第11章《一元一次不等式》考点 易错.docx

第11章一元一次不等式考点+易错知识梳理T不等式:用表示的式子I不等式的解:能使不等式的未知数的值不等式的解集:一个含有未知数的不等式的,的便会-不等式的性质不等式的性质I不等式的性质2一元一次不等式一元一次不等式:只含Tf未知数,并H未知数的次数都是系数 的不等式翩一元一次不等式的一般步骤：去分母、去、移项、合并同类项、一一用一元一次不等式解决问题的一般步躲：市题、设列不等式、解、写出答案-一元一次不等式组：把几个含有的一次不等式联立在一起.就组成了一个一元一次不等式妙T不等式组的鼾：使不等式组中所TF不等式都的T不等式组的解集:不等式组中所看不等式的的I重难点分类解析考点1不等式及其性质【考点解读】理解实数的运算法则，确定相关量的取值范围，然后用不等式来表示;要熟练掌握不等式的性质，特别注意当不等式两边同时乘（或除以）同一个负数时，不等号方向要改变.例I下列说法不一定成立的是（）A.若白>，则a+c>Z?+CB.若+c>h+c,则C.若a>b,则ac1>bc1D.若ac2>bc2，则>b分析:在不等式力的两边同时加上c,不等式仍成立，即+c>h+c,故选项A一定成立;在不等式+c>Z?+C的两边同时减去c,不等式仍成立，即a>?,故选项B一定成立;当C=O时，若a>b,则不等式。>bc2不成立，故选项C不一定成立;因为a?,机2,所以cw,所以。2>0.在不等式H>机>2的两边同时除以02,该不等式仍成立，即。>人,故选项D一定成立.答案:C【规律技法】应用不等式的性质解决问题时，特别要注意当不等式的两边同乘或同除以同一个负数时不等号要改变方向.【反馈练习】1.（2018南京期末）若x>y,则下列式子错误的是（）A.%3>V-3B.>33D. -3x > -3yC.x+3>y+3点拨:在不等式两边同时乘(或除以)同一个负数时，不等号方向要改变.2 .下列不等式变形正确的是()A.由>力，得ac>beB.由>Z?,得一2>-2Z?C.由>力，得一v-Z?D.由。>方，得a-2vb-2点拨:注意各选项中，不等号的方向是否需要改变.考点2解一元一次不等式【考点解读】解一元一次不等式时，先认真分析不等式的特点，然后确定求解的步骤，在易错环节中要认真细致，紧扣变形依据.例2解小等式：2x-1>竺口，并把它的解集在数轴上表示出来.211Ii1一-2-10123分析:根据不等式的性质可得不等式的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则在数轴上将解集表示出来.解答:去分母，得4x-2>3x-L移项，得4x-3x>2-l.合并同类项，得x>l.将不等式解集表示在数轴上如图：-2-10I23【规律技法】本题主要考查对解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据不等式的性质正确解不等式是解此题的关键.【反馈练习】3 .解下列不等式：IX4-1(1) 2x-3(x÷2);(2)3(x1)4.22点拨:先去分母，再去括号、移项、合并同类项，最后系数化为“1”.考点3解一元一次方程组【考点解读】根据解一元一次不等式组的步骤，先求两个不等式的解集，然后借助数轴求得两个解集的公共部分.-2x6例3(2017南京)解不等式组：x>-23(x-1)<x+1(3)请结合题意，完成本题的解答：(1)解不等式，得，依据是：(2)解不等式，得;(3)把不等式和的解集在数轴上表示出来:-4-3-2-10123(4)从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集为.分析:分别解不等式，再将不等式的解集表示在数轴上，它们的公共部分即为不等式组的解集.解答:(1)x3不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变(2) x<2(3)如图所示：-4-3-2-10123(4)-2<x<2【规律技法】本题考查一元一次不等式组的解法，确定一元一次不等式组的解集可以借助于数轴，也可以利用口诀:同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了(无解).【反馈练习】-2x+53(x+l)4.解不等式组:11一2X1LX,并把解集表示在数轴上.-÷->(K2)35点拨:先分别求解两个不等式，并在数轴上表示两个解集，寻找公共部分即可.考点4用一元一次不等式解决实际问题【考点解读】要明确列不等式解决实际问题的步骤与方法:理解题意，找出一个能表示实际问题意义的不等关系，然后设未知数，根据不等关系列出不等式，解这个不等式，检验并写出答案.