微分方程数值解法（李荣华3版）第二章习题答案（大）.docx

第二章习题课(2007.4.28)习题L求两点边值问题1.uu4u=Zsin,0<工<1,42(1.1)u(0)=0,(1)=0的线性有限元解函数(区间等距剖分成2段或3段)，要求在计算总刚度矩阵和总荷载向量时，所涉及的定积分用两种方法：1 .精确求解；2 .用中矩形公式近似计算。解：第一步：写出原问题(Ll)的等价变分形式(基于虚功原理)试探函数空间和检验函数空间均为：H1e(I)=uu三Hl"3)=0.在(Ll)的第一个式子两边同时乘以检验函数空间H()中的任意元素再在区间/=(0,1)上积分，可得2(1.2)-uttvdx+uvdx=2sinvdxJoJo4Jo2其中fl分部积分fl-yuttvdx-utvdx-vut0=ufvfdx-v(l)wr(l)-v(O)wr(O)j0(1.3)=ufv,dxJo将(1.3)代入(1.2),可得21J。(M+-uv)dx=2Jsinvdxq(4,v)=/)('/+wvXx小）= 2j；.x ,sin vdx2则可以得到原问题（LI）的等价变分问题:求沙"：（/）,使得=/(v),PVeHTE(I).(1.4)第二步：线性有限元空间的构造1.网格剖分（这里以等距剖分3段为例）2. 一次Lagrange有限元空间的定义3. V=uh三C(Z):uhe三Pxeii=L2,3,%(O)=O.4. 1.agrange节点基函数的构造xf3x,必(X) = < 2-3x0,在别处31圾(X) = V 3-3x,0,rl 2在别处3x 2, A(X)= <0,在别处4.空间Vf中元素的（整体）表示记 ul=uhxi z =1,2,3,则对有3劭(X)=Z必(x)(15)7=1第三步：写出线性有限元方程将原变分问题(L4)中"(/)的试探函数子空间和检验函数子空间均取为匕"，则可以得到原问题(Ll)的近似变分问题：求%”,使得aM%)=f(%),VyhGVL(1.6)利用(L5)并将Vh取为4(x),i=l,2,3则上述近似变分问题等价于求”1，”2,”3£R,使得3O(Z勺a，4)=/S)£=1,2,3；=13OEa(I)V(I)JUj=以岭,i=l,2,3J=I3O£a,()j)Uj=i=,2,3J=I写成矩阵形式AU=b其中(AM)(A,0)a（,J。（。2,。2）（。2,A）a电,归。（。3，。3）w1U=U2_3其中（a）精确求解/()b=f2)/W以"Si,必）和/®）的计算为例：2M)=£Ka)2+亍婿9=J三2÷-=p32+Jo42 21+aw2+-13 422(3x)2心+R(3)2+(2-3x)2d=.-1T（。1，4）=。（。2，。）=，Q（O1，。3）=。（03，01）=，。（。2，圾）=。（。2，。3）=（。3，。2）=，。（。3，。3）=/S)=2sin=2PSinJoxxdx2(x)dx+2psin(2-3x)dx=（b）中矩形公式近似求解bc+b,g(x)公"S4)g(-r)以a3,j和以G)的计算为例：(如域)：32+"(3!)2+4(_3)2+"(2_3£)2346342z?O1/Cn、1/C乃、二一(9+)+-(9+)3163162TC1=-(9+-)316/(4) 2 sin2 .=sin3 11(3) + 2-sin263 2 . +sin 24 381兀-1一(2-322习题2.导出下面边值问题rd/du、.f1.u=(P)+qu=九a<x<bdXdX(2.1)u(a)+axu(a)=x,u(Z?)+a2u(b)=?的线性有限元方程。解：第一步：写出原问题（2.1）的等价变分形式（基于虚功原理）试探函数空间和检验函数空间均为:H'(I),I=Mb).在（2.1）的第一个式子两边同时乘以检验函数空间/（1）中的任意元素再在区间/=3份上积分，可得Sbddllfbrb(2.2)-(P)vdx+quvdx=fvdxJeldXdXJaJ。其中-C-(p-)vdxJadxdx分部积分,b,=puvdx-pvuJafib=puvtdx+p(a)v(d)u,(a)-p(b)v(b)u,(b)a=IPUVdX+pdvdx-axud)-p(b)v(b)0?-%(/?)(2.3)将(2.3)代入(2.2),可得b(pu,v,+quv)dx+a2PS)HS)VS)-a,p(a)u(a)v(a)arb=找dx+zP(b)v(b)-p(a)v(a)记af,a(,v)=I(puV+quv)dx+a2p(b)u(b)v(b)aip(a)u(a)v(a)Cb/(v)=WdX+2P(b)v(b)-p(a)v(a)则可以得到原问题（2.1）的等价变分问题:求"(),使得(2. 