求递推数列通项公式的十种策略例析.docx

求递推数列通项公式的十种策略例析递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决，亦可采用不完全归纳法的方法，由特殊情形推导出一般情形，进而用数学归纳法加以证明，因而求递推数列的通项公式问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容。笔者试给出求递推数列通项公式的十种方法策略，它们是：公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法。仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法，是迅速求出通项公式的关键。一、利用公式法求通项公式例1已知数列a11满足a11+=2a11+32a1=2,求数列a。)的通项公式。解：a11=2a11+32n两边除以2向，得%=%十3,则巴号%t=3,n+2n+12n22n+12n2故数列%是以3=2=为首，以3为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得2n2122-=l+(n-l),所以数列a。的通项公式为a。=(n-)2n。评注：本题解题的关键是把递推关系式all+=2a11+32n转化为巴号-乙=3,说明数什|2n+2n2列9是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出4=l+(n-l)3,进而求出数2n2n2列a11的通项公式。二、利用累加法求通项公式例2已知数列a11满足a11+=all+2n+l,al=1,求数列ar的通项公式。解：由a11+=a11+2n+l得a»i-a。=2n+l则a11=(a11-an-1)+(an-1-an-2)+(a3-a2)+(a2-a1)+a1=2(n-1)+l+2(n-2)+l+(22+1)+(21+1)+1=2(n-1)+(n-2)+÷2+1+(n-1)+1=2"%(n-l)+l所以数列a11的通项公式为“=n2评注：本题解题的关键是把递推关系式ag=a11+2n+l转化为a11+-a11=2n+l,进而求出(a11-an-1)+(an-1-an-2)+(a3-a2)+(a2-a1)+a1,即得数列aj的通项公式。例3已知数列a11满足az=a11+23n+La1=3,求数列ar的通项公式。解：an+1=an+23n÷1得an-a/23n+l则all=(an-an.1)+(an-1-an-2)÷+(a3-a2)+(a2-a1)÷a1=(23n,+l)+(23n-2+l)+-+(232+l)+(23,+1)+3=2(3n,+3n2+32+3,)+(n-l)+33-3n所以a。=2-+n+2=3n+n-l1-3评注：本题解题的关键是把递推关系式a.=a11+2311+1转化为a.-a11=23n+l,进而求出(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a3-a2)+(a2-a1)+a1,即得数列a11的通项公式。例4已知数列a11满足an+=3a11+23n+l,a1=3,求数列a11的通项公式。解:a11=3an+23n+l两边除以32，得an+_a12尹一诵§诃，则当.3=2十二，Q÷l Q O Q + l+ ra2 a, a1因此如3nl-3n,) ¾n-l) 3n )1-3+1*+L_L3 2 23n则all21-n3 +-3n -评注：本题解题的关键是把递推关系式an+1=3an+23n+l转化为巴号一%l=2+-L,进而求出(匕一)+(M-%)+(七-%反)+11+1133n+3n3°30-30一230-23°-3+"+,即得数列景的通项公式，最后再求数列a1J的通项公式。三、利用累乘法求通项公式例5已知数列aj满足an+=2(n+l)5l1a11,a1=3,求数列%的通项公式。解：因为an=2(n+l)511an,a1=3,所以a。0,则也=2(n+1)511,anIi1lanan-la3a2a11-lan-2a2aI=2(n-l+l)5n-,2(n-2+l)5n22(2+l)522(l+l)5,3=2n,n(n-l).325(n-1)+(n-2)+"+2+,-3所以数列a11的通项公式为n(nT)an=32n,5n!