第2讲空间几何体的表面积与体积.docx

第2讲空间几何体的表面积与体积必础知识整合|知识梳理1.多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是凹侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面面积之和.2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图2然.唇.*Oz侧面积公式S圆柱侧=四2"/S圆锥侧二置”S圆台例二园兀Q+2）/3.柱、锥、台和球的表面积和体积匕称表面积体积柱体（棱柱和圆柱）S表面积=S根|+2S底V=Sh锥体（棱锥和圆锥）S表面积=S根I+S底V=三S台体（棱台和圆台）S表面积=S侧+S上+S下V=（5上+S下+、/S上S下）5球S=E4rzV=三知识拓展1 .与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.2 .几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为凡球的半径为R,若球为正方体的外接球，则2H=5;若球为正方体的内切球，则2R=;若球与正方体的各棱相切，则2R=i.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,J外接球的半径为R,则2R=a所以这个球的表面积为5 = 42 = 4×32 = 36.选C. (2020.北京高考)某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱+b1+c1.(3)直棱柱的外接球半径可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，可知球心为上下底面外接圆圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径.(4)设正四面体的棱长为凡则它的高为手,内切球半径二暮，外接球半径H=乎”正四面体的外接球与内切球的半径之比为3:1.双基自测1. (2020天津高考)若棱长为2小的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A.12B.24C. 36D.144答案C(25)2 + (2 + (25)22解析正方体的外接球半径等于正方体的体对角线的一半，即R=柱的表面积为（）侧（左）视图B. 6 + 23D. 12 + 23A.6+3C.12+3答案D解析由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面均为边长为2的正方形，则其表面积为S=3×（2×2）+2×（×2×2×sin60oJ=12+2i故选D.3. （2020.浙江高考）某几何体的三视图（单位：Cm）如图所示，则该几何体的体秋单位：cn?）是（）47，4a3bTC.3D.6答案A解析由三视图可知，该几何体的上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱,且棱锥的一个侧面垂直于底面，棱锥的高为1,棱柱的底面为等腰直角三角形,棱柱的高为2,所以几何体的体积为;义（卜2><1b1+（92乂1卜2=；+2=（故选A.4. （2020蚌埠质检）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为（）B. + 2D. 2 + 24C.2+g答案A解析由三视图可知，该几何体由半个圆柱和一个三棱锥组合而成.故该几1114何体的体积为5XX122+yXEX2X2X2=+G.5 .如图，半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的棱长为加，则球的表面积和体积分别为,.1j-.答案3636解析底面中心与Cf的连线即为半径，设球的半径为R,则e2=（6）2+（小）2=9.所以/?=3,所以S球=4R2=36,V球二方兀/尸=3671.6 .如图所示，已知球。的球面上有四点A,B,CfDiOA，平面ABC,ABIBC,DA=AB=BC=g则球。的体积为.Mrg9答案y解析由题意知，OC边的中点就是球心。，：球的半径R=TC。，又AB=l3C=3,.AC=6,.CD=yAC2+AD2=3,=92 =3X43=O球V核心导向突破考向一几何体的表面积例1(1)下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是()B. 4 + 42D. 4 + 23A.6+42C.6+23答案C解析根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，该几何体为如图所示的三棱锥A-BCa则SAABc=SzvADC=ScD8=gx2X2=2,根据勾股定理可得48=40=。3=2啦，.24。8是边长为2啦的等边三角形，.Sf8=ABADsin60o=×(22)2×=23./.该几何体的表面积是3×2+23=6+2i故选C.(2)(2020衡水模拟)如图是某个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是侧视图IE视图俯视图A. + 4y2 + 4C. 2 + 42 + 2答案BB. 2÷42 + 4D. 2 + 22 + 4解析由几何体的三视图可知,该几何体是由半圆柱与三棱柱组成的几何体,其直观图如图所示，其表面积S=2X%xM+2xx2X1+(5+5+2)×2-2×l=2+42+4.½jB.触类旁通几类空间几何体表面积的求法(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和.(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和.(3)简单组合体：应弄清各构成部分，并注意重合部分的删、补.(4)若以三视图形式给出，解题的关键是根据三视图，想象出原几何体及几何体中各元素间的位置关系及数量关系.即时训练1.