第二章随机变量及其分布.docx

第二章随机变量及其分布第一节随机变量与离散型随机变量分布第二节常见离散型随机变量分布第三节连续型随机变量分布第四节常见连续型随机变量分布第五节随机向量(随机向量的联合分布函数；条件分布；随机变量独立性)第六节随机向量函数的分布第一节随机变量与离散型随机变量的分布一、随机变量许多随机试验的结果，可用数量直接表示.例如，一口袋中装有3个白球，7个黄球。现任摸2个球，问摸到白球的个数，样本空间C=0,1,2)但是，有些随机试验的结果并不是数量性的,而是表现为某种属性,然而这种属性是可以数量化的。例如，在投掷硬币的试验中，基本事件有两个，出现正面和反面(定性)°为了便于研究，我们将每一个基本事件用一个实数来表示，若用“本代表出现正面，用“0”代表出现反面。本章通封事件的颉里独对东讨论值机费组1.当正面，J()三-0.当产反面悟机交里然后应用数学分析前方去棒本三目。知空间/来解决同姮，这样强可以共射全献聘示嵬机瓜蛉的别SHft存在的线计姐律性。任何一个随机试验，其结果都可以用一个随机变量来刻画，试验结果不同，则该变量的取值也不同。定义2.1设E是一个随机试验，它的样本空间为Q=e,如果对于Q内的每一个样本点。都有一个实数X(e)和它对应，则称X(e)为随机变量，简记为X。如果随机试验的结果本身是数量，这时我们就定义随机变量X(e)=e0B2.1机交量定义的示WiB随机变量是定义在样本空间。上的单值实函数，随机变量的取值是随机的，试验的每一个结果的出现都有一定的概率，因而随机变量取各个值都有一定的概率。这就是随机变量与普通变量的本质区别J进一步说明L随机变量不同于高等数学中的函数。它的自变量是样本点，定义域是样本空间，由于自变量的随机性，在试验完成之前，不能预先知道哪个样本点会出现，也就没办法预知对应的函数值，所以这个函数的取值也是具有随机性的。因此，对随机变量的分析，会重点放在其取值的可能性上。而对函数的分析更侧重函数的取值、性质和应用方面的研究。显然，随机变jx的函数Y=f(X)也是一个随机变量:。二、离散型随机变量的概率分布定义22茎值机关堂只能取却艮，个或无限可歹HMftf8,B¾AWtt脑机m-连猿性例如，投掷硬币的随机变量X(e)只有两个可能值：Offb在显微镜下观察一张片子上某种细胞个数的随机变量X(e),全部可能取值为无限可列个0,L2,;它们都是离散型随机变量。人的寿命也是一个随机变量，但它的取值充满某一区间,无法按一定次序一一列举出来,故不是离散型随机变量，而是本章第三节中要讲的连续型随机变量。随机变量的特点在于客观存在的取值有一定的概座j义。它并不是肯定地取某一个值，而是以相应的概率取某个值，所以必须用取值及其相应的概率才能完而施描述随机变量。对于离散型随机变量来说，可以用列出它的每一个取值及其相应的概率来表示。例如，根据资料显示，某地新生婴儿的男女概率分别为0.517和0.483,则婴儿的性别可用性别变量X来表示：若出生女性婴儿则X取0,相应的概率为0.483；若出生男性婴儿则X取1,相应的概率为0.517即随机变量X取值规律为：表离散型随机变量的分布列(X与P的对应关系)X01P0.4830.517或写成表达式P(X=O)=0.483,P(X=I)=0.517。定义2.3设离散型随机变量X所有可能取值为xi(i=l,2,)相应的概率P(X=Xi)=p,i=l,2,称为离散型随机变量X的概率函数或分布律。显然，概率函数有如下性质：(1)p10,(i=l,2,.)mPi=3例2.1给青蛙按每单位体重注射一定剂量的洋地黄，由以往实验获知，致死的概率为0.6,存活的概率为0.4,今给两只青蛙注射，求死亡只数的概率函数。解设A1,A2分别表示第1只和第2只青蛙死亡的事件，则样本空间Q=a,tA,AiAa死亡只数X=O,1,2由题意，得P(Ai)=PU)=O6,P(I)=P(L)=0.4&,&彼此独立P(X=O月)区E)=咽网工K4X0.4P(X=l>=P(Aj+AUU>=P(2k)P()÷P(I)P(A3)=O.6×0.4÷0.4×0.6=0.48P(X=I>P(Al)=R(i)P(x)=O×0.6=06所以，X的概率函数X012P0.160.480.36容易看出，概率函数满足PiNO(i=0,1,2)且ELPl=1。