数列通项与求和常见方法归纳.docx

数列通项与求和常见方法归纳一、知能要点1、求通项公式的方法：(1)观察法：找项与项数的关系，然后猜想检验，即得通项公式斯;(2)利用前项和与通项的关系出=°CCI，一n>2;(3)公式法：利用等差(比)数列求通项公式；(4)累加法：如为+一%=/()，累积法，如誓=逃)；(5)转化法：+=Aa+B(AO,且Al).2、求和常用的方法：(1)公式法:(+)n(n-l)!-=nal+dnaxq=)SLMIT)(小)-q(2)裂项求和:将数列的通项分成两个式子的代数差，即，然后累加时抵消中间的许多项.应掌握以下常见的裂项:n(n+k)knn+k11Iz111111111<=(-);=<V=k2k2-2k-A+lkk+(k+)kk2(k-)kk-k1Ir11=-LJ(w+l)(+2)2(i+l)5+1)5+2)=2(Vw-Vw-1)错位相减法:如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法(这也是等比数列前n项和公式的推导方法).倒序相加法:若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这是等差数列前n项和公式的推导方法).(5)分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.二、知能运用典型例题考点1:求数列的通项题型ia”+1=%+/（）解法：把原递推公式转化为凡川-氏=/（），利用累加法（逐差相加法）求解。【例1】已知数列%满足q=L,q+=+/_,求明。2n+n解：由条件知:1111I一=.|=n2+n（+1）nn+1分别令=1,2,3,（/1-1）,代入上式得S-I）个等式累加之（。2-）+（。32）+（。4%）+（。一an-）=0-÷-÷4-+（-7-）22334n-n所以-at=1-n11113112"2n2n题型2an+l=f（n）an解法：把原递推公式转化为乎=/（），利用累乘法（逐商相乘法）求解。【例2】已知数列%满足q=2,an+l=-an,求4。/7/7解：由条件知3 =% +13+123n分别令k=L2,3,代入上式得（一1）个等式累乘之，即 q a2 a、-=-×-×-××-=>l=-又=2,2.i234nain3题型3“+=P/+q（其中p，q均为常数，且Pg（P-I）W0）。解法（待定系数法）：转化为：an+l-t=p（an-t）,其中/=一”，再利用换元法转化为等比数列求解。I-P【例3】已知数列%中，a1=1,an+l=2an+3,求明。解：设递推公式。T=24+3可以转化为an+l-t=2（。.T）即=2/T=P=-3.故递推公式为4+3=2（凡+3）,令勿=凡+3,则仇=6+3=4,且媪=加口=2.所以也,是以仇=4为首项，2为公bn4+3比的等比数列，则2=42”=2间,所以勺=2向一3.题型4=%+/'（其中p,q均为常数，且网（P-D（D0）<>（或。“+1=P4+f,其中p，q,r均为常数）。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以qi,得：¾='N+L引入辅助数列也其中2二&）,得：='2+工再待定系数法解决。qq【例4】已知数列%中，ai=-,all+l=-afl+(-Y+lt求明。632解：在4=>严两边乘以2日得：2,+,+i=(2h)+122令2=2”%，则%=曰“+1,解之得：=3-2(一)所以喙=3(；)-2(上题型5递推公式为S与%的关系式。(或s“=/&)解法：这种类型一般利用/=:c/:与=S,-S,-=/4)/(%)消去S”52)5-ST(n2)或与S11=f(Sn-S“t)52)消去册进行求解。【例5】已知数列%前n项和S”=4一。一产.(I)求凡川与明的关系；(2)求通项公式*.解：(1)由5=4-。“一Jy得：Stl+l=4-aw+1-r于是sn+-sn=一+)÷(一3)的、I111所以%+=-a+i+手7="+】=5%+f(2)应用题型4(=%+/,其中p,q均为常数，且P4(P-1)0I)WO)的方法，上式两边同乘以2向得：2向。向=2”4+2由勾=5=4-6-*=6=1.