例4每年5月20日是中国学生营养日，某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况，他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息如图.信息1.快餐成分：妥白质、脂肪、碳水化合物和其他2.快餐总质量为400g3.碳水化合物质量是安白质质量的4倍若这份快餐中所含的蛋白质与碳水化合物的质量之和不高于这份快餐总质量的70%,则这份快餐最多含有多少克的蛋白质？分析:设这份快餐含有Xg的蛋白质，根据所含的蛋白质与碳水化合物的质量之和不高于这份快餐总质量的70%,列出不等式求解即可.解答:设这份快餐含有Xg的蛋白质.由题意，得x+4x400x70%,解得x56.故这份快餐最多含有56g的蛋白质.【规律技法】读懂题意，找出题目中的数量关系，列出不等式.本题的数量关系是快餐所含的蛋白质与破水化合物的质量之和不高于快餐总质量的70%.例5某校需购买一批课桌椅供学生使用，己知A型课桌椅230元/套，B型课桌椅200元/套.(1)该校购买了A,B型课桌椅共250套，付款53000元，则A,B型课桌椅各买了多少套?(2)因学生人数增加，该校需再购买100套A,B型课桌椅，现只有资金22000元，则最多能购买A型课桌椅多少套？分析:(1)设购买A型课桌椅JV套，B型课桌椅y套，根据“A,B型课桌椅共250套”“A型课桌椅230元/套,B型课桌椅200元/套，付款53000元”列出方程组并解答;(2)设购买A型课桌待。套，则购买B型课桌(100-套.根据“只有资金22000元”列出不等式并解答即可.解答:(1)设购买A型课桌椅X套，B型课桌椅y套.x+y=250230x+200y=53000=100y=150故购买A型课桌椅100套，B型课桌椅150套.(2)设购买A型课桌待。套，则购买B型课桌(I(X)-4)套.由题意，得230。+200(100-4)22000,因为。是正整数，所以。最大=66.故最多能购买A型课桌椅66套.【规律技法】本题考查列二元一次方程组和一元一次不等式解决实际问题，找准题中的数量关系是解题的关健，【反馈练习】5 .为了举行班级晚会，孔明准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品，己知乒乓球每个1.5元，球拍每个22元，如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，那么孔明应该买多少个球拍？点拨:设购买球拍X个，列不等式求解，注意取整数值.6 .某校在开展“校园献爱心”活动中，准备向西部山区学校捐赠男、女两种款式的书包.己知男款书包的单价为50元/个，女款书包的单价为70元/个.原计划募捐3400元，购买两种款式的书包共60个，那么这两种款式的书包各买多少个？在捐款活动中，由于学生捐款的积极性高涨，实际共捐款4800元，如果购买两种款式的书包共80个，那么女款书包最多能买多少个？点拨：（1）可列方程求解;（2）设女款书包购买y个，则男款书包购买（80-y）个，列不等式求解即可.易错题辨析易错点1符号意义理解不清导致错误例1给出下列不等式:2>/+1>0；86;f0.其中成立的是（）A.BeC.D.错误解答:A错因分析:导致本题错误的原因是对符号""理解不透切，"”的意义是或“=”，有选择功能，二者之一成立即可，事实上也只能两者取一，与“二”不能同时成立，所以对“86”的理解应是“8大于6”,对d0的理解应是当X=O时，f=0；当XwO时,X2>0.正确答案:D易错辨析："”的含义是或“="，且二者不能同时成立.易错点2对非负整数的概念理解不清导致错误例2（2018苏州期末）写出不等式x3的所有非负整数解:=.错误解答:1,2,3错因分析:错解在于不理解非负整数的含义,非负整数包括零和正整数.正一答案:0,1,2,3易错辨析:非负整数包括零和正整数.易错点3忽略不等号的方向是否变化)B. 6Z-1 <0D. 24 V 2例3若<l,则下列各式中，错误的是（A.-a>-C.i+3>0错误解答:A错因分析:根据不等式的性质2,不等式两边同乘一个负数，不等号的方向改变，故选项A正确;根据不等式的性质1可知选项B正确;根据不等式的性质2,不等式的两边同乘一个正数，不等号的方向不变，故选项D正确;取a=-4vl,则+3=Y+3=-lv0,故选项C不正确.正确答案:C易错辨析:在运用“不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”这一性质时,关键是要注意乘的数是否是负数，如果是负数，不等号方向必须改变.