三、分布函数概率函数全面地描述了离散型随机变量的统计规律性。为了给出随机变量X在基仝黄圉内取值的概率,我们还可以用另一种方式研究随机变量的分布规律，即研究随机变量X不大于实数值X的累积概率。这种方式不仅对于研究离散型随机变量是有意义的，对于连续型随机变量也是适用的，累积概率更具有代表性。定义2.4设X是一个随机变量，X是任意实数，则函数F(x)=P(Xx)称为随机变量X的分布函数。对于任意实数X,X2(X1<X2)»有P(xl<Xx2)=P(Xx2)-P(XX1)=F(x2)-F(xl)因此，若巳知X的分布函数，我们就可以知道X在任一区间(x,X2内取值的概率。从这个意义上来说，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性。对离散型随机变量，只要将其概率函数累加起来，就得到分布函数F(x)=P(X<x)=ZP(X=Xk)=2pk其中，Xk为随机变量X的取值。分布函数有如下性质：(1) F(X)是一个单调不减函数(若xV2,则有F(x1)F(x2)；(2) F(x)的值域介于O与1之间，即OWF(x)1,且F(-)=O,F(+)=1；-HmF(X)=F(X0)(3) F(x)在任何点X处至少右连续，即F(x+0)=F(X)(XF)。凡满足性质(1)-(3)的实函数F(X)一定是某个随机变量X的分布函数。随机变量映射，从样本空间到实数空间第二节常见离散型随机变量的分布一、两点分布()两点分布定义2.5如果随机变量X的分布律为01Pl-pP则称X服从两点分布(O<p<l),或称OT分布。(二)伯努利试验在许多实际问题中，我们所观察的某个事件A在一次试验中可能发生，也可能不发生。这种只有两个可能结果的试验称为伯努利试验。二、二项分布(一)n重伯努利试验将伯努利试验独立地重复进行n次就称为n重伯努利试验。n重伯努利试验的特点：(1)只有两个结果，要么A发生，要么A不发生；(2)每次试验事件A发生的概率都等于p。(3) n次试验之间是相互独立的定理2.1设在一次试验中，事件A发生的概率为P(O<p<l),则在n次重复独立的试验中，事件A恰好发生k次的概率为Pk)=Cm(1-p)A(k=0,1,.,n)这就是n重伯努利试验的计算公式。例已知某药有效率为0.7,今用该药治疗病人3例，求有效人数为0,1,2,3人的概率。解设X表示治疗有效的人数，A表示事件“第i例治疗有效”(i=0,1,2,3),则治疗3例的可能结果如下X事件O1444A44442-A44443444(二)二项分布定义2.6若随机变量X的概率函数为r二号=Uq-p)Z,0<p<l,k=0,1,2,，n,则称X服从参数为n,p的二项分布，记作XB(n,p)P(X=助=CiPtQ-P)Z恰好是二项展开式(p+q)11的通项显然，二项分布满足离散型变量分布律的条件：(1)HX=目Y/QrfoZ汽X=肪=ZCP"广=5+q)=l(2)J1当n=l,B(n,p)退化为B(1,p),即(OT)分布，因此(0-1)分布是二项分布的特例。例某种大批量产品的一级品率为02,现从中随机地抽查20件，问20件产品中恰好有k件（k=0,1.2,，20）为一级品的概率是多少？设X为20件产品中一级品的件数，则X服从n=20,p=0.2的二项分布B（20,0.2）I >)4S479>U>X012345678910211P0.0120.0580.1370.2050.2180.1750.1090.0550.0220.0070.0020.00111二N分充ko=np-q+1=20×0.2-0.8+l=4n=2929×0.2-0.8=5ko=5和6处,达到最大值二项分布的图形是一偏左、单峰曲线，当k增大时，概率P（X=k）先增大，达到最大值后，再减小，且在ko=np-q+l时达到最大值,当np-q为正整数时，则在ko=np-q和k0=np-q+1处同时达到最大值，L称为二项分布的最可能值。