于是数列匕Zj是以2为首项，2为公差的等差数列，所以2%=2+2(n-l)=2n>all=题型6an+l=parn(P>0,>0)解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为川=+q,再利用待定系数法求解。【例6】已知数列凡中，4z1=l,an+1=-(tz>0),求数列%的通项公式。a解：由。用=-a两边取对数得Igan+1=21g÷lg-,aa令=lg%,则仇舟=22+修4，再利用待定系数法解得：an=a(一)2n-aa考点2:数列求和题型1公式法【例7】已知4是公差为3的等差数列，数列也J满足仇=1也=；,。也的+力泡=.(1)求”的通项公式；(2)求也的前"项和.解：(I)依题0岳+岳=6，b=,b2=-,解得=22分3通项公式为cjm=2+3(2-1)=3«-16分(2)由(I)知3仇+尸儿，+=n,所以与是公比为"的等比数列.9分1-(5”31所以瓦的前项和S产一一=二r.12分122x3”T3题型2裂项求和【例8】S11为数列。的前项和.已知an>0,+2alt=4S+3.求,的通项公式；(2)设0"=!,求数列2的前n项和.4%解析：()an=2n+；由知,bn(2n+ 1)(2«+ 3)2/1 + 3所以数列地前n项和为4+叱÷4-+4h+)V一焉题型3错位相减求和【例9】已知数列上和也满足,1=2,fe1=l,azr+1=2an(nN*),4+：%+!&+=0+|7(nN').23n(1)求凡与包；记数列«也J的前n项和为Tn,求7；.解析：(1)由q=2,%+=2qt,得。“=2".当=1时，h=Z?2-1,故=2.当2时，-bll=bn+l-bn,整理得出二丝L所以"二.(2)由(1)知，a也=n2"所以=2+222+323+622,=22+223+324+(n-l)2+n2+,所以7；-27；=-7；=2+22+23+2”-2向=(1一般)2向一2所以7；=(-1)2角+2.题型4分组求和【例10已知小是等差数列，满足m=3,04=12,数列瓦满足6=4,力4=20,且儿一4为等比数列.(1)求数列小和九的通项公式；(2)求数列瓦的前项和.解：(1)设等差数列为的公差为人由题意得,a4a123d-=3.所以fl=+("-l)d=3"(=L2»设等比数列儿一小的公比为小由题意得,b4-a420-12解得4=2.er=7=o8“ba43所以bn-an=(b-a)qnl=2nl.从而d=3+2"一2,).(2)由(1)知儿=3+2”r(=l,2,).312m数列3的前项和为数列2"L的前项和为1义不工=2-1,3所以，数列4的前项和为乎(+1)+2”一L三、知能运用训练IS1、(1)已知数列“中，ai=2iall=atl,l+2n-(n2)t求数列的通项公式；(2)已知S”为数列4的前项和，1=1,Sn=n2all,求数列/的通项公式.【解】=q=2,rt=%+2n-l(n2),/.an-an_x=2n-l4=(凡一I)+(%一%)+(%-2-an-3)+(。2)+4=(2-1)+(2-3)+(25)+5+3+1=涯=2.q=l,S“=/”，.当2时，Sw-1=(n-I)2a-l.alt=Sn-SnI=n2an-(n-l)2tzn1=>乌-./InW-Inv/1-114n+1.C一anan-%-2%a2,_T-2一3212“an_an_2an_3a2axn+n-143n(n+1)2、己知数列%中，q=l,4角=24+3,求数列勺的通项公式.【解】Y4+=2rt+3,aaz,+1+3=2(an+3).2+3是以2为公比的等比数列，其首项为q+3=4.4+3=4X2w,=>%=2n+,-3.3、已知数列勺中，a1=l,art+1=2aw+3rt,求数列4的通项公式.【解】.=2%+3",.爱=含+/，令费r=H则+1-=()%H=S”一%)+(%-2.2)+(优-A)+4=()n-1+()-2+(r3÷+()2+÷=2×(r-2azj=3w-2n4、已知S为数列“的前项和，Sn=3atl÷2(«V+,w2),求数列,J的通项公式.【解析】当=1时，1=S1=31+2=>1=-1,当2时，为=S-SZlT=(3/+2)-(3%+2).2all=3an,l=>=!J2.。是以为公比的等比数列，其首项为=-,5、已知数列4中，G=IR向=3%+3，求数列明的通项公式.【解析】%+=3+3",.