,请谅解.11.基本语法曲面和曲线,基本语法为：曲面(<><y表达式表达式参变量工起始值终止值参变量2>,<起始值>,<终止值)曲线(<x(t)>,<y(t)>j<z(t)>,<参变量t>,<t-起始值>,<t-终止值>)其中曲面指令有两个参数,而曲线指令有一个参数.例如：a(u,v)=surfaceu,2v,0,u,0,2,v,0,2这样我们就得到了一个名称为a的曲面，该曲面有2个参数u和V.如果我们输入a(l,1),则得到曲面a中参数u=l,v=l的点,即点(1,2,0),这种用法是不是和二元函数的用法很类似呢？不同的是，a(l,l)是把u,v映射为点,如果我们有一个二维的点A,输入a（八）,则相当于令参数U等于A的横坐标，参数V等于A的纵坐标，即把点A映射为曲面上的点.类似的b(u)=curveu,u2,u,0,2我们就得到了一条名称为b的参数曲线.输入b(l),相当于令U=I,则得到的点为(1,1)另外以下格式的指令都是合乎语法的书写方式,请灵活使用.曲面A+(s,t,0),S,0,l,t,0,l# A是一个点.曲面su+tv,s,0,1,t,0,2pi# 其中u,V为向量.曲面(2;a;B),a,0,2pi,-pi2,pi2# 这是球坐标的形式.曲面(2")+(0,0,h),0,2pi,h,0,2# 这是极坐标和直角坐标的混合形式.I2曲面曲线从曲面到曲线,实质上是把两个参数变为一个参数.2. 1令其中1个参数为常数.以圆柱为例,假如圆柱侧面的曲面方程为:a(u,v)=曲面(2;u)+(0,0,v),u,0,2pi,v,0,2我们令V等于0,即输入：曲线a(u,0),u,0,2pi则得到的曲线即圆柱的下底.输入曲线a(0,v),v,0,2,则得到的是圆柱的一条母线.3. 2消参(即用其中一个参数表示另一个参数)2.2.1平面与曲面的交线.案例1:圆锥的侧面被平面所截的曲线如何画，曲线方程是什么？方法1作图步骤:-第一步:写出圆锥侧面的曲面方程和平面的方程.a(u,t)=曲面(l-t)*(2;u)+t*(0,0,4),u,0,2pi,t,0,lp:x+y+2z=4第二步:打开运算区,输入solvea(u,t)(1,1,2)=4系统会帮助我们解得t和u的表达式,我们右键第一行的结果,选择复制，则在粘贴板中得到了这样一个式子?(r<w(11),÷5/II-2)(cos(u)+sin(u)-4)第三步:输入：曲线a(u,(cos(u)+sin(u)2)/(COS(U)+sin(u)-4),uj0,2pi输这个指令的时候,可以黏贴上面复制的式子,去掉其中的t=以及大括号这样我们把a(u,t)中的t用(Cos(u)+sin(u)-2)(coS(U)+sin(u)-4)替换,得到了交线的曲线方程.这种方法,本质就是解方程,解出两个参数之间的关系,从而得到曲线方程.练习1己知马鞍面a的方程为：曲面(s,0,I3s2)+(0,t,-13t2),s,4,4,3-4,4),平面P的方程为：X+y+Z=0,请画出a与P的交线.方法2：利用系统的相交曲线指令.- 第一步：用圆锥工具作出圆锥a,平面工具作出平面eql.-第二步：用相交曲线工具依次点击a,eql得到曲线d.此时得到的d是无法进行引用的.- 第三步：输入COPyFreeC)bject(d),得到曲线e.此时，我们双击e可以发现，e这个方程里已经有了可以复制的曲线方程：e:X=(0.28571,0.28571,1.71429)+(0.80812cos(t)+0.75593sin(t),0.80812cos(t)-0.75593sin(t),-0.80812cos(t)。- 第四步：输入：曲线(。.28571j0.28571j1.71429)+(0.80812cos(t)+0.75593sin(t),0.80812cos(t)-0.75593sin(t),-0.80812cos(t),t>>2pi,得到可以引用的曲线f.TiPS在ggb中只有极少数的平面与曲面的交线可以用这种方式获取，比较常见的有：球与平面，圆锥圆柱与平面.2.2.2曲面与曲面的交线案例2维维安尼曲线:已知球eql的方程为：1,圆柱侧面a的方程为:/二w画出eql与a的交线.作图分析：联立方程组可得J=lx圆柱曲面的参数方程为：（x.!（14CoIIa）-.5Rinn于是得到维维安尼曲线的参数方程为：'TH1.1,T<>>nI(U-0.5sin三÷5(l-0)作图方法：输入指令：曲线(0.5(1+cos(),0.5sin(a),sqrt(0.5(1-cos(a),a,0,2)曲线(0.5(1+cos(a),0.5sin(a),-sqrt(0.5(1-cos(a),a,0,2)说明：这种方法本质上也是解方程.