容斥原理培优专题训练.docx

容斥原理一、夯实基础在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重更计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重狂，这种计数的方法称为容斥原理。容斥原理就是我们通常所说的包含与排除，下面我们来看它的一般解法:如图：两张圆纸的面积分别为A和B,它们相互包含的面积为C,求覆盖在桌面上的面积。因为：A=D+C,B=C+E,所以A+B=D+C+C+E,D+C+E=A+B-C也就是说，A和B覆盖的面积等于它们面积之和减去相互包含部分的面积。二、典型例题例1.如图，一个长8厘米，宽6厘米的长方形与一个边长5厘米的正方形叠放在桌面上,两图 面积。加无的有两次,求这两个图形盖住桌面的面积？分析：阴影部分是直角三角形，是两个图形的重叠部分,形的面积和减去阴影部分的面积，即是两个图形盖住桌面的解：8×6+5×5-3×4÷2=67（平方厘米）答：盖住桌面的面积是67平方厘米。例2.六一班参加无线电小组和航模小组的共26人，其中参线电小组的有17人，参加航模小组的有14人，两组都参加多少人？分析：把17人和14人相加，是把两组都参加的人算了所以减去总人数，就是两组都参加的人数。解：17+14-26=5（人）答：两组都参加的有5人。例3.六一班有学生46人，其中会骑自行车的有19人，会游泳的有25人，既会骑车又会游泳的有7人，既不会骑自行车又不会游泳的有多少人？分析：先求出46人中会骑车或会游泳的有多少人，从中减去会骑车或会游泳的人数，剩下的就是既不会骑车也不会游泳的人数。解：19+25-7=37（人）46-37=9（人）答：既不会骑车又不会游泳的有9人。三、熟能生巧1 .两个正方形的纸片盖在桌面上，位置与尺寸如图所示,则它们盖住的面积是多少？（单位：厘米）2 .六（1）班同学中有37人喜欢打乒乓球，26人喜欢打羽毛球，21人既爱打乒乓球又爱打羽毛球。全班喜欢打乒乓球或羽毛球的同学共有多少人？3 .一个班有42人，参加合唱队的有30人，参加美术组的有25人，有5人什么都没有参加,两种小组都参加的有多少人？四、拓展演练1 .奥运会的会徽是五环图，一个五环图是由内直径为8厘米，外直径为10厘米的五个圆环组成，其中两两相交的小曲边四边形（阴影部分）的面积相等，已知五个圆环盖住的总面积是122.5平方厘米。求每个小曲边四边形的面积。2 .有一根长为180厘米的绳子，从一端开始每隔3厘米作一记号，每隔4厘米也作一记号,然后将标有记号的地方剪断。问绳子共被剪成了多少段？3 .某年级的课外小组分为美术、音乐、手工三个小组，参加美术小组有20人，参加&乐小组有24人，参加手工小组有31人，同时参加美术和音乐两个小组有5人，同时参加音乐和手工两个小组有6人，同时参加美术和手工两个小组的有7人，三个小组都参加的有3人，这个年级参加课外小组的同学共有多少人？4 .某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球。那么，这个班至少有多少学生这三项运动都会？五、举一反三六、星级挑战 1.分母是105的最简真分数有多少个？ 2.如图，有三个面积各为20平方厘米的圆纸片放在桌上。三个纸片共同重叠的面积是8平方厘米，三个纸片盖住桌面的总面积是36平方厘米。图中阴影部分的面积之和是多少平方厘米？