(2020达州模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为()B. 24D. 32A.20C.28答案C解析由三视图可知该几何体为组合体，上半部分为圆柱，下半部分为圆锥,圆柱的底面半径为1,高为2,圆锥的底面半径为3,高为4,则该几何体的表面¾RS=×32+×3×5+2×l×2=28.½½C.2.（2020宜春模拟）某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1,则该几何体的表面积为（）A.8+42+25B.6+42+45C.6+22+25D.8+22+25答案C解析由三视图可知，该几何体为放在正方体内的四棱锥七-ABCQ,如图，正方体的棱长为2,该四棱锥底面为正方形，面积为4,前后两个侧面为等腰三角形，面积分别为22,2,左右两个侧面为直角三角形，面积都为小，可得这个几何体的表面积为6+2吸+2小，故选C.精准设计考向，多角度探究突破考向二几何体的体积角度1补形法求体积例2(1)如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A.90B.63C.42D.36答案B解析由几何体的三视图可知,该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得,如图所示.将圆柱补全，并将圆柱从点A处水平分成上下两部分.由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的所以该几何体的体积V=×32×4+×32×6×=63.½B.某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积为答案40解析由题意知去掉的四棱柱的底面为直角梯形，底面积S=(2+4)X22=6,高为正方体的棱长4,所以去掉的四棱柱的体积为6X4=24.又正方体的体积为43=64,所以该几何体的体积为64-24=40.角度2分割法求体积例3(1)(2020兰州模拟)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题：“今有刍费，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊柱的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为()A. 5000立方尺C. 6000立方尺 答案AB. 5500立方尺D. 6500立方尺解析该楔体的直观图如图中的几何体ABCDEE取A3的中点G,CQ的中点H,连接尸G,GH,HF,则该几何体的体积为四棱锥产-GBCH与三棱柱AoE-G”产的体积之和.又可以将三棱柱AQE-GH尸割补成高为所，底面积为S二13312×3×1=K平方丈）的一个直棱柱，故该楔体的体积V=2×2÷3×2×3×l=5（方丈）=5000（立方尺）.故选A.（2）祖晅是我国南北朝时期的伟大科学家，他提出的“事势既同，则积不容异”称为祖咆原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sz,其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示（单位：Cm）,则该柱体的体积（单位：Cm3）是（）A.158B.162C.182D.324答案B解析如图，该柱体是一个五棱柱，棱柱的高为6,底面可以看作由两个直角梯形组合而成，其中一个上底为4,下底为6,高为3,另一个的上底为2,下2+64+6底为6,高为3.则底面面积S=-×3+-×3=27,因此，该柱体的体积V=27X6=162.故选B.角度3转化法求体积例4（1）如图所示，在正三棱柱ABC-AiBG中，AB=4,AAl=6.若&F分别是棱SB,CG上的点，则三棱锥A-A化尸的体积是.答案83解析由正三棱柱的底面边长为4,得点厂到平面44七的距离(等于点。到平面AiABBi的距离)为坐×4=23,则V三棱锥A_八严=V三棱锥尸_廿£=Sa1e×23=××6×4×23=83.(2)在三棱锥尸-ABC中，D,七分别为尸B,PC的中点，记三棱锥。-ABE的体积为力,三棱锥尸-ABC的体积为於，则募=.答案I解析如图所示，由于D1E分别是边PB与PC的中点，所以SWE=%BC.又因为三棱锥A-BDE与三棱锥A-PBC的高相等，所以V二0-*0-触类旁通(1)处理体积问题的思路指的是转换底面与高.将原来不容易求面积的帐面转换为容易求面积的底面,或将原来不容易行出的高转换为容易行出并容易求斛的高指的是将个不规则的几何体拆成几个简单的几何体,便于计算指的是将小几何体液入一个大几何体中.如行时将一个:棱锥复原成一个:棱柱.将一个:极住复原成一个四棱柱（2）求体积的常用方法直接法对于规则的几何体，利用相关公式直接计算割补法首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体、不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算等体积法选择合适的底面来求几何体的体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任何一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换'即时训练3.（2020巴中模拟）九章算术是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱.已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是（）俯视图B. 75D. 37.5A.50C.25.5答案D解析如图，由题意及给定的三视图可知，剩余部分是在直三棱柱的基础上,截去一个四棱锥CLMNBA所得的，且直三棱柱的底面是腰长为5的等腰直角三角形，高为5.图中几何体ABCClMN为剩余部分，因为AM=2,SGL平面MNBIA1,所以剩余部分的体积V=V三棱柱AF£/sc-V四棱锥CLW帅心二X5X5X5-×3×5×5=37.5,故选D.4.