这个方程，即可以人工解，也可以类似案例1一样在运算区解.练习2已知圆柱面pqI:Z2+if1,et2:-ri+1,画出eql与eq2的两条相交曲线.2. 2.3绘制曲面上的曲线.案例3知圆柱的高度为2,底面的半径为1,一只蚂蚁从圆柱上的点A（左下角）绕圆柱爬一圈到点B（右上角），你能画出它爬行的最短路线吗.作图分析：将圆柱展开后，找到A,B在展开图的位置，连接A,B,任取AB上一点F,I为AC中点,如图，底面的圆展开后即为AC,设G对应圆上的点的角度参数为,则FGBI=AGAI=a5r,于是FG=akAI=2aM这样就求得了F的高度参数.于是最短路线在圆柱中的参数方程为：TCiYMtAV-sinC2=2a<作图方法；输入指令：曲线(l;a)+(0,0,2a/pi),a,0,pi容易知道，F点的坐标，和圆柱的高度h,半径r,以及A,B两点的角度有关,若B的角度参数为,A的角度参数为0,则容易得到：T-rmeU"*rJiinC用ggb的指令为：Nl线(r;a)+(0,0,ha),aj0,练习3圆锥的底面半径是r,母线长是h,只蚂蚁从点A出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到A点，请推到该爬行路径的参数方程，并绘图.2.4.4 曲线在平面上的正投影.案例4曲线C的曲线方程为：曲线(COS(a),a,sin(a)ja,0,2r),平面的方程为：q1:X+2y+3z=1说明：平面的方程中，把x,y,z的系数1,2,3写出点(1,2,3),即为平面的法向量正，在eql上任取一点A,则以与A的数量积等于平面方程右边的数.平面方程实际上即为：11(xly,z)=A曲线上任意一点P在平面上的投影为B,只需推导出B与P的关系推导：单位法向量由=Pn-vPB,IPBl即P到平面eql的距离，易知IPBl=P4b=p+pb=p-pada作图方法:输入指令：C=曲线(COS(),sin(a),a,0,2)eql:x+2y+3z=1A=pointin(eql)U=法向量eqlv=uabs(u)曲线c(t)+(A-c(t)vv,t,0,2pi2.4.5 曲线在平面上的斜投影.案例5曲线C的曲线方程为：曲线(COS(a),a,sin(a),a,0,2),平面的方程为：eq1:X+2y+3z=1,画出C沿着方向向量V=(1,1,1)在eql上的投影.推导设曲线上任意一点为P,P在eql上的斜投影为B,eql上任取一点A,平面eql的法向量为u,设P+v=B则(P+vu=uA,得=u(A-P)(uv)于是B=P+u(A-P)(uv)vggb作图步骤:C=曲线(cos(),sin(a),a,0,2)eql:x+2y+3z=1U=法向量eqlv=(l,l,l)A=pointin(eql)曲线c(t)+u(A-c(t)v/(uv),t,0,2pi易知当U与V平行时，即为案例4的正投影.2.2.6曲线在平面上的中心投影.案例6已知:d:曲线(CoS(a),sin(a),2,a,O,2),点D(LO,3),曲线d关于D在Xoy平面上的中心投影.分析:基本方法同案例5,区别是方向向量=DP,平面的法向量为(0,0,1),平面上的点A直接取(0,0,0)ggb作图步骤：d=曲线(CoS(a),sin(a),2,a,0,2)D=(l,0,3)曲线(d(t)+(0,0,1)(-d(t)(D-d(t)/(0,0,1)(D-d(t),t,0,2)思考：你能写出任意曲线关于任意点在任意平面上的中心投影吗？圆锥的截面是不是也可以用这种方法得到的？2. 2.7曲线在曲面上的投影.我们可以在曲面上画爱心,五角星，多边形等图形，比如在飘动的国旗上画五角星,在球面上画爱心等.案例6:已知球:J+/+夕-9,爱心的方程:方1-coSft画出爱心在球上的投影.分析:易知Z=/9/-V。(1-cos)aggb指令：曲线(185口)；1：)+(0,0,(5口代(9(1(：05(1：)人2),1：,0,2口1从本例来说，曲线的方程如果是以极坐标的形式给出,那么投影在球上的曲线是很容易些的.案例7已知红旗的曲面方程为：曲而(t,0.2tsin(t-),v,t>0,2,vj0j4/3),爱心的方程:p=lsinfl,画出随红旗飘扬的爱心.