评注：本题解题的关键是把递推关系7=2笛+1)511迅11转化为名出=2(11+1)511,进而an求出儿.名丛也包回，即得数列E的通项公式。a11-lan-2a2aI例6(2004年全国15题)已知数列a11满足a=1,an=a1÷2a2+3a3÷+(n-1)1.n=1+(n-l)an.1(n2),则a11的通项a11=n!C12解：因为a11=a+2a?+3a3+(n-l)all(n2)所以a11+=a1+窃2÷3a3+(n-l)an_1÷nan所以式一式得a»i-a11=nan则aq=(n+l)a11(n2)则如=n+l(n2)所以an=.an-lan-2a2=n(n-1)4,3a2=2由all=a1+2a,+3a?+.+(n-l)a11(n2),5Zn=2#a2=a+2a2,则a2=a,又知2=1,则22=1，代入得nJa=1345n=-。n2评注：本题解题的关键是把递推关系式a11+=(n+l)an(n2)转化为-=n+l(n2),an进而求出马-a2,从而可得当n22时a0的表达式，最后再求出数列E的an-lan-2a2通项公式。四、利用待定系数法求通项公式例7已知数列a"满足a1=2a11+35La1=6,求数列a11的通项公式。解：设all+x5*vd=2(a11+x5l1)将=2a11+35l1代入式，得2a11+35fl+5向=2a11+2x511,等式两边消去2an,得3511+x5"i=2x511,两边除以5L得3+x5=2x,则x=-1,代入式，得a.-5-1=23-511)a-5n+1由15=65=1#。及式，得a5:0,则%+=2、则数列包5)是an-5以%-5:1为首项，以2为公比的等比数列，则a11-5=13-1,故2=22+5%评注：本题解题的关键是把递推关系式an+1=2an+35n转化为an+1-5n+,=2(an-5n),从而可知数列a11-5"是等比数列，进而求出数列a11-5的通项公式，最后再求出数列aj的通项公式。例8已知数列a"满足a1,+=3all+5211+4,a1=1,求数列a。的通项公式。解：设an+1+x2n+y=3(a11+x2n+y)将all+=3a11+52n+4代入式，得3an+52n+4+x2n+,+y=3(an+x2n+y)整理得(5+2x)2*1+4+y=3x2n+3y。令g+2x；3x,代入式，得4+y=3yy=2an+1÷52n+,+2=3(an+52n+2)由a+52+2=l+12=130及式，a1s.7n+14-?Wan+52n+2O,则向+°N±=3,an+52n+2故数列a11+5211+2是以a+52,+2=1+12=13为首项，以3为公比的等比数列，因此a1,÷52n+2=133n,则a。=133n,-52n-2评注：本题解题的关键是把递推关系式an+1=3an+5211+4转化为an+1+52n+,+2=3(an+52n+2),从而可知数列all+52*+2是等比数列,进而求出数列a。+5211+2的通项公式，最后再求数列a。的通项公式。例9已知数列aj满足a11+=2a11+3M+4n+5,a1=1,求数列all的通项公式。解：设a11+x(n+l)2+y(n+l)+z=2(an+xn2+yn+z)将all+=2a1+3112+4n+5代入式，得2an+3n2+4n+5+x(n+1)2+y(n+1)+z=2(an+xn2+yn+z),则2an+(3+x)n2+(2x+y+4)n+(x+y+z+5)=2an+2xn2+2yn+2z等式两边消去2a11,得(3+x)M+(2x+y+4)n+(x+y+z+5)=2x112+2yn÷2z,3+x=2xx=3则得方程组2x+y+4=2y，则<y=10,代入式,得x+y+z+5=2zz=18an+1+3(n+1)2+10(n+1)+18=2(an+3n2+IOn+18)由a+3Y+10.1+18=1+31=32工0及式，得an+3n2+IOn+180则%+|+3("叫+10(11+1)+18=2,故数列an+3+10n+18为以an÷3n2÷10n+18a+3f+i0i+i8=l+31=32为首项，以2为公比的等比数列，因此an+3n2+10n+18=322n,则atl=2n+4-3n2-10n-18<.