黄=含+1,令含=切数列h是等差数列，=l+l(-l)=n,.,.an=n3,.6、己知数列4中，1=Ka2=2,0=aM_,+1«_2(n3)f求数列4的通项公式.122【解】由。”铲"T+铲-2得an-an,x=-(an.l-all_2)(n3)9又4-6=1=0,所以数列Ln-%是以1为首项，公比为一的等比数列,勺=(凡一。-1)+(41-a*2)+(an_2-an_3)+(生一)+6=(-)-2+(-r3+÷(-)2+(-)+=_3(_2.55(3)7、已知数列ql是首项为正数的等差数列，数列.Q的前项和为2n + 求数列的通项公式；设=(¾+1)2",求数列低的前项和7；.【解析】(1)设数列q的公差为d,令=1,得一!一=,所以42=3.aa23112令"=2,得÷=-,所以出名=15.解得q=l,d=2,所以可二2-1.ala2a2a35(2)由知"=2小22-二.4",所以7；=1.41+242+64",所以47；=l42+2d+(w-l)4n+w4n+,两式相减，得一37；=4'4?+.+4"-4向二"二口匕即XK土所以丁二即-J+(3I31-433"9998、已知数列斯的前项和Sf=L受，N*.(1)求数列%的通项公式；设bn=2tln+(-1),求数列儿的前2n项和.解：(I)当=1时，i=Si=1;当 n2 时，an=Sn-Sn-n./户+4(/21)2+(n1)22故数列%的通项公式为=.由知,乩=2"+(1)".记数列瓦的前2项和为7,则%=+22+22")+(1+23+4+2).记A=2+22+.+2叫B=T+23+4+2%贝 IJA =2 (1-22z,)1-2=22m+1-2,8=(I+2)+(-3+4)+(2-1)+2=.故数列儿的前In项和T2=A+8=2211+一2.9、已知数列q的前项和S,产3层+8%也是等差数列，且4="+%.(1)求数列0的通项公式；(2)令Cft=；：；.求数列cn的前项和Tn.解析：(1)由题意知当2时，an=Sn-5_1=6n+5,当时，l=S1=11,所以=6+5.设数列的公差为d,由<% = a + b2。2 = 4 + &II=纥+d即11,可解得2=4,d=3,17=2/?,+3d所以a=3+1.由知Q=詈篝=3(的”"，又,=G+。2+。3+C”，7；,=3×2×22+3×23+4×24+(h+1)×2,+1,2Tft=3×2×23+3×24+4×25+(n+l)×2,1+2,两式作差，得7；=3x2x22+23+2l+2'川-(+1)×2,+2=3x4+嗡L(+1)x2所以,=3"2z=-3n-2n+210、等比数列,的各项均为正数，且26+3。2=1,。；=9%。6(1)求数列凡的通项公式；(2)设bll=Iog3+Iog3a2+Iog3an,求数列,J-，的前项和.IAJ解析：(1)设数列a11的公比为q,由二9为%得£=9而所以“2="。由条件可知2>0,故“=2_。由24+3%=1得2q+3Wq=1,所以W=故数列a11的通项式为an=-。3133“(2)bn=Iog3a+Iog3a2+.+Iog3ann(n+)(1+2+.+)2故*-U z(n + l) n n+11一+ 一 bxb2所以数列的前n项和为一2n+111、在公差为d的等差数列m中，已知0=10,且2¾+2,503成等比数列.求d,%；(2)若d<0,I÷2÷M÷.÷an.解：(1)由题意得，5a3=(22÷2)2,由m=10,小为公差为d的等差数列得，d2-3d-4=0,解得d=1或d=4.所以an=-11-r11("N*)或j=4w÷6(nN*).(2)设数列zl的前项和为S”.因为d<0,由得d=1,a”=q+11,121所以当11时，«11+M+1«3|+.+an=Sn=2«2+y?;1?!当n>12时，0+2l+3+j=S+2S”=/-yz2+1()综上所述，Ial÷2l÷3÷.÷Ml="ri>2.12、已知g是首项为1,公差为2的等差数列，S表示/的前项和。求明及Sn；1n(2)设数列一方的前项和为，求证：当N,都有7；成立。ISzJn+解：(1)%是首项6=1,公差d=2的等差数列，.an-a+(n-)d=2n-故S“=1+3+.+(21)=n(ai+cn)_n(+2/?-1)(2)由得t=*+*+,+H>111FHrr1×22×33×44×5n×(n+)÷十+n+1