概率论与数理统计复习资料知识点总结.docx

概率论与数理统计第一章随机事件与概率1 .事件的关系A仁BA同BABA-B、业OAB=O2 .运算规则(I)A同B=B同AAB=BA(A同B)同C=A同(B同C)(AB)C=A(BC)(3) (A同B)C=(AC)同(BC)(AB)同C=(A同C)(B同C)A同B=ARAB=A同百3.概率P（八）满足的三条公理及性质：0共P（八）共1P(Ik)=1(3)对互不相容的事件A,A,二，A；有P(UnB)=XnP(,)S可以取W)k=1k=1(4) P(O)=0(5)P(Af=1-P（八）(6) P(A-B)=P（八）-P(AB),若A仁B,则P(B-A)=P(B)-P（八）,P（八）共P(B)(7) P(A同B)=P（八）+P(B)-P(AB)(8) P(A同B同C)=P（八）+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)4 .古典概型：基本事件有限且等可能5 .几何概率6 .条件概率(1)定义：若P(B)>0,则P(A|B)=?黑)P(B)(2) 乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B)若B,B,B为完备事件组，P(B)>0,则有12ni(3)全概率公式：P（八）=×nP(B)P(A|Bj)1=1(4) Bayes公式：P(BA)=×nP(B)P(AB)iii=17 .事件的独立性：A,B独立一P(AB)=P（八）P(B)(注意独立性的应用)第二章随机变量与概率分布1 .离散随机变量：取有限或可列个值，P(X=X)=P满足(1)P之O,(2)xP=1iiII(3)对任意D仁R,P(X=D)=×pi:x=D2 .连续随机变量：具有概率密度函数f(X),满足(1)f(X)之O,j+Wf(x)dx=1；(2)P(a共X共b)=Jbf()dx；(3)对任意a=R,P(X=a)=03.几个常用随机变量3名称与记号分布列或密度数学期望方差两点分布B(1,p)P(X=1)=p,P(X=0)=q=1pPpq二项式分布B(n,p)P(X=k)=Ckpkq,k=0,1,2,.n,nPnpqPoisson分布P(入)P(X=k)=e-入k=0,12入入几何分布G(P)P(X=k)=qk-p,k=1,2,.1PqP2均匀分布U(a,b)f(x)=-La共X共b,b-aa+b2(ba>12指数分布E(入)f(x)二入e-x,x之011正态分布N(山,G2)f(X)=_腰丁与G山G24.分布函数F(x)=P(X共X),具有以下性质F(w)=0,F(+w)=1；(2)单调非降；(3)右连续；(4)P(a<Xftb)=F(b)-F(a),特别P(X>a)=1-F(a)；(5)对离散随机变量，F(X)=XP；ii:X苦X对连续随机变量，F(x)=jfdt为连续函数，且在f(X)连续点上，F(X)=f(X)-W5.正态分布的概率计算以C(X)记标准正态分布N(OJ)的分布函数，则有VIII(1) C(O)=0.5；(2)C(-)=1-C(X);若XN(山中)，则F(X)=C(-J；(J(4)以U记标准正态分布N(0,1)的上侧分位数，则P(X>u)=1-(u)acici6.随机变量的函数Y=g(X)(1)离散时，求Y的值，将相同的概率相加；(2) X连续，g()在X的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则f(y)=f(g-y)I(g-y),I,若不单调，先求分布函数，再求导。YX第四章随机变量的数字特征1.期望(1)离散时E(X)=×P,E(g(X)=g(x)p；iiii连续时E(X)=Jmxf(x)dx,E(g(X)=J÷xg(x)f(x)dx；-ODF二维时E(g(X,Y)=g(×,y)p,三(g(×,丫)="g(,y)f(,y)ddyijiJYYU(4)E(C)=C:(5)E(CX)=CE(X),(6)E(X+Y)三三E(X)+E(Y)；(7)X,Y独立时，E(XY)=E(X)E(Y)2.方差(1)方差D(X)=E(X-E(X)2E(X2)-(EX)2,标准差b(X)=yD(×)；(2) D(C)=O5D(X+C)=D(X)；(3) D(CX)=C2D(X)；(4) X,Y独立时，D(X÷Y)=D(X)+D(Y)3.协方差(1) Cov(X,Y)=E(X-E(X)(Y-E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)(2) Cov(X,Y)=Cov(Y,X),Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)；Cov(X+X,Y)=Cov(X,Y)÷Cov(X,Y)；1212(4) COV(X,Y)=0时，称X,Y不相关，独立=>不相关，反之不成立，但正态时等价；(5) D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)4.