最新版圆锥曲线专题17之5 四边形相关性质.docx
专题5剑冲废穴四边形相关的性质内家心法中，以三角形和四边形为基本中心，向量和正余弦定理为基本方法，三角函数和几何性质为基本武器，对圆锥曲线小题进行速解.三角形过后，四边形也带来了自己的风采，平行，平分，垂直，相等，带着这些关系，和圆锥曲线糅合在一起，顶点，焦点，准线，交点，从此处就产生了无限的题目类型.于是有了极化恒等式，辅助角公式，中线定理，矩形大法等破解之法，思维就此打开，无数解法如狂风暴雨般出现，漫天飞舞，凌厉无敌，蔚为奇观.第一件平行四边形对角线性质及梯形相关性质四边形也是平面几何中非常重要的一个图形.考察主要是以平行四边形为代表的一类图形，它一定满足对边平行且相等且对角线互相平分，这些性质可以帮助我们快速解题，有时候还会会结合一些三角函数的知识.除此之外，还有梯形的一些性质有时候也会很有用处，我们接下来就通过一系列的题目来看一下四边形的一些平面几何性质如何发挥巨大功效的.r2V2【例1】（南岗区模拟）已知双曲线氏F-4二l（>O,b>0）的右焦点为K,A和4为双曲线上关于原点arb对称的两点，且A在第一象限.连结A居并延长交E于P，连结Bg,PB,若8玛P是以BBgP为直角的等腰直角三角形，则双曲线E的离心率为（）A.B.5C.D.1022【例2】（盐城期中）已知椭圆中心在坐标原点，焦点在X轴上，短轴长小于焦距长.以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个内角为120。且面积为2J的菱形，P为该椭圆上的动点，C、。坐标分别是（-L0）,（6,0）,则PeXH）最大值为.22【例3】（厦门模拟）已知双曲线；-3=l（>0,8>0）的左、右焦点分别耳、F2f过K的直线交双曲线右支于A,B两点.E）KA6的平分线交8耳于O,若A0=；AZ+AE，则双曲线的离心率为（）A.3B.2C.5D.622【例4】（金凤期末）椭圆C.+S=l（>0>0）与抛物线E:y2=4x相交于点M,N,过点尸（-1,0）的直线与抛物线E相切于M,N点，设椭圆的右顶点为A,若四边形9AN为平行四边形，则椭圆的离心率为（）A.3B.也C.也DT323422【例5】（全国模拟）已知耳（-c,0）为双曲线1=1伍>0,6>0）的左焦点，直线y=丘与双曲线交于A,B两点,若IAGl=工|8£|,则双曲线的离心率的取值范围是.a22【例6】（浙江期中）如图，A,B,C是椭圆=+=13>6>0）上的三个点，AB经过原点O,AC经过ab右焦点尸，若3尸人AC且"=3|。尸|,则该椭圆的离心率为（），2【例7】(焦作期末)已知椭圆C:+与=l(>6>0)的右焦点F和坐标原点O是某正方形的两个顶点，若ab该正方形至少有一个顶点在椭圆C上，则椭圆C的离心率不可能为()3-55-l拒10-2OL/2222【例8(岳阳一模)己知F为抛物线C：V=4x的焦点，过尸作两条互相垂直的宜线4,2,直线与C交于A,B两点,直线4与C交于O,E两点、,则四边形AZ)B石面积的最小值为()A.16B.24C.32D.64第二针极化恒等式与矩形大法我们先介绍一个式子a?。(a+b)2-(a-b)24i1i.AM=-(AC+AB)在ZXABC中，若/也是ZXABC的比边中线，有以下两个重要的向量关系：！2bm=(AC-AB)21222定理1在EH8C中，若必是重的中点，则有A8?ACAM-BC=AM-BM4定理2平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.以此类推到三角形，若4"是ZVWC的中线，则AS2+AC2=2(A2+3M2)在下图中利用中线定理可得P*+/V=尸。2+。