自主招生讲义(一).docx
第一节函数与方程*多扬领施姓函我是描述客观世系更化规律的重要的救学模曼,高中阶段不仅把函It看成交量之间的依M关系，同H还用集合与对应语言加以由此可以看出.品做是高中数等充要内容.不仅如此，西数还是学习高等数学的基础.品It现象大量地存在我们的固田.与我们的生活息息相关，芝我们认识世界和改追世界的有力的工具.面数的思想方法轿Ir穿高中数学课程的始势.所以近几年的高考与白主招生考试，均把函数部分列为支点考查的内容之一无论足在轨盘上还赴在底量上就占有较大的比例.Q窗鬓:函数求值域求函数最值方法：直接法换元法配方法均值不等式法判别式法单调性法导数法数形结合目标1：换元法(二次函数换元，三角换元，分式型等)例1:求函数f(X)=4-2X2+XyJl-X2的最大值与最小值.(x-4)2V2X2y22：已知t4+=1,则彳+看的最大值为C25例3：设a>O,且函数f(X)=(a+cosx)(a+sinx)的最大值为一，则2a=例4：己知4x-3y-5=0,那末(X-1)2+(y-3»的最小值为例5：已知对任意X均有acosx+bcos2x>=-l恒成立，求a+b的最大值例6：函数y=2x+l-2x的最值为o目标2：数型结合型g41+sinXAAa”士日例8：求y=-的最大值是.2+cosX例9：求函数f(x)=M-3x26x+13J4-X2+1的最大值。例10：设X=(OP-),则函数(Sin2+)(cos2×÷)的最小值是2sin2cos2×2-3x+4例11：求函数y=；的值域。2+3+4例12：求函数y=(v,f1+X+1X+2)NT×2+l),x0,l的值域。例13：A、B为y=1x2上在y轴两侧的点，求过AB的切线与X轴围成面积的最小值.例14.y=×+f-,x+l+1汜JhI且2x+y=1，则22+16x+3y2的最小值为J927A.2B.3C.7D.13例15：函数y=x+,×23x+2的俏.域为.绝对值函数例1（2022北大）求£仪）=口-1|+|2乂-1卜+|2022乂-1|的最小值例2,设实数a使得不等式2x-a+3x-2aNa2对任意实数X恒成立，则满足条件的a所组成的集合是（）r111r1Jr1jrA.-,B.-x4-C.-,TD.-3,3332243例3、设一IVXV2,则IX-PW卜卜X+R的最大值与最小值之差为1例4、求X的取值范围使得f（X）=IX+2+x+x-1是增函数;Q翼至$函数的零点个数孤晟也我1.力程的根与函数的考点：(1)对于函1P(X),我们把使/()0的实数叫做函数y()的零点.(2)方程X)。有实数根O函数)(x)的图象与X轴有2点o函数INFc)有零点.(3)零点存在定理：如果>(x)在区间®6上的图象是连续不断的一条曲线，并且/()S)那么函数J=W在区间(%b)有零点,即存在cw(.b).tt(c)-0.这个。就是方程/(x)-0的根例题1：74.(2008,复旦)方程卜-寸r如-=1W()解A.一个B.两个C.三个D.四个例题2：2.(200.交大)已知函数/U)Nar'*bx*c(o*0)且/(x)="&再实数根.，么/(/(幻)NX是否Ir买敷松？并证明你的绘论.例题3：78.2008,复旦)方程3M-C=0的实根是：()A.不存在B.有一个C.有两个D.有三个例题4：6.<2004.交大)已知1M。4亚则方程4a2-x2=JS-IM的相异实根的个数是例题53. （2007,交大）设>0且。工1,则方程'1=-X2+2x+2的H的个数为.例题6：66.（2008.更且）已知关于、的方卷x（-2）x-3坨2a0有两个不同的实效慢,则系la的取值范BB是（）A.>0VHa-2B.a<0C.as2或a>0D.a-2例题7：4. （25.复旦）在实象范网内求方程：*1O+y+V7-=3的实敷根.