我们只要把爱心的X坐标作为参数t,爱心的y坐标作为参数V,并适当调整大小并做一些平移，即可画出红旗上的爱心,ggb的指令：=滑动条(0,pi2)a=曲面(t,0.2tsin(t-),v,t,0,211,v,0,4/3)b=曲线(a(0.5(l-sin(t)cos(t)+2,0.5(l-sin(t)sin(t)+3),t,2pi)TiPS在本题中,爱心的参数方程：i(1iA)c.>y(1Sinj)Si口4可以直接代入，但如果遇到参数方程较为复杂的情况，这样的输入就比较麻烦，比如五角星的方程：b=曲线(0.25(2sin(abs(t-fIoor(t)*72°-36o)+18o)sin(18o);0;72ot-18o),t.>5)那我们在引用时可以采用x(b(t),y(b(t)的方式引用，避免麻烦的输入.所以红旗上的五角星，可以这样输入(已输入过的不要重复输入)：=滑动条(0,pi2)a=曲面(t,0.2tsin(t-),v,t,2,v,0,4/3)b=曲线(0.25(2sin(abs(t-floor(t)*72°-36。)+18o)sin(18o)j72ot-18o),t,0,5)C=曲线a(x(b(t)+l,y(b(t)+3),t,0,2pi要画成实心的五角星，请读者自行思考.此外过于复杂的曲面，曲线与曲面参数的换算关系也会比较复杂，本人不再讨论.I3,绘制曲面的一部分2.1 改变变量的起始值与终止值指令：曲面(2;s;t),s,0,pi2,t,0,pi2得到的就是球面的一部分.这种方法比较简单,但是要求我们必须知道参数的范围,且参数的范围必须是一个区间,对于多个区间的交集并集,都不可以使用该方法，因此有很大的局限性.2.2 两条曲线之间的面有两条曲线a(t),b(t),则两曲线的直纹面可以写为(1-s)a(t)+sb(t).如图:已知A=a(t),B=b(t),设AC=s*AB,由向量的知识,C=A+s(B-A)=(1-s)A+sB,于是C=(1-s)a(t)+sb(t).其中S的范围为O-1.所以直纹面的方程即为(1-s)a(t)+sb(t)此法,相关资料很多,大家可以去看我解读的官方讲座的视频：例如案例1中这个曲面，只要可以写出截面的曲线方程,和底面的曲线方程，即可作出该图.3. 3不等式法(布尔值法)原理:在ggb中,有一种变量类型叫做布尔值，只有true和false两个结果.比如x>l,如果满足则为true,不满足则为false.当布尔值参与运算时,true为1,false为O.这样我们如果把不等式放在分母，则所有true的结果会保留下来,而不满足条件的结果因为分母为O而舍去,这样就达到了限制参数范围的效果，多个不等式还可以用&&(且)和|(或)联结起来使用.3. 3.1平面上(下)方的曲面.窠例8已知椭球面的曲面方程为a:曲面(3COS(三)*cos(t),4sin(s)*cos(t),4sin(t),s,0,2pi,t,-pi2,pi2),平面eql:x+y+2z=l,试画出椭球在平面上方的部分(含相交部分)分析:平面上方的点a(s,t)(含相交部分)满足x+y+2z>=1,于是只要a(s,t)与法向量(L1,2)的数量积大于等于1.指令:a(s,t)=曲面(3COS(三)*cos(t),4sin(s)*cos(t),4sin(t),s,0,2pi,t,-pi2,pi2)eql:x+y+2z=lu=(l,1,2)曲面a(s,t)(a(s,t)u>=l),s,0,2pi,t,-pi2,pi23.3.2开孔的曲面.案例9球面上挖掉一个爱心曲面(4;)/(4cos()>1-cos(a),a,0,2j,(-)/2,/2)说明:4CoS(B)1cos(a)这个不等式的解读:1-CoSa为爱心的极径,即v,2-丁=1cosa,对球来说TAmeaS,1/-Auinar11aB,贝Jv'M=4cos,则爱心外面的点满足4cos()>1-cos(a).练习4在正方形内挖掉一个单位圆,正方形边长为2.3.3.3曲面内的曲面.案例10牟合方盖.已知圆柱a:/u21,圆柱b:/=L画出a在b内的曲面和b在a内曲面.曲面a:曲面(CoS(t),sin(t),h,t,0,2pi,h,1,1)则满足曲J<=L即co2/+h21于是输入指令：曲面(COS(t),sin(t),h(cos(t)2+h2<=l),t>>2pi,h,-1,1)同理,b:曲面(COS(t),h,sin(t),t,0,2pi,h,1,1),满足皿2,4/<于是输入指令：曲面(COS(t),h(CoS(t)2+h2<=l),sin(t)jt,>2pijh4-ljl)注意调整曲面的细节为质量.灵活使用不等式,你能画出更多精彩的曲面.