4)("#)=/(V),VvH1()第二步：线性有限元空间的构造1 .网格剖分给定/的一个任意剖分：a=x0<xi<-<xn<xn=bX0xlx2yn-lXn记第i个剖分单元ei=xi,xi,4=七一七T为第i个剖分单元的剖分步长。2 .一次Lagrange有限元空间的定义V=mC(7):%L，G片(令),i=1,2,.4.Lagrange节点基函数的构造X1X-XqI,xa<x<x(I)O(Q=<%0,在别处x-xi-/-,X.<x<Xi17LlIhiXX-%)=<1-二XiXXi+l%0,在别处当<x<Z在别处4.空间M中元素的表示记Ui=Uh(X)，i=°/，2,，则对勾V",有Uh(X) = EUjG(X)J=O(2. 5)第三步：写出线性有限元方程将原变分问题（2.4）中"（）的试探函数子空间和检验函数子空间均取为V",则可以得到原问题（2.1）的近似变分问题:求Uz,使得。（以，乙）=/（乙），wzey(2.6)利用(2.5)并将L取为4(x),i=0,1,2,则上述近似变分问题等价于求0，4”2，三R,使得"/j,6J=f(j,i=0,l,2,侧)*)%=f3),i=0,l,2,a(i,j)uj=f(iz=0J,2,J=On7=0nJ=O写成矩阵形式AU=b其中。（。（）,4）。（4）,必）a（G）O（落裔）（如4）a（vn）(或M)a电,(I)D(裔，裔)，+i)xgi)“0f(°)/M)f(n)习题3.导出非齐次两点边值问题,d/du、r11.u=(P)+qu=九a<x<b(3. 1)dxdxU(O)=a,ur(Jb)+3u(b)=的线性有限元方程组。解：方法一：先将两点边值问题（3.1）齐次化。令VV（X）="（X）-a,则原非齐次两点边值问题变成如下齐次两点边值问题：rd.dwxr11.w-(P)+qw=J-ocq.a<x<b<dxdx(32)w(a)=O,w,(b)+w(b)=/-a方法二：分三步来导出两点边值问题（3.1）所对应的线性有限元方程组。第一步：写出原问题（3.1）的等价变分形式（基于虚功原理）试探函数空间：U=uueH（/）,u（a）=a检验函数空间：V=vvH1（）,v（a）=O）在（3.1）的第一个式子两边同时乘以检验函数空间V中的任意元素y,再在区间/=（区。）上积分，可得PbddtlPbPb(3.3)-一(P)vdx+quvdx-ffvdxjadxdxJaja其中chddu分部积分rbl£-p-)vdx=puv,dx-pvu,=putv,dx-PS)y(b)u'(b)=puv,dx-p(b)v(b)一u(b)JaSb=puv,dx-Ps)VS)+p(b)u(b)v(b)Ja'(3.4)将(3.4)代入(3.3),可得f(pufV+quv)dx+p(b)u(b)v(b)=ftfvdx+p(b)v(b)JaJaaa(u,v)=(pu,vr+quv)dx+p(b)u(b)v(b)</(v)=£fvdxp(b)vb则可以得到原问题(3.1)的等价变分问题：求4U,使得au.v)=f(yvV.(3.5)第二步：线性有限元空间的构造1 .网格剖分给定/的一个任意剖分:a=x0<xi<<xn_<xn=bIlllI%xlx2Fn-IXn记第,个剖分单元ei=%-1，Xi，hi=Xi七_为第，个剖分单元的剖分步长。2 .一次Lagrange有限元空间的定义5. Ub=UhC(7):uhePi(eiZ=1,2,.,n,ult(d)=2；%=以C(7)vhe三6(,),i=1,2,凡vh(a)=O.6. 1.agrange节点基函数的构造1 -,x0XX1。0(X)=<%O9在别处-¾-4() = <hix-xiO,% i七 xx* 在别处ZT X%在别处Xfl裔(%)=<hHO9、4.空间U"中元素的表示记ui=uh(xi)jI=0,l,2,则对D%三U”,有即(X)="必(%)=a0(X)+Zujj(X)(36)7=07=1.第三步：写出线性有限元方程在原变分问题(3.5)中取U”为试探函数子空间，片为检验函数子空间，则可以得到原问题(3.1)的近似变分问题：求UheU卜,使得a(4,%)=f(Vh),PVheVL7)利用(3.6)并将Vh取为4(X),i=l,2,，则上述近似变分问题等价于求对，"2，"三H,使得(°o+Zjj,0)=/(0),z=l,2,.,7=1一。