黄金分割法,进退法,原理及流程图.docx

黄金分割法的优化问题(1)黄金分割法根本思路：黄金分割法合用于b区间上的任何单股函数求极小值问题，对函数除要求“单谷外不做其他要求，甚至可以不连续。因此，这种方法的适应面非常广。黄金分割法也是建立在区间消去法原理根抵上的试探方法，即在搜索区间a,b适当插入两点al,a2,并计算其函数值。al,a2将区间分成三段，应用函数的单谷性质，通过函数值大小的比较，删去其中一段，是搜索区间得以缩小。然后再在保存下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，是搜索区间无限缩小，从而得到极小点的数值近似解。(2)黄金分割法的根本原理一维搜索是解函数极小值的方法之一，其解法思想为沿某一方向求目标函数的极小值点。一维搜索的解法不少，这里主要采用黄金分割法(0.618法)。该方法用不变的区间缩短率0.618代替斐波那契法每次不同的缩短率，从而可以看成是斐波那契法的近似，实现起来比较容易，也易于人们所承受。黄金分割法是用于一元函数AX在给定初始区间b搜索极小点*的一种方法。它是优化计算中的经典算法，以算法简单、收敛速度均匀、效果较好而著称，是许多优化算法的根抵，但它只合用于一维区间上的凸函数同，即只在单峰区间才干发展一维寻优，其收敛效率较低。其根本原理是：依照“去劣存优原那末、对称原那末、以及等比收缩原那末来逐步缩小搜索区间。具体步骤是：在区间ab取点：al,a2把a5b分为三段。如果NaI)>矽2),令蛇al9al=a2=a+产(ba)；如果出al)<fi2),令b=a2,a2=alR=b产(ba),如果(ba)b和I(yl-y2%2都大于收敛精度重新开场。因为4为单峰区间，这样每次可将搜索区间缩小0.618倍或者0.382倍，处理后的区间都将包含极小点的区间缩小，然后在保存下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，将使搜索区a,b逐步缩小，直到满足预先给定的精度时，即获得一维优化问题的近似最优解。黄金分割法原理如图1所示，(3)程序流程如下:4实验所编程序框图doublecalc(double*a,double*b,doublee,int*n)doublexl,x2,s;if(febs(*b-*a)<=e)s=f(*b+*a)2);elsexl=*M).618*(*b-*a);x2a+0.618*(*b-*a);i赋xl)>Kx2)*a=xl;else*b=x2;*n=*n+l;s=calc(a,b,e,n);)returns;)main()doubles,a,b,e;intn=0;SCanfCS=CalC(&a成b,e,&n);PrintfV'a=%Kb=%s=%=%drwb,sM;)5程序运行结果如以下图:2进退法(1)算法原理进退法是用来确定搜索区间(包含极小值点的区间)的算法，其理论依据是：f()为单谷函数(只有一个极值点)，且a,b为其极小值点的一个搜索区间，对于任意x,xa,b,如果f(x)<f(x),那么a,x为极小值的搜索区间，如果12122f(x)>f(x),那末X,b为极小值的搜索区间。121因此，在给定初始点X,及初始搜索步长h的情况下，首先以初始步长向前搜索一步,O计算f(x+h)°O(1)如果f(x)<f(x+h)OO那末可知搜索区间为X,X+h,其中X待求，为确定X,后退一步计算f(x入h),OO入为缩小系数，且0<入<1,直接找到适宜的入,，使得f(X入.h)>f(X),从而确定搜OO索区间x一入h,X+hoOO(2)如果f(×)>f(×+h)OO那末可知搜索区间为x,X,其中X待求，为确定X,前进一步计算f(X+入h),入为OO放大系数，且入>1,知道找到适宜的入,，使得f(x+h)<f(X+入*h),从而确定搜索OO区间x,X+入h。OO进退法求极值根本思想：对f(X)任选一个初始点X及初始步长h,通过比较这两点函数值的大小，IO确定第三点位置，比较这三点的函数值大小，确定是否为“高一低一高形态。算法原理1 .试探搜索：选定初始点X,X2=X+h(/计算丫=敢)，y2=ftx2)(a)如y可；转2向右前进；(b)如y；y；转3向左后退；图&12 .前进搜索加大步长h=2h,产生新点XX'+2心；(a)如丫2勺3那末函数在X，X3必宥极小点，令a=x,b=X3搜索区间为a,b；(b)如y>y,令X=XJy=y；x=x,y=y；2323h=2h重新构造新点x=+h,并比较y、y的大小，直到yvy322323.图823 .后退搜索令h=-h,令X=x,V=V：x=x,V=V；X=x,y=y；h=2h；O313112122323产生新点X=X+h；32(a)如y<y那末函数在x,x必有极小点，令a=x,b=x,搜索区间为23,133I®b(b)如y>y,23令X=x,y=y；X=x,y=y；h=2h12122323重新构造新点x=x+h,并比较y、y的大小，直到y<y令a=x,b=x,322323.搜索区间为a,b;图83(2)算法步骤用进退法求一维无约束问题minf(x),xR的搜索区间(包含极小值点的区间)的根本算法步骤如下：(1)给定初始点X(O),初始步长h,令h=h,x(D=X(O),k=0；。0(2)令x(4)=X+h,置k=k+1；(3)假设f(4)<f那末转步骤(4),否那末转步骤(5)；(4)令X(2)=X，X=(4,f(x(2)=f(1),f(1)=f(×(4),令h=2h,转步骤;(5)假设k=1,那末转步骤(6)否那末转步骤(7)；(6)令h=-h,X(2)=X(4),f(x(2)=f(x(4),转步骤(2);(7)令X(3)=X，X=X，X=X(4),停顿计算，极小值点包含于区间X(1)5X(3)或者X(3),Xd)(3)算法的MATLAB实现在Matlab中编程实现的进退函数为：minJT功能：用进退法求解一维函数的极值区间。调用格式：minx,maxx=minJT(f,x,h,eps)其中，f：目标函数；x：初始点；h0：初始步长；ps：精度；minx：目标函数取包含极值的区间左端点；maxx：目标函数取包含极值的区间又端点。进退法的MATLAB程序代码如下：functionminxjaxx=minJT(MW,q)s)%目标函数:f;%初始点:x0;%初始步长:h;%精度:eps;%目标函数取包含极值的区间左端点:minx;%目标函数取包含极值的区间又端点:maxx;fbrmatlong;ifhargin=3eps=1.0e-6;endxl=x;k=0;h=h;while1x4=xl+h;%试探步k=k+l;f4=subs(f,fmdsym(f)4);fl=subs(f,findsym(f)1)；ifl4<flx2=xl;xl=x4;f2=fl;fl=ft;h=2*h;%加大步长elseifk=lh=-h;%反向搜索x2=x4;f2=ft;elsex3=x2;x2=x1;xl=x4;break;endendendminx=min(x13);maxx=x1+x3-minx;formatshort;流程图如下：