n=2929X0.2-0.8=5k0=5和6处,达到最大值三、泊松分布泊松分布也是一种典型的离散型分布，由法国数学家泊松（S.D.Poisson,1837）提出。许多稀疏现象，如（1）生三胞胎，（2）某种少见病（如食管癌、胃癌）的发病例数，（3）用显微镜观察片子上每一格子内的细菌或血细胞数，（4）用X-线照射一种细胞或细菌，细胞发生某种变化或细菌死亡的数目等等，都服从或近似服从泊松分布，所以泊松分布律又称为稀疏现象律。定理2.2（泊松定理）设随机变量JU（n=0,l,2,）服从二项分布，其概率函数为HX.=无）=CjdQ-PJZ比=QLZ«.这里概率Pn与实验总次数n有关。如果当nnP- （入0为常数）则有Hm?(Z=)=geT,左=0,L2w.J当n很大，且P很小时，令入=npn,则(一般要求n210,p0.1)二项分布的泊松逼近泊松分布的图形是一偏左、单峰曲线。且当人增大时，图形趋于对称。泊松分布图的上升、下降情况与二项分布相类似。随着k增大，概率P(X=k)先增大，达到最大值后，再减小。且在k°=>时达到最大值，当人为正整数时，则在k<F入和k°=-l处同时达到最大值。ko称为泊松分布的最可能值。已知某地区的人群中患某种病的概率为0.001,试求在检查5000人中至少有2人患此病的概率。解由于n=5000较大，而p=0.001较小，所以患此病的人数可用入=np=5000×0.001=5的泊松分布来近似，因此检查5000人中至少有2人患此病的概率为P(X2)=I-P(X=O)-P(X=D=l-e'5-5e5=l-6e5=0.如果按X服从二项分布B(5000,0,001)精确计算得0.四、超几何分布超几何分布是一种离散型的概率分布，常用于药品、疫苗等的质量检查与流行病学的研究等。例设在总数为N的人群中做了某种检查，结果有M例阳性，N-M例阴性现从该人群中不放回地抽取n例，求n例中恰有k例阳性的概率。q既X=野="冷，i三÷l.-若随机变量X的概率函数为G其中0<MWN,0<nN,kl=max(0,n+M-N),k2=min(n,M),则称随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布，记作XH(N,M,n)okl=max(0,n+M-N)kjn+MNFisher确切概率法疗法有效无效合并中西药结合12（八）214()西药6713合计18(Jf)927()疗法有效无效合并中西药结合12(A衿214()西药6713合计IS()927(M对k的限制：(1) kmin(n,M)(2) n-kWN-Mk=max(O,(n+M-N)=5)超几何分布描述不放回抽样问题，而有放回抽样则用二项分布来描述。可以证明，当N充分大时，超几何分布近似服从二项分布。第三节连续型随机变量的分布随机变量的统计规律可用分布函数来刻画，离散型随机变量有更方便的刻画一一分布律密度函数是分布函数的导数在离散型随机变量的研究中，概率函数全面地描述了随机试验的规律，但对连续型随机变量X来说,由于它的取值不是集中在有限个或者无限个可列的点上，而是充满某个区间，因此考察X取值于一点的概率意义并不大。只有确知X取值于任一区间上的概率,才能掌握它取值的概率分布。尽管分布函数能描述随机变量的概率分布，但由于它不够直观，用起来往往不方便。对于离散型随机变量，我们用分布列来描述就显得既简单又直观。同样，对于连续型随机变量，我们也希望有一种比分布函数更为直观的描述方式。为此，引人概率密度函数的概念。定义2.9对于随机变量X的分布函数F(X),如果存在非负可积函数f(X)(-<<+),对于任意的实数X,使得产(X)=I/咐成立，则称X为连续型随机变量。f(X)称为随机变量X的概率密度函数,简称概率密度或分布密度。由定义可知，连续型随机变量X的分布函数为"3=W"=L"'*S概率密度函数f(X)具有如下性质：(1)(2)(3)f(x)20,-<x<+,即概率密度函数曲线y=f(x)位于X轴上方；J7-(x)dX=l即曲线y=f(X)与X轴围成的面积等于1;P(X=a)=0(a为任意常数)，即连续型随机变量取任一实数的概率为零:(4)若f(X)在点X连续,F()=()由性质(3)得f(<Xi)=P(<X<i)=(X<ft)=P(Xi)=y(jdx这说明，连续型随机变量取值于某一区间的概率等于该区间上曲线y=f(X)与X轴围成的曲边梯形面积，而不必考虑区间端点的开与闭。