这类题易出现的错误是运用此性质时，忽略了改变不等号的方向而导致选错答案，如本题容易误选A.易错点4去分母时，忽略分数线的括号作用而出错解不等式：号一号.竽错误解答:去分母，得18x-2-36+2x15x+l,即5x395x,39,所以x.错因分析:去分母时，分数线具有括号的作用，错解恰好忽视了这一点，正确的做法应在去括号时把分子视为一个整体用括号括起来.正确解答:去分母，得6(3x-2)-4(9-2x)3(5x+l),即UX51,所以相2.易错辨析:分数线有两重功能:其一是表示分数线;其二有括号的作用.反馈练习1 .若Qb,则下列不等式成立的是()A.+2vb+2B.0,2<Z?2C.2a<2bD.-2a<-2b点拨:注意不等式两边同时乘或除以一个负数时不等号方向改变.3x-l<2x2 .不等式组I1的解集在数轴上表示正确的是()-xl点拨:分别解两个不等式，并将解集表示在数轴上，注意空心圆圈和实心圆点的使用.3.对于不等式组X1<72一2，下列说法正确的是()5x+2>3(x-l)A.此不等式组无解B.此不等式组有7个整数解C.此不等式组的负整数解为工=-3,-2,-1D.此不等式组的解集为一*<x22点拨:先解不等式组，根据解集判断即可.2x+l>04 .不等式组(3x-l2x+l的所有整数解是X=.丁丁点拨:先解不等式组，再根据解集分析出所有整数解.5 .满足不等式组J2的整数解为X=.,1-x、点拨:先解不等式组，再根据解集分析出所有整数解.探究与应用探究1确定不等式(组)中的参数取值范围例1若不等式组的解集为3<4,求不等式+b<0的解集.x+aO点拨:求出每个不等式的解集，根据每个不等式的解集的规律找出不等式组的解集，即可求出b的值，代入+人<0中求出不等式的解集即可.口:x+0解不等式，得x"2解不等式，得XT7.2x-Z0因为部等式组的解集为3x4,x+0%所以I2，-4二4a=-4解得，,b=6将-T代入公+bv,b=6得-3x+6V0,3解得x>?.23故不等式QT+b<0的解集为X>1.2规律提示确定不等式(组)中参数的取值范围的常用方法：(1)根据不等式(组)的解集确定;(2)分类讨论确定;(3)借助数轴确定.【举一反三】1 .已知关于x,y的方程组|3五+)'="+1的解满足0<%+)<1,求上的取值范围.x+3y=3X-cib2 .若不等式组4的解集是一lvxv3,求不等式依+bv的解集.x-a>b探究2根据解集或整数解来确定系数的值或取值范围如果不等式组<9x-a0 Sx-b<O的整数解仅为X = I,2,3,那么适合这个不等式组的整数6的有序数对（。,份共有（）A.17对B.64对C.72对D.81对x>19x-a09点拨:分别求出满足题意的整数。力的个数即可.因为1,所以,.因为不等式Sx-b<Obx<-8组的整数解仅为元=1,2,3,所以O<ql,3<-4,即0<9,24vb32,所以98。的整数值有9个，人的整数值有8个，所以有序数对（凡）共有9x8=72（对）.答案:C规律提示由已知不等式（组）的解集或整数解确定待定系数的值或取值范围，常用的方法是先求得含待定系数的不等式（组）的解集，再代入已给出的条件中，即可求出待定系数的值或取值范围.【举一反三】3 .已知关于X的不等式组"一"°只有四个整数解，则实数。的取值范围是.5-2x>l4 .已知不等式3无一a0的正整数解为x=l,2,3,求4的取值范围.探窕3求含有多个未知数的式子的最值例3已知4/,。是三个非负数，并且满足3a+2Z?+c=5,2a+b-3c=,设m=3a+b-1c,若X为机的最大值，y为次的最小值，求Ay的值.点拨:本题考查了方程组、不等式组的综合应用，解题的关键是通过解方程组，用含一个字母的代数式表示?，通过解不等式组，确定这个字母的取值范围，在约束条件下，求出其y的值.解答:由条件,R3a+2b=5-c得2+8=l+3c解得Cl = IC-3 b = l-ca=7c3将V代入m=3+。-7c,b=7-c得th=3c2.a07c-30由(b0,得(7-llc0,c0c037解得3c'.7117135所以x=3x'_2=_上，y=3×-2=-,规律提示要求含有多个未知数的式子的最值，把多个未知数转化为含一个未知数的式子，再由题目的约束条件求出这个未知数的取值范围，最后求出最值.【举一反三】x+y+z=303x+y-z = 505 .已知,y,z均为非负数，且满足<,求"=5x+4y+2z的最大值和最小直探究4优惠方窠的选择问题例4甲、乙两商场以同样的价格出售同样的电器，但是各自推出的优惠方案不同.甲商场规定:凡购买超过1O(X)元的电器，超出的金额按90%实收;乙商场规定:凡购买超过500元的电器，超出的金额按95%实收.