相关系数P=CoV(X,Y)；有IP1,Ip1=1<=>3a,b,P(Y=aX÷b)=1×(X)(Y)XYXY5.k阶原点矩V=E(Xk),k阶中心矩U=E(X-E(X)kkk第五章大数定律与中心极限定理1 Chebyshev不等式PX-E(X)MSD(X)_或pX-E(X)<>1-D(X)_E2E22 .大数定律3 .中心极限定理(1)设随机变量X,X,，X独立同分布E(X)=U,D(X)=2，则12niIX-nnxN(n,n112),或?XN(,!)或_-N(0,1),J近似ki近似nn近似(2)设m是n次独立重复试验中A发生的次数，P（八）=p,则对任意x,有IimPmr2px=(x)或理解为若XB(n,p),则XN(np,npq)nc、npq近似第六章样本及抽样分布1 .总体、样本(1) 简单随机样本：即独立同分布于总体的分布(注意样本分布的求法);(2) 样本数字特征：样本均值X-=EX(E()CJ=,D(JQ=E);nini1样本方差S2=1I(X=又)2(E(S2)=G2)样本标准差n-1i1s=vx*i三1样本k阶原点矩VJ?Xk,样本k阶中心矩H=n(X-X)kknKnii1i三12 .统计量：样本的函数且不包含任何未知数3 .三个常用分布(注意它们的密度函数形状及分位点定义)(1)X2分布2=X2+X2+X22(n),其中X,X,X独立同分布于标12n12n准正态分布N(0,1)，若XY且独立，则X+Y，W+,；(2) t分布t =t(n),其中XN(0,1),Y/2(11)且独立;X/Fl3 3)F分布Fr-F(n,n),其中X72(n),Y?2(n)且独立，有下面的Y/n12122性质IF(n,n),F(n,n)=1F21ij12F(n,n)U214 .正态总体的抽样分布(1)XN(u,Q2n)：(2)-1n(×一u)22(n)；02i(n-1)S2y2(n_i)且与"X独立;-t(n-1)；2Snt-U叩2Gn-2),S28SzYn-吟侬SUn÷n12n+n-2U*1212f-S22L/-(6)F：11F(n-1,n-1)S221222第七章参数估计1 .矩估计：(1)根据参数个数求总体的矩；(2)令总体的矩等于样本的矩；(3)解方程求出矩估计2 .极大似然估计：(1)写出极大似然函数；(2)求对数极大似然函数(3)求导数或偏导数；(4)令导数或偏导数为0,解出极大似然估计(如无解回到(1)直接求最大值，一般为min1或max×)3.估计量的评选原则无偏性：若E()=0,则为无偏；(2)有效性：两个无偏估计中方差小的有效；4.参数的区间估计(正态)参数条件估计函数置信区间U02已知X-UU=/r×+u-Z=n2。2未知-ut=而×5t(n-1)-L；02U未知02r(n-I)s2(n-1)s2X2(-1)X2(n-1)22概率论与数理统计第一章概率论的基本概念§2.样本空间、随机事件1 .事件间的关系AjZB则称事件B包含事件A,指事件A发生必然导致事件B发生AuB=xxA或XB称为事件A与事件B的和事件，指当且仅当A,B中至少有一个发生时，事件AUB发生AnB=xxA且XB称为事件A与事件B的积事件，指当A,B同时发生时，事件ACB发生AB=×xA且X茫B)称为事件A与事件B的差事件，指当且仅当A发生、B不发生时，事件A-B发生ArB=O,则称事件A与B是互不相容的，或互斥的，指事件A与事件B不能同时发生，基本事件是两两互不相容的ADB=S且ACB=0,则称事件A与事件B互为逆事件，又称事件A与事件B互为对立事件2 .运算规则交换律AuB=BoAAnB=BnA结合律(AUB)UC=AD(BUC)(ACB)C=A(BCC)分配律AU(BCC)=(AuB)O(AuC)An(BuC)=(AnB)(AnC)德摩根律AuB=AnBAnB=AuB3 3.频率与概率定义在相同的条件下，进行了11次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数n称为事A件A发生的频数，比值以/1称为事件A发生的频率解：设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P（八）,称为事件的概率1 .概率P（八）满足下列条件：(1)非负性：对于每一个事件A0P（八）1(2)规范性：对于必然事件SP(三)=1可列可加性：设A,A,，A是两两互不相容的事件，有P(UnA)=XnP（八）(n可12nkkk=1k=1以取W)2 .