与此同时，还要特别注意的是P(X)=0,并不意味着"X=a”必为不可能事件。例 已知连续型随机变量X的分布密度为Qo 2(3)分布函数F (x) o连续理里曲密度的效下面讨论连续型随机变量的f(X)dx与离散型随机变量的Pi的关系。因为P(X=x1)=Pi表示离散型随机变量X取某一值的概率，而对于连续型随机变量XPx<X<x÷dx)=Jx(0df当dx充分小时，L/(0<J(x)dx如下图，即P(x<X<xdf(x)dx故f(X)dx可以看成随机变量X落在小区间x,x+dx上的摄里，这是一种连续型随机变量离散化的方法.可见f(X)dx与Pi起着同样的作用,都描述了随机变量的分布情况。1.»*Lo.试求(1)常数k；解J二八力dx=lC(h+l)dU"÷x=(式+2卜停O2+j=2h2=lP)WX<3=q/(x)&=£(-gx+l)dx+J：Odx=-；f+x,11f/】Qs.3、.151=(x2+2)(x(一)+)=1三44221616(3)O,KO,F(x)=(r>k_#+-OSKX1,½2第四节常见连续型频变量的分布一、均匀分布t、,aWXWf(x)三-b-a定义210如果随机变量X的概率密度函数为I0，反它则称X在区间a,b上服从均匀分布,记为XUa,bo/U)1b-aII-JLO<bX在a,b±,概率在各处的密集程度一样，也可看作概率均匀地分布在a,b上，这就是均匀分布的由来。若XUa,b,则对区间a,b上任意的子区间c,c+1上的概率:MX3叱rfc=0 ， x<ajiax<b b-a1 , xb均匀分布的密度函数f(X)和分布函数F(X)示意图国某公共汽车站每10分钟有一辆汽车通过，一位乘客对于汽车通过该站的时间完全不知道，他在任一时刻到达车站的可能性均等，试求他到达车站3分钟内就有公共汽车到站的概率。解:一设该乘客候车时间为X,X-U(0,10)(等10分钟有公交车到站的概率为1,等到公交车的概率的跟等的时间成正比)e(SUo<X<10(1f!3f(x)="O(<5>J15<U-i.i0,其它二、指数分布若随机变量X的概率密度为=Ax9x00 .x<0其中入>0为常数，则称X服从参数为人的指数分布，记为XE()o=0. 1F(X) =0.x<0l-<2j,x0-Ax'u(l-e川)'=(1-Ly=(I-euYu,=-e,l-=T-AXu=-必例设某种动物的寿命X(单位：年)服从参数为0.1的指数分布。问3个这样的动物都能活到12岁的概率是多少？/(x)=iO-HNoO .x<0PX212)=I；OlrnZK=三个动物能活到12岁的概率P：P=(吠)*00273三、正态分布(一)密度函数和性质1/(j=1tfA(-c<<-HB)若随机变量X的概率密度函数为©皿其中，/和S(s>0)为常数，则称X服从参数为见¥的正态分布。记为XN(z,s2)o正态分布性质:(1)曲线f(X)关于直线X=，对称，因此，对任意的h>0,有P(j-h<X)=P(t<X(2)当X="时，f()取得最大值(3)曲线f(x)在X二u±。处有拐点，且以X轴为水平渐近线(4)f(X)有两个重要参数U和。，分别称口为位置参数，。为形状参数。标准正态分布=0,S=I的正态分布N(0,1)称为标准正态分布，记为XN(0,1)O1上(x)=-=e2(-co<<-c)标准正态分布的密度函数S不("<X<4)(-x)=l-(x)例设随机变量XN(0,1),查表计算:(1) P(X<1.23)；(2) P(X>1.23)；(3) P(X>1.23)。昼(1)查附表3,U=L23对应的概率为0.8907,P(X<1.23)=(1.23)o.8907(2) P(X>1.23)=I-P(X<1.23)=1-0.8907=0.1093(3) P(Xi>1.23)=P(X>1.23)+P(X<-1.23)=2P(X>1.23)=2X0.1093=0.2186a00000108OS0(M005006OaOa0»00o?w03120XOg0539”?