评注：本题解题的关键是把递推关系式an+1=2an+3n2+4+5转化为an+1+3(n+l)2+10(n+l)+18=2(a+3n2+10n+18),从而可知数列an+3+10n+18是等比数列，进而求出数列a11+3n?+IOn+18的通项公式，最后再求出数列a11的通项公式。五、利用对数变换法求通项公式例10已知数列a11满足az=2311a:,a=7,求数列a。的通项公式。解：因为a1=7,所以atl>0,a1>0。在a*=2-30a：式两边取常用对数得lga11+=5Iga11+nlg3+lg2©设lgawj+x(n+l)+y=5(lga11+xn+y)将式代入式，得51gall+nlg3+lg2+x(n+l)+y=5(lgal,+xn+y),两边消去5Iga11并整理，W(lg3+x)n+X+y+lg2=5xn+5y,则Ig3 + x = 5x x + y+ lg2 = 5yIg3x=4y=2+2164代入式，得lga11+(n+l)+二5(lga11+聆+翳詈)由lg+等*1+号fg7+L"胃十号*°及式'得%+%+哥詈0,lgar+里(n+l)+里+柜则4_=5lgan÷n÷2÷°n4164以5为公比的所以数列lgall+°n+照+由2是以lg7+柜+妲+柜为首项,41644164等比数歹IJ,则Iga11+妲n+柜+跤=(lg7+退？+柜+跤)5vd,因此41644164IgalI=(怆7+笄+整+号孥n孥一年=(lg7+Ig3、Ig35+Ig2)54164464P-Ll2±1£_i_2J.-LJ.S'-'515n-4n-l5。T-I 2) = lg(75n, 3 16 2r)2 -LL-Ig37-Ig31-Ig27=737324)5n1-lg(3z32)=g(73z32z)5n-1-Ig(343,624)=lg(75n-'-34-35n-4n-l5n,-la=75n'3.2-o评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式2向=23叮：转化为lga11+号（n+D+臀+詈=5（lgan+号n+野+詈）,从而可知数列lgan+吧n+蚂+蚂是等比数列，进而求出数列lga°+n+照+/的通项41644164公式，最后再求出数列atJ的通项公式。六、利用迭代法求通项公式例11已知数列a11满足atl+=a*+D*a=5,求数列a11的通项公式。解：因为a”=a：（Z）尸，所以册=端沪=严“产1_o32(n-l)n2,"2wn=an-2_fa3(n-2)2n-332(n-l)n-2<n'2H<n",)_C33(n-2)(n-l)nVi)+(n-i)=dn-3_C3n'23(n-2Hn-l)n-2,+2*“。-”不一7=an(n-l)-n3n-,.11!2-a又a=5,所以数列a11的通项公式为a。=53fn!2F-。评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式，即先将等式all+=a2+W两边取常用对数得IganX=3(n+l)211Iga。，即辿=3(n+1)211,再由Igan累乘法可推知Igan=-,L.l,.lga=lg53-n!-2,从而Igan-Ian-2Iga2Iga13>fn!2Wqan=52七、利用数学归纳法求通项公式例12已知数列a。满足a11M=an+区里一-,a二号，求数列a“的通项公(2n+l)2(2n+3)29式。解：an+l =an ÷8(n + l)(2n + l)2(2n + 3)及a=号，得 29a2 =a!8(1+1)(2l+l)2(2l+3)2882_24-9+92525a=a18(2+1)32(22+l)2(22+3)2248348=F=2525-4949a4 =aJ8(3+1)(23+1)2(23+3)2488-480=I=4949-8181由此可猜测an=(2n+l)2j,往下用数学归纳法证明这个结论。(2n+l)2(1)当n=l时，a1=c2-(2k + l)2(2k + 3)2_ (2k + 3)2 -1 _ 2(k + 1) + )2-1(2k + 3)2 - 2(k + 1) +12由此可知，当n=k+l时等式也成立。