例题8、求a+11x+2+v'x+27-10TT=1的实数根的个数；（无实数根）直通自主考试：清华大学联盟2022年自主招生部份笔试真题1、复数z<1,Iz+-=2,求IZl=I222、正四棱锥P-ABCD,M、N分别是APzBP中点线DM,AN夹角余弦值()3、f(X)=X3X2-2X+1,点(-1,1)而切点不是(一1,1),切线斜率()24、角A+B=n,C0S2A+8S2B的最值。35、异面直线I,I的夹角60°,过定点M有几个平面与I,I都成45°12126、a=(1,0),b=(-/-)/c,一1LKd+V，二？=(1,1).求2222X2+y2+Z2的最小值。7、抛物线Y2=4x焦点F,线AB过F点，原点。,抛物线准线与X轴交点C,NOFA=130°,求tanZACB8、角线ABC不是直角角形，试证明：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC9、一个圆柱杯其瓶底以及瓶壁厚度忽稍不计，质量为a,重心在圆柱中辅线中点上，向杯中倒入质量为b的水，恰好倒满此时杯和水整体的重心，还在圆柱中轴线中点上；(l)b=3a,倒入少的水，重心距杯底高度与杯高度的比值；2(2)倒入多少水时，整体重心最低？】。、从悬/""01，求其通项公式。二yj(a,b>)11,双曲线a2b2摆布焦点Fl、F2，右交上一点P,NFPFJ,SPFF=123,23T求其离心率。12,掷n次硬币，记不连续浮现n次正面向上概率为Pn(1)求P1>P2、P3、P4(2)求P鹤推公式，Iimp和它的统计意义；直通高考：1 .方程e-=nX的两个根为X,x,则1112A.XX<OB.XX=1C.XX>1D.O<XX<1121212121-LX>0；2 .函数f(X)是定义在R上的偶函数.若当X>0时，f(x)=(Xlo,x=o.当O<a<b时，若f(a)=f(b),则ab的取值范围.2 2).若关于X的方程f2(x)+bf(X)+c=O有7个不同实数解，则b,c满足的条件3 .已知O<a<1,则方程aw=logX|的实根个数为n,且(X+1)+(x+1)na=a+a(x+2)+a(x+2)2+a(x+2)w+a(x+2)n,则产=()A.9B.-10c.11D.-124 .方程cos2X-sin2X+sinx=m+l有实数解，则实数m的取值范围是()A.m共_b.m>-3C.m>-D.-3共m共一885 .(本题20分)解三角方程：asin(x+=sin2x+9,a为一实常数.6 .设函数f(X)满足2f(3x)+f(2-3x)=6x+1,则f(X)=.1 17 .设a,b,c均为实数，且学=6b=4,则-二.ab8 .设a>0且a丰1,则方程a+1=-2+2x+2a的解的个数为.9 .复数IZI=I,若存在负数a使得Z2-2az+a2-a=0,则a=.10 .(本题满分12分)设函数f(x)=InX-px+1(1)求函数f(X)的极值；当P>0时，若对任意的X>0,恒有f(X)共0,求P的取值范围;In22In32Inn222-n-1(3)求证：+.+<2232n22(n+1)511 .已知函数f(x)=,m为正整数.5+5(I)求f+f(0)和f(x)+f(1-X)的值；(II)若数列a的通项公式为a=f()%=1,2,.,m),求数列a的前m项和S；n11mnml11(HI)设数列b满足：b=_,b=b2+b,设T=+.+,n12n+Innnb+1b+1b+112若（三）中的S满足对任意不小于3的正整数n,4S<777T+5恒成立，试求mmm的最大值.12.设函数f(x)=sinx+ICoSx,试讨论f(x)的性态(有界性、奇偶性、单调性和周期性)，求其极值，并作出其在0,2九内的图象.