：？0531»。，3笠0!8网.一WUwW垣T。至：T然：J。，力02神，皿三9*.。叫.1a06IaOE0306”)OAHl06处041060wOZSOOS040»5406例9Mt0WOGOO。皿心：QttOeOOU0”05Jm27IT；,U:讪oam>LftasuFgV>7JKML4JS.04。安*O)0rro<aSt?OM9.1筑网QfU.诟ii1r6"WX.Je.gl.aa0F2OSotti。的WJAT6*0期5OMotto109OttH9mOmQ皿9田OWlT?faIO画jL丽°”八IIOUIJOM6，08，”0orwOttlO丫.1IJ0皿9式端,7tW'l3K:。曲:r.o三:IJ99M103OMIS“1310加，09依rr<14t333。幅JMiSJ©32*j屏QM“F>一0820.K5IA三三H/富OgWTTTBi-1609。：.WfL一，»MI0.9AMISQmLITTt.7aw冰即g：MMOMUOWSSQgIlOXMOM0906iOE一0盯1_Gw9.F19AflTO6而OMObXoru。仍Wor)Ortto.rr20町JiKSLOrW”初一J?W一0%纥0W1102，岬月他Oa,.m金券f.9%乂“工也，dQ9T，吧一omiom09W023OWiOMM0M9SOMMOJWlOMM999090X11OWU0”1624OWIOWX0W20W50帔，OWtOWlejOWWOWM09W2，WUQWOMW0”“OWI260M510M9S0MjQM09MoAA(W99WlfOfMI09MI1709N64”09T0Er也osr>0JT4¾OWi.5Wown0脑.*9frr。咖0tl2930JL,OW0加ORr99912OWt0M46疝一篇注熨典I09M0温二3n（三）标准正态变换-N(M)C-x若随机变量XN（m、52）,则c尸（JO=P（Jr4力=下（人二幺三且）=（上与即对于任意区间（xbx2）,有P(XI<Xg匕<工口=.口一口aa。oa例设XN(1,4),求P(0<X1.6)解：-w>,c01XT,1-6LP(O<1=-<-y-T2)=0(0.3)-(-O)=0.6719-l-(0.5)=0.6719-1+0.®15=03094例设XN(8,4),试求：(1) P(X10)(2) P(X-81)解：E所YrMT)=呜-4DP(X-8<1)POX9)7-8X-89-8=尸(一-222(2)=(0.5)-(-0.5)=2(0.5)-l=O3810课堂讨论题设随机变量XN(m,4,求：叩-"4L96)HH2Jto)F(二>3=求=0.058,甥值(3)记O解：(1) P(-L96<X-l96)=P(-196<1.96)=(196)-(-l-%)=2(196)-1=2(1驹-1，0J5(2) P(-258<X-258)=P(-28<2.58)c=(238)-(-2-58)=2(258)-1=2(X58)-1(3) )。o=1(uw)=0.05(mJ=095查附表3,%=H5上侧（右侧）。分位点：设h"（0,1）,若必满足条件:PiX>ua:a,OVOVl则称“为标准正态分布的上侧（右侧）。分位点上侧（右侧）。分位点例（最佳方案的设计）从南郊某地乘车前往北区火车站，搭车路线有两条：第条：穿越市区，路程较短，但交通拥挤，所需时间 较少，所需时间（单位：min） （1）若提前70min出发, （2）若提前60dn出发，（单位：min）才/V（50,IO?）.第二条：沿环城公路，路程较长，但阻塞Y7N（60,42）；现问：应走哪条路线较好？应走哪条路线较好？解：应选择在允许时间内有较大概率及时赶到火车站搭车的路线（1） 70min内走第一条路线及时赶到的概率为70-50PX70）=（-）=（2）=09773走第二条路线及时赶到的概率为70-60P(X70)=(-)=(25)=O9938如果提前70min出发，应选择走环城公路。（2） 60min内走第条路线及时赶到的概率为60-50AT60)=(-)=401)=08413PX60)=(竺二竺)=(0)=054如果提前60min出发，应选择走穿越市区。