根据(1) (2)可知，等式对任何ncN"评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的 通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。八、利用换元法求通项公式例13已知数列a11满足arl+ =4(1 + 4a. + Jl + 24a11), a =1,求数列a11的通项公16式。解：令 b” =历弧；，则 an=(b：l)故%+1 =±(b：+i T)，代入a11+ =与(l+4a11 + Jl + 24a11)得24Io2an+3+n21=-所以等式成立。(21+1)29(2)假设当n=k时等式成立，即ak=(2k+D：l,则当n=k+l时，(2k+I)?8(k+l)az=ak+(2k+l)2(2k+3)2(2k+1)2-18(k+1)(2k+l)2(2k+l)2(2k+3)2(2k+if-l(2k+3)2+8(k+1)(2k+I)?(2k+3)2(2k+l)2(2k+3)2-(2k+3)2+8(k+l)(2k+l)2(2k+3)2(2k+l)2(2k+3)2-(2k+l)2可化为bn+1-3=g(t>n-3)，所以几-3是以b-3=Jl+24a-3=J1+241-3=2为首项,以g为公比的等比数列，因此bn-3=2(g)I=(g)n-2,则bn=()2+3,即西=(g)A2+3,得评注：本题解题的关键是通过将历函的换元为bn，使得所给递推关系式转化I3b11=bn+形式，从而可知数列bn-3为等比数列，进而求出数列、-3)的通项公式，最后再求出数列a11的通项公式。九、利用不动点法求通项公式例14已知数列all满足a*=2%-24,a(=：4求数列值口的通项公式。4a11+1Oiv-74C91Y94解：令X二,得42-20x+24=0,则x=2,x?=3是函数f(x)一-的4x+l4x+l2%-242两个不动点。因为？M.2=4a°+l=2匕口24-2(4al1+1)=13an_26=竺。an+1-321an-2421an-24-3(4an+1)9an-2794an+1al1 -2 a -3=若严,Ml'所以数列£|是以"1=31=2为首项'以孩为公比的等比数列'故则a。=-r-+3。2(一)-1921X-2421X-24评注：本题解题的关键是先求出函数f(x)=X*的不动点，即方程X="的4x+l4x+1两个根x=2,x2=3,进而可推出殳红二2二”殳二2,从而可知数列殳三为等比数a11+-39an-3an-3列，再求出数列上2的通项公式，最后求出数列a11的通项公式。a11-3例15已知数列a11满足al1+=XT,a1=2,求数列a11的通项公式。2an+3解：令X=办二2,得22-4x+2=0,则X=I是函数f(x)二生1的不动点。2x+34x+7因为an+7a25a52an÷33512a+32a,1+o2o121_1_=42.=-(1+-)=-i-+-,所以数歹IJ)是以an+-l5an-55an-l5an-1an-15a-_L=-L=1为首项，以2为公差的等差数列，则-=+(n-i)2,故a二生!龙。a1-12-15an-15n2n+33-17x-2评注：本题解题的关键是先求出函数f(x)=2-的不动点，即方程X=旦，的根4x+72x+3Il21x=l,进而可推出一!一=从而可知数列一为等差数列，再求出数列an+l-1an15an-1一的通项公式，最后求出数列a11的通项公式。a11T十、利用特征根法求通项公式例16已知数列a11满足all+=3a11-a.(n2),a1=a2=1,求数列a11的通项公式。解：ag=3arl-ae(n2)的相应特征方程为2-3+l=0,解之求特征根是3 + 53-5+ c2222y喳学，所以a由初始值a=a2=l,得方程组l=c(l=c1(求得5-25CL-5-5+25%=-5从而a11=5-2石(三骂n+5+253-5nn5252评注：本题解题的关键是先求出特征方程的根。再由初始值确定出c,C2,从而可得数列a。的通项公式。19119(b1-l)=-l÷4-(b-l)÷bn24Io24即4b3=(bn+3)2因为bn=JI+24a110,故bn+="l+24a11+013三2bn+1=bn÷3,BPbn+1=-bn+-,