顾客怎样选择商场购买电器才能获得最大的优惠？点拨:获得最大优惠是选择商场的前提，由于顾客购买电器金额不是具体的，因此应分类讨论解决问题.题意，得x,0<x1000x,0<x500解答:设购买电器的金额为X元，甲商场的实收金额为即元，乙商场的实收金额为y乙元.由Vh1=，»=<»1 1000+(x-1000)×0.9,x>1000乙500+(x-500)×0.95,%>500当OVx500时，两家均不优惠，所以任选一家；当1000时，乙商场有优惠而甲商场没有，所以选择乙商场；当x>1000时，若y甲=V乙，即IOoO+(x1000)x0.9=500+(x500)x0.95,解得x=1500；若>>y乙，即100O+(x-1000)x0.9>500+(x-500)0.95,解得xvl500;当)<y乙，BP1OOO+(x-1000)×0.9<500+(x-500)×0.95,解得x>1500.综上所述，顾客对商场的选择可参考如下：当OVX500或x=1500时，可任选一家;当500<xvl500时，可选择乙商场;当x>1500时，可选择甲商场.规律提示寻找不等关系的方法：(1)利用事实不等关系，这里指的是不需要题设的表述就已经存在的不等关系.如生产用量供给量;(2)利用明确表达的不等关系，如常见的“不少于”“最多”“不超过”“最小”等;(3)利用题中隐藏的不等关系，如“哪一种方式更优惠”“如何安排运输的方案”等，其字里行间便隐藏着不等关系.【举一反三】6 .某商场响应“家电下乡”的惠农政策，决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的电冰箱80台，其中甲种电冰箱的数量是乙种电冰箱的2倍，购买三种电冰箱的总金额不超过132000元.已知甲、乙、丙三种电冰箱的出厂价格分别为1200元/台、1600元/台、2000元/台.(1)至少购进乙种电冰箱多少台？(2)若要求甲种电冰箱的数量不超过丙种电冰箱的数量，则有哪些购买方案？探究5不空不满类型问题例5学校为离家远的同学安排住宿，现有房间若干间.若每间住5人，则还有14人安排不下;若每间住7人，则最后一间房间里还余一些床位.学校可能有几间房间可以安排同学住宿?住宿的同学可能有多少人？点拨:本题是典型的不空不满类型问题，关健是弄清题中有两个量，住宿人数和房间安排方式不同，就有不同的结果，依据题中给出的安排方式，列出不等式组，从而求解.解答:解法一:设房间有X间，则住宿的同学有(5x+14)人.由题意，得0<7x-(5x+14)v7,解得7vxvl0.5.因为X取正整数，所以X取8,9,10.当x=8时，住宿的同学有54人；当x=9时，住宿的同学有59人；当X=IO时，住宿的同学有64人.一14解法二:设住宿的同学有X人，则房间有间.5由题意，得xv"14)<<+7,5解得49vxv66.5因为X是正整数，所以X取50,51,52,53,，64,65,66.X14因为为整数，所以X可以取54,59,64,5则房间对应可能有8,9或10间.综上所述，房间数与住宿的同学人数有3种可能的情况:房间8间，同学54人;房间9间，同学59人;房间10问，同学64人.规律提示放缩法，即将代数式的某些部分恰当地放大或缩小，从而得到相应的不等式，以达到解决问题的目的.放缩法的实质是构造不等式，通过缩小范围逼近求解，放缩法体现了化“相等”为“不等”，以“不等”求“相等”的策略和思想.【举一反三】7.将若干只鸡放入若干个笼子中，若每个笼子里放4只，则有只鸡无笼可放;若每个笼子里放5只，则有一笼无鸡可放.问:至少有多少只鸡，多少个笼子？参考答案知识梳理解 一个1 不等于0不等式同一个未知数成立 公共部分不等号不等关系成立括号系数化为1元未知数的值解集重难点分类解析【反馈练习】1.D2.C,83.(l)x-3(2)x344.不等式组的解集为-lx<-,表示在数轴上如图所示:5-2-10AlL55.孔明应该买7个球拍.6.(1)原计划购买男款书包40个，女款书包20个.(2)女款书包最多能买40个.易错题辨析反馈练习1.D2.C3.B4. 0,15. 2,1>0>1探究与应用【举一反三】1. TVAVO2. X>23. 3V1-24. 9<125. "=5x+4y+2z的最大值为130,最小值为120.6. (1)至少购进乙种电冰箱14台.(2)有3种购买方案.方案一:甲种电冰箱购进28台, 方案二:甲种电冰箱购进30台, 方案三:甲种电冰箱购进32台,乙种电冰箱购进14台, 乙种电冰箱购进15台, 乙种电冰箱购进16台,丙种电冰箱购进38台;丙种电冰箱购进35台;丙种电冰箱购进32台.7.至少有25只鸡，6个笼子