概率的一些重要性质：(1) P(O)=0(ii)若A,A,，A是两两互不相容的事件，则有P(UrlA)=XnP（八）(n可以取W)12nkkk=1k=1(iii)设A,B是两个事件若A彳二B,则P(B-A)=P(B)-P（八）,P(B)>P（八）(M对于任意事件A,P（八）共1(V)P(A11=1-P（八）(逆事件的概率)(Vi)对于任意事件A,B有P(A同B)=P（八）+P(B)-P(AB)§4等可能概型(古典概型)等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同若事件A包含k个基本事件，即A=eUeUUe,里h'2'k1, i，i是1,2,n中某k个不同的数，则有1 2.kP（八）=×kPe)三k=A包含的基本事件数a一nS中基本事件的总数j=15 5.条件概率(1)定义：设A,B是两个事件，且P（八）>0,称P(B|A)=0供®).为事件A发生的条P（八）件下事件B发生的条件概率(2) 条件概率符合概率定义中的三个条件1 .非负性：对于某一事件B,有P(BlA)>02规范性：对于必然事件S,P(S|A)=13可列可加性：设B,B,是两两互不相容的事件，则有12P(UWsA)=×wP(EA)1=1i=1(3) 乘法定理设P（八）>0,则有P(AB)=P(B)P(AB)称为乘法公式(4)全概率公式：P（八）=XnP(B)P(AIB)IiP(B)P(AB)贝叶斯公式：P(BJA)='J'JZP(B)P(AB)§6.独立性定义设A,B是两事件，如果满足等式P(AB)=P（八）P(B),则称事件AtB相互独立定理一设A,B是两事件，且P（八）>O,若A,B相互独立，则P(BIA)=P(B)定理二若事件A和B相互独立，则下列各对事件也相互独立：AVR,K与B,K与B第二章随机变量及其分布§1随机变量定义设随机试验的样本空间为S=e.X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数，称X=X(e)为随机变量§2离散性随机变量及其分布律1 .离散随机变量：有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量P(X=X)=p满足如下两个条件(1)P>O,(2)XWP=1kkkkk=12 .三种重要的离散型随机变量(D(O-D分布设随机变量X只能取0与1两个值，它的分布律是p(X=k)=p(1-p)-k,k=0,1(0<p<1),则称X服从以p为参数的(0-1)分布或两点分布。(2)伯努利实验、二项分布设实验E只有两个可能结果：A与氐，则称E为伯努利实验.设P（八）=p(0<p<1),此时P（八）=1-p.将E独立重复的进行n次，则称这一串重复的独立实验为n重伯努利实验。P(X=k)=(k)pqn-k,k=0,1,2,n满足条件Pk>0,(2)乙Pk=I注意kl到(IK：)IlPkqn*是二项式(P+q)n的展开式中出现Pk的那一项，我们称随机变量X服从参数为n,p的二项分布。(3)泊松分布设随机变量X所有可能取的值为0,1,2，而取各个值的概率为P(X=k)=kk=0,1,2，其中入>0是常数，则称X服从参数为入的泊松分布记为K!X”(入)§3随机变量的分布函数定义设X是一个随机变量，X是任意实数，函数F(X)=PX不x,-w<x<w称为X的分布函数分布函数F(X)=P(X不X),具有以下性质F(X)是一个不减函数(2)0不F(X)不1,且不W)=0,F(W)=1(3)F(X+0)=F(X),即F(X)是右连续的§4连续性随机变量及其概率密度连续随机变量：如果对于随机变量X的分布函数F(x),存在非负可积函数f(x),使对于任意函数X有F(X)=jxf(t)dt,则称X为连续性随机变量，其中函数f(x)称为X-W的概率密度函数，简称概率密度1概率密度f(X)具有以下性质，满足率)f(X)之0,(2)J+wf(x)dx=1；-W(3) P(x不X不X)=j、2f(x)dx；若f(X)在点X处连续,则有F(X)=f(X)122,三种重要的连续型随机变量,(1)均匀分布2 < X < h,则成X在区间(a,b)上服从其他K1若连续性随机变量X具有概率密度f(x)=(6aIl。均匀分布.记为XU(a,b)(2)指数分布K1Px1.9.其中9 >0为常数，则称X,其他若连续性随机变量X的概率密度为f(×)=(3RIIO服从参数为9的指数分布。(3)正态分布、1(X-山况若连续型随机变量X的概率密度为f(x)=7凌，wVXVw,其中山，装(装>0)为常数，则称X服从参数为山，装的正态分布或高斯分布，记为XN(LLI，装2)特别，当山二0,装二1时称随机变量X服从标准正态分布§5随机变量的函数的分布定理设随机变量X具有概率密度f(X),-W<X<w,又设函数g(X)处处可导且恒有Xg-(X)>0,则Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度为f(y)=JKy(4a<y<bYO,其他第三章多维随机变量§1二维随机变量定义设E是一个随机试验，它的样本空间是S=e.X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量，称X=X(e)为随机变量，由它们构成的一个向量(X,Y)叫做二维随机变量设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数X,y,二元函数F(x,y)=P(X共X)后(Y共y)记成PX共x,Y共y称为二维随机变量(X,Y)的分布函数如果二维随机变量(X,Y)全部可能取到的值是有限对或可列无限多对，则称(X,Y)是离散型的随机变量。