正态分布应用广泛，大量实践经验与理论分析表明，许多医药学指标，如人体的某些正常生理值，可以看作或近似看作正态分布。同时，正态分布在误差理论和统计推断中也占有特别重要的地位，这点在以后各章中将会看到。四、对数正态分布在医药学中，收缩压和舒张压、全血中的尿素、非蛋白氮、肌酎、血清和血浆中的钾以及生物鉴定中动物反应率关于剂量的分布等，都服从对数正态分布。定义2.13若随机变量4的概率密度函数为Ir_.“3：X>0“力=<诟五O.x0其中，。'>0）为常数，则称1服从参数为'和。'2的对数正态分布（LOgarithnliCnormaldistribution）,记为XZr（，o,2）若随机变量X服从对数正态分布£”（，。2）,则5X?N（，2）,这也就是对数正态分布名称的由来。对数正态分布的密度函数图形如下图所示，它不对称、偏向左侧、右尾较长，相对于正态性而言，这种偏态称为正偏态或右偏态。五、威布尔分布在医学上，常用威布尔分布分析药品的有效期，体外释放度和严重疾病患者的存活期等。定义2.14若随机变量X的概率密度函数为(X)w-lrfi(y/W=f)O.x<.则称/服从参数为叫at 的威布尔分布（Weibull其中，m,a,B(力0,£为)为常数,distribution),记为THYm,a,)o威布尔分布的分布函数为<a威布尔分布密度函数和分布函数图形如下图所示.其概率密度函数式中的三个参数，m称为形状参数,。称为位置参数，£称为尺度参数，下图显示这些参数取不同值时，对概率密度曲线的影响。尔分布近似于一个正态分布，因此，这些年来，在生物学、药学及可靠性分析中常常应用到威布尔分布。第五节随机向量在概率论的实际应用中，往往要同时涉及两个或两个以上的随机变量。例如，为了研究某地区儿童身体的发育情况，要用身高、体重、胸围等多个随机变量来表示。通常把与同一随机现象相联系的多个随机变量看作一个整体，称为多维随机变量或多维随机向量。个随机变量力,，X,构成的一个维向量(用，)称为维随机变量或n维随机向量。-维推广到二维一、随机向量的联合分布函数定义2.15设一个随机试验的样本空间为0,X(e)与r(e)是定义在0上的随机变量，它们构成的一个向量(川V)称为二维随机变量(twodimensionalrandomvariable)或称二维随机向量。在引入一维随机变量时，一个基本事件e被映射为数轴上的一个随机点X(e),而这里一个基本事件e被映射为平面上的一个随机点(X(e),K(e)o/(*)：招长H血压1f(r)：收缩压旭期B艳的位置】图二维RI机宣里定义示意图二维随机向量的性质不仅与1和Y有联系，而且还依赖于两个随机变量的相互关系。因此，单独研究才和V的性质是不够的，还需要将(XD作为一个整体来考虑，这就需要引进联合分布的概念。定义2.16设(Q为二维随机变量，对任意实数X和必二元函数F(x,y)=PQX，,Ky)称为二维随机变量(D的联合分布函数。记F(x,+o°)=P(Xx,Y+o°),F(x,8)称为X的边缘分布函数(InarginaIdistributionfunction),记为Fx(x)o记F(+8,y)=P(X+<×>,Yy),F(y,oo)称为Y的边缘分布函数(marginaldistributionfunction),记为Fy(y)o二缰分布函数俏区雌二维分布函数F(x,y)的性质：(1) F(x,y)是不减函数；(2) 0F(x,y)1与一维的情形类似，常见的二维随机变量有离散型和连续型两类。定义2.17如果二维随机变量(K)所有可能取值的个数是有限个或无限可列个时，则称(XD是二维离散型随机变量；P(X=xlf上力)=pij,f，户1,2,，为二维离散型随机变量(D的联合概率函数(jointprobabilityfunction)；NX=A=ZPj=Pi,i=1,2,称为一的边缘概率函数(marginalprobabilityfunction):趴x=y)=Po=PJ类似地，i,/=1,2,，称为Y的边缘概率函数，可用如下表格形式表示二维离散型随机向量(X,Y)的联合分布概率与边缘概率函数XYPi.yly2ymxlPllpl2plmpl.x2P2p22p2mp2.Xnpnlpn2pnmpn.p.J：）.1P.2p.m1联合概率函数PiJ具有下列性质：（1）外N°dj=12VVP=I（2）/；,所有可能取值的概率和为1。