储且PB2+PD2=PO2+OB2又OA=OB,所以PA2+PC2=PB2+PD2f这一结论称之为“矩形大法”【例1】(南岗区模拟)已知片、鸟是椭圆?+=1的左、右焦点，点尸是椭圆上任意一点，以PFl为直径作圆N,直线ON与圆N交于点。(点。不在椭圆内部)，则。耳？。玛()A.23B.4C.3D.122【例2】(东湖区模拟)已知双曲线I-1=13>0,b>0)的离心率为2,F1,F2分别是双曲线的左、右焦b点，点M(-a,O),M0,6)，点尸为线段MN上的动点，若PGXPK取得最小值和最大值时，的q面积分别为，S?,则兴=（）A.B.C.D.【例3】（山东模拟）已知双曲线£. £a2' h2= Ka, b>0）的左右焦点分别为耳、F21圆/+9二与双曲线在第一象限内的交点为M,若IMKI二3|摩|,则该双曲线的离心率为（）A.2B.3C.2D.3【例4】已知圆。:/+9=4,直线/与圆O交于P,。两点，A（2,2）,AP2+AQ2=40t则弦尸。的长度的取值可以是（）A.2B.6C.3D.22【例5】（南京模拟）已知圆。:/+丁=4,点A（2,2）,直线/与圆O交于。，。两点，点E在直线/上且满足PQ=2QE.若A£：2+2AP2=48,则弦?。中点M的横坐标的取值范围为.22【例6】已知点P为椭圆q+=im>b>0）外一点，过点尸作椭圆的两条切线互相垂直，求点P的轨迹方crb2程.2【例7】已知两动点A,8在椭圆+J=.）上，动点P在直线3x+4y-IO=O上，若R4/归恒为锐角.a则椭圆离心率的取值范围是.第三饼辅助角公式辅助角公式4sinx+）cosx=Jo+/sin（x+j）,其中COg=.a-,siny=_:2+b2ya2+b2除了在三角函数解三角形中，解析几何中有时候也会发挥重要作用.当坐标原点为平行四边形中心时可以考虑利用角度的相关式子来表示离心率，此时辅助角公式就可以发挥重要作用，在另外一些题目当中也可以利用圆锥曲线的参数方程，将要求的量转化为两个三角函数值之和或差，再利用辅助角公式，即可解决问题.尤其是圆和椭圆当中，效果尤其明显.【例I】（泉州期末）已知为椭圆uW+E=l（a>0>0）的左焦点，直线/过椭圆的中心且与椭圆交于4,a-b-A两点.若以A8为直径的圆过七，且2P则椭圆C的离心率的取值范围是（）1 1214A净半B.吟，DC.（0,D.（0,【例2】（武昌区期中）设椭圆CmV=I上的一点P到两条直线），=4和x=8的距离分别是4，a则24+4的最小值（）A.5B.6C.7D.8【例3】（罗湖区期末）抛物线2=2py（p>0）上一点A（Lm）,（加>1）到抛物线准线的距离为史，点A关于y轴的对称点为8,O为坐标原点，针的内切圆与。4切于点E,点尸为内切圆上任意一点，则OE×OF的取值范围为.【例4】（重庆月考）椭圆C上+二=1上的点P到直线L3x+4y+18=0的距离169的最小值为（）18+122D16-C18-12C16+10应B.C.U.A.5555整套系列资料分17讲见：最新版圆锥曲线专题17之1基础知识最新版圆锥曲线专题17之2焦长焦比体系最新版圆锥曲线专题17之3轨迹方程求法最新版圆锥曲线专题17之4三角形相关性质最新版圆锥曲线专题17之5四边形相关性质最新版圆锥曲线专题17之6圆锥曲线与圆综合最新版圆锥曲线专题17之7抛物线的综合问题最新版圆锥曲线专题17之8齐次化问题最新版圆锥曲线专题17之9曲线系方程最新版圆锥曲线专题17之10切线与切点弦的应用最新版圆锥曲线专题17之11极点极线与定点定值最新版圆锥曲线专题17之12阿基米德三角形最新版圆锥曲线专题17之13定比点差体系最新版圆锥曲线专题17之14不联立体系第一讲一单动点问题最新版圆锥曲线专题17之15不联立体系第二讲一双动点问题最新版圆锥曲线专题17之16不联立体系第三讲一三点共线问题最新版圆锥曲线专题17之17不联立体系第四讲一设点与比例问题