我们称P(X=X，Y=y)=P，i，j=1,2,.为二维离散型随机变量(X,Y)的iiG分布律。对于二维随机变量(X,Y)的分布函数F(X，y),如果存在非负可积函数f(x,y),使对于任意X,y有F(x,y)=jyjxf(u,v)dudv,则称(x,)是连续性的随机变量，-W-W函数f(x,y)称为随机变量(X,Y)的概率密度，或称为随机变量X和Y的联合概率密度。§2边缘分布二维随机变量(x,Y)作为一个整体，具有分布函数F(,y).而X和Y都是随机变量，各自也有分布函数，将他们分别记为F(x),F(y),依次称为二维随机变量(X,丫)XY关于X和关于Y的边缘分布函数。p=ZP=PX=x,i=1,2,.p=l-p=PY=y,j=1,2».Liji.jijii=i=分别称P.P,为(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律。I.Jf(X)=j.f(x,y)dyf(y)=j«f(x1y)dx分别称f(x),X-XY-OD×f(y)为x,Y关于X和关于y的边缘概率密度。Y§3条件分布定义设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j,若PY=y_>0,PX=X,Y=yp则称PX=XY=y=_.j=-干，i=1,2,为在Y=y条件下>jPY=ypjJiPX=X,Y=yP才小；"Jx"J.同八PY=yX=X=I_!一=_,j=1,2,jliPX=xp为在X=条件下随机变量X的条件分布律。设二维离散型随机变量(X,Y)的概率密度为f(,y),(x,Y)关于Y的边缘概率密度为f(y),若对于固定的y,f(y)0,则称f(X'V)为在Y=y的条件下X的条件概率密度，记为fl(x)Xkvf(y)§4相互独立的随机变量定义设F(x,y)及F(X),F(y)分别是二维离散型随机变量(X,Y)的分布函XY数及边缘分布函数.若对于所有x.y有PX=X,Y=y=PXPYy，即FX,y=F(X)F(y),则称随机变量X和Y是相互独立的。XY对于二维正态随机变量(X,Y),X和Y相互独立的充要条件是参数P=0§5两个随机变量的函数的分布1 ,z=x+y的分布设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度f(,y).则Z=x+Y仍为连续性随机变量，其概率密度为f=j 0 f (x, z x) dx(z)=j0f(zy,y)dy或f(z)X+YX+Y又若X和Y相互独立，设(x,Y)关于X,Y的边缘密度分别为f(X),f(y)则XYf(z)=q>f(z-y)f(y)dy和f(z)=<>f(x)f(z-x)dx这两个公式称为X+Y二eXYX+Y_力XYf,f的卷积公式XY有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布2 ,Z=匚的分布、Z=XY的分布XY设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度f(X,y),则Z=，Z=XYX仍为连续性随机变量其概率密度分别为f(z)=xkf(x,xz)dxVX-J1f(z)=Jf(x)d又若X和Y相互独立，设(x,Y)关于X,的边缘密度分别.zX为f(x),f(y)则可化为f(Z)=(PaOf(x)f(xz)dxXVX_jcXYf(z)=rLf(x)f(-zxXX3M=maxX,Y)及N=minX,Y的分布设X,Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为F(x),F(y)由于XYM=maxX,Y不大于Z等价于X和Y都不大于Z故有PMz=PXz,Yz又由于X和丫相互独立，得到M=maxX,Y的分布函数为F(Z)=F(z)F(z)maxXYN=minX,Y的分布函数为F(z)=1-tl-F(z)-F(z)minXY第四章随机变量的数字特征§1.数学期望定义设离散型随机变量X的分布律为PX=X=p,k=1,2,若级数Z'XP绝对kkkkk=1收敛，则称级数Z'XP的和为随机变量X的数学期望，记为E(X),即E(X)=WXPkkkkk=1i设连续型随机变量X的概率密度为f(x),若积分<p'Xf(x)dx绝对收敛，则称积分