例设二维随机变量（D可能取的值为（0,2）,（1.5,1）,（1.5,2）,（2,-1）；且取这四个值的概率依次为1/2,1/4,1/8,1/8；求（Xr）的联合概率函数。JT-1120001/21.501/41/82i00例设两枚硬币，第枚掷-次，第二枚掷两次，试求两枚硬币掷出的正面次数的联合分布律。解设力表示“第一枚硬币掷出正面”，I表示第枚硬币掷出的正面次数，分（J=l,2）表示“第二枚硬币第J次掷出正面”，？表示第二枚硬币掷出的正面次数，尸(X=OJ=O)=F(2辐)=；P(X=O.y=)=尸(居瓦,离星)=28尸(X=QY=2)=P(祝AJ=I8尸(X=Ijr=O)=尸(居同=JP(Jr=Ly=I)=P(典瓦<aB:)=:尸(X=Ijr=2)=p(eJ=;XYP（六小）01201/81/41/81/211/81/41/81/2P（六必）1/41/21/41年，ykg,l¾0（X，Y）的联合分布函触AJr，"为Qx<9y<01的边修分布函物为而边运分布函敢为Q <aI”< J<.；,“<LL AL1. ty2；.O<x<LO<jr<l. 3 “（二）联合概率密度函数（jointprobabilitydensityfunction）若二维随机变量（D的联合分布函数b（x,y）对任意实数从匕存在非负函数F（局y）,使/（2）=匚匚a,y）dxdy成立，则称（D为二维连续型随机变量，函数F（x,y）称为二维连续型随机变量（D的联合概率密度函数，简称联合密度（或联合分布密度）。连续型：联合密度为f（刈y）则X的边缘分布函数为6(X)=FH4w)=02(,*>k因此，"）=匚/（”饭称为X的边缘概率密度。类似地，45=匚/（"为称为？的边缘概率密度。联合密度的性质：/（,）(2)而（Ky）、（3）若f（%y）在（y）处连续，则二阶混合偏导数S.(4)二维随机变量（X, Y）落在区域D内的概率为(Xne)=jJ(,)<0例设（X,Y）的联合密度为U>) =,xrj0 ,其它（1）常数k；（2）联合分布函数F（x,y）；A-g)HXx<L09<x)X0<r< 1, O<y<)=>(.jy) J¾> (xy)dx<!y zn1 xIx-dxdj-fgrtd47d>, 1 1=<r dx(l-*)e*(l-*)dxO例已知二维正态随机变量(X, Y)的概率密度为 11(x-a)2小加2"J“E -i7j丁厂卜尸)dx1-J-d(.)-(-i)je<f(-2x)÷1÷M -(el-)÷l(e2-el)17】不-o *y二 YY 22_2q(a闻(尸叫(尸)'(-0o <x<-,-0D<j<-Hc)(3) P(O<<1,O<K1)；(4)PCO<X<1,O<K)三*三*三*三÷,I=JIf>,)dxa=Jfd"dx*=ftjrdxJ9OTF力H(2)当x2O,y20时，X7IT尸(三力=I，(!GV)ArfV=jj<f<*9y=jr出j=尸中飞=QYTXIY。所以WaRS)=。,其它(3)记。=g创Oa<LXf<1OTV1,0<r<l)=a(neD>jJ/Uy)dxd>D1111=I/.5,dxdy=<dxj厂dp=O-e1f其中,l>0,2,。2>0,0>0为常数，求才和Y的边缘函数Akx),f(y)由定义，才的边缘密度1 (Ff N<E(yA)(y11/(xy)-jr=J27ll-pdy令”&；得”喇则=d(i7FXa)=全芦!丸二&C分同理可得】的边缘密度为显然，二维正态分布的边缘分布仍为正态分布.正态分布的联合密度与。有关，而边缘密度则。无关,故边缘密度不能唯一确定:密度。但在独立的条件下，边缘密度可以确定联合密度。边缘分布就是通常的分布，并无任何特殊的含义，如果非要指出它的含义，它不过是强调了“这个分布是由于X或卜作为向量(D的分量，从联合分布中派生出来