a»j(/>j，G)=ja)-aa电,j,i=l,2,.11J=IOZa3j,¢)1Ij=f(i)-aa(t>0,i),，=12/j=l。ZCISi，ZM=)-aa(a,),，=1,2,/j=写成矩阵形式AU=b其中a,ja®归QMM)。(我,。1)。(0,。2)。(。2助)A=,Ux(-,0)a(n,2)an.n)jj-aa(o,jf(D./(以)习题4.设是两点边值问题_d/du、r71.u(P)+qu=j,a<x<b<dxdx(4)u(a)=O,u'(b)=O的二次连续可微解。试证：线性有限元解即一致收敛到，且收敛阶为O(Zl)o证明：因为解“二次连续可微，所以由教材P.4L的(2.2.12)仙一/1。川"1)(4.2)利用u(a)-uh(a)=O9对Vx勿，有x('一力)dt(4.3)Cl因此W(X)-以(x)M-MwJluf-u,hbcz,x/,2y/2(SChWarZ不等式)(jI2Aj2J|/一叫公1(b2、1/2=S-一dxS-)5"%"(4.4)由(4.2)和(4.4)知W(X)如(x)C(Jy-d)20/z=O(Zz).习题5设ueCb是如下变分问题(",v)=(,v),v三Hi的解，其中z.adudv.a(u,v)=paxJadxdx(/»=：小公试证：u的二次元解yfE满足如下估计式II"T c叫叫Ioo(5. 1)"-"JI0 c7HWIL(5. 2)证明：首先证明估计式(5.3)。由第一章定理4.1(P.24),我们有就i%一端vvgve特别地，有M-端WCM-端(5. 3)其中，"/(x)%为(x)的分段二次插值多项式，它在第i个单元4=Xj上是由(七.1)，履历T/2)，“(毛)共同确定的二次插值多项式。Xi-Ixi-i2Xi下面估计|"一",为此先分别估计Mi儿，|“一说h1.估计II"的II。.因为Ca,b,由插值多项知识（见数值计算方法傅凯新，黄云清，舒适，P.25.定理2）,可知当X4=xi,vxii存在一个4Ej=X5%,使得C)(%)-U1(%)=-(X-XjTXX¾z2)(x-xi)(5.4)从而有”(J)u(x)-ul(x)=3(yf)(Axi-2)(X-Xj)(5.5)(5.6)4WL*叩T由(5.5)可得/一对Ih=J；I”(X)一/(X)FdXC7(3)2rIl8JXjT利用(5.6),有MT：=£M()-%(X)h=1cN/以"C(b-a)h6MIj6r:即U-UjnCh3II”。IloO2估计/一叫.在第个单元A=¾pz上，令ex)=u(x)-u1(x)显然e(x,)=e(XI/2)=e(x,)=0由Rolle定理知,存在W七一1，九1/2'42e得ef(1)=e2)=0(5.7)(5. 8)(5.9)3-1/2,尤J使(5. 10)e (X) = J e"(t)dt(5. 11)于是有由(5. 11),有xX e”(t)dt < hi erf84(5. 12)注意到(5.10),再次利用Rolle定理可知,存在九幺，使得e"()=0于是有e"(%)=JJ"”(5.13)由(5.13),有,X，力加凹L/(5.14)由(5.12)和(5.14),可得eXx)hehn=huVxJ因此一力2=f；Iu,(x)-ur1(x)2dxOJiJ%(5.15)由(5.15),可得M-叫-叫Z=I4ktC,=(b-a)h4ww2即IM-矶WML(5.16)由(5.7)和(5.16),我们就有IIm-uIL=7m-m/Ilo+IIm-mJIoch2IIm<3)IL(5.将(5.17)代入(5.3),就证得了IiLqL最后，我们利用NitSChe（尼采）技巧（对偶论证法），给出误差函数在乙2范数（0模）意义下的误差估计式：WT0叫"L具体作法如下：首先引入辅助函数W（X）£“）（/）,它满足（匕VV）=u-Uh,vv三Hxe（5由引理6（见第二章课件），有特别地，在(5.18)中取V=U-Uh,则2_wJIo=(_uh，u-以)=QQ_uh，VV)=a(u-Uh,VV)-a(u-uh,W1)=a(u-uh,w-wj)(5. 20)cw-wJ1.m-wa1c(44)网，)L)将(5.19)代入(5.20),就证得了MihCTrM)L引理6设f,qeC(I),peC'(I),pPmin>O,q>0,/=。2,函数W(X)满足一;(PeX)半)+久九)W(X)=/(x),xe(a,b)<axClXw(a)=0,MS)=0则做X)C2(),且满足klc0