如图所示，正方体A8CQ-43Gn的棱长为1,E,产分别为线段AAi,BC上的点，则三棱锥Qi-£。/的体积为答案I解析三棱锥n-EO尸的体积即为三棱锥尸-OD归的体积.因为&F分别为线段A4,Be上的点，所以在正方体4BCO-ABaol中，AEQU的面积为定值芯尸到平面MAQ的距离为定值1,所以V三棱锥人叫"WXTXIj考向三与球有关的切、接问题例5（l）（2019全国卷I）已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球。的球面上，PA=PB=PC,ZVlBC是边长为2的正三角形，E,尸分别是以，AB的中点，ZCEF=90。,则球。的体积为（）A.86B.46C.2yD.y答案D解析设=PB=PC=2,贝jEF=,FC=3,.EC2=3-a2.B在中,a “切”的处理+3-er-(2a)解决与球有关的内切问题主要是指球内切于多面体与旋转体，解答时首先要C°SZP£C=2a-02+3-2-4在AfC中，cosZAEC=、.2aJ3-az2NPEC与NAEC互补，/.3-42=1,a=等故¾=PB=PC=i又AB=BC=AC=2,.PA1PB,PC两两垂直，外接球的直径2R=(2)2+(2)2+(2)2=6,.R=害,.V=+R3=g7l(当)二祈.故选D.(2)(2020全国卷III)已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为AyIrCta巾答案3×(3 + 2÷解析易知半径最大的球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中8C=2,AB=AC=3t且点M为BC边上的中点，设内切球的球心为0,由于A"=、32-12=2吸,故Sy"Kx2X2啦=2设内切球的半径为人则Sabc=SAOB+SABoc+Saoc=/XABXr+/XBCXr+XACXr二3)×r=22,解得r=当,所以内切球的体积V=亭.找准切点，通过作截面来解决.如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面.触类旁通.“切”“接”问题的处理规律（2） “接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题.解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.'即时训练5.设A,B,C,。是同一个半径为4的球的球面上四点，AABC为等边三角形且其面积为95,则三棱锥。-A8C体积的最大值为（）A.123B.183C.243D.543答案B解析如图所示，点M为三角形ABC的重心，石为AC的中点，当OMl平面ABC时，三棱锥O-ABC体积最大，此时，OD=OB=R=4.Sabc二坐AB2=93,.AB=6,点M为三角形A8C的重心，.5M=铲E=25,在Rt0M8中，OM=OB2-BM2=2.DM=OD+OM=4+2=6,（V三楂锥A8c）max=§X95X6=184.故选B.6.（2020.宜宾模拟）已知正三棱锥的高为1,底面边长为25,内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为.答案2-l解析如图,过点P作POl平面ABC于点。连接AD并延长交BC于点E1连接尸已因为AABC是正三角形，所以AE是BC边上的高和中线，D为AABC的中心.P因为A8=8C=25,所以Sz18c=35,DE=1,PE=y2.所以S=3×5×23×2+33=36+33.因为Po=1,所以三棱锥的体积v=gx35x=i设球的半径为人以球心。为顶点，三棱锥的四个面为底面，把正三棱锥分割为四个小棱锥，则Y云润口主培优（十三）巧用补形法求四面体的外接球问题D. 9051. （2020资阳模拟）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的外接球的体积为（）4552C.1805答案A解析构造底面边长为3,6,高为3的长方体，由三视图可知，该几何体是如图1中所示的三棱锥P-A8C.图I所以在该三棱锥中，雨工底面A8C,并且48_LAc把该三棱锥放在如图2所示的底面边长为3啦，高为3的长方体中，则该三棱锥的外接球就是该长方体的外接球，设该三棱锥的外接球的半径为R,则有(2R)2=32+(32)2+(32)2=45,解得R二岁,所以该三棱锥的外接球的体积V=飙3=驾五，故选A.2. (2020.汉中模拟)已知一个四面体ABCD的每个顶点都在表面积为9的球。的表面上，S,AB=CD=aiAC=AD=BC=BD=E则a=.答案22解析由题意，知四面体ABCQ的对棱都相等，故该四面体可以通过补形补成一个长方体，如图所示.S:AF=XiBF=ytCF=z,则W2+z2=y2+z2=小,解得x = y = 2, .a = x2+y2 = 2y2.,答题启示1 .若四面体中有三条棱两两垂直，则方法是找到三条两两互相垂直的棱，借助墙角模型补成长方体(如图)，用公式庐工TK=2R求解.2 .若四面体的对棱相等，则解题步骤为第一步：画出一个长方形，标出三组互为异面直线的对棱；p2+Z72=BC2=2,第二步:设长方体的长、宽、高分别为,O,g列出方程在2+=AC2=凭c2+cr=AB2=2层+加+（其中见从y为常数）=g+A+l=2；I/+2+（2第三步：根据墙角模型，M+庐+c2=2Rn/?="2'°,对点训练1 .在AABC中，AB=AC=j,ZBAC=90°,将AABC沿BC上的高A。折B.2D. 2成直二面角夕-AD-C,则三棱锥8'-ACO的外接球的表面积为（）A.C.3答案C解析如图，.AB=AC="ZC=90o,.BC=2f贝J8。=DC=AD=1,由题意，得AOL底面B'DC,又二面角）-AO-C为直二面角，.8'D1DC,把三棱锥B'-ACO补形为正方体，则正方体的体对角线长为小，则三棱锥）-ACD的外接球的半径为坐,则其外接球的表面积为5=4×惇2=3.故选C.2 .已知正四面体ABCQ的外接球的体积为8加兀，则这个四面体的表面积为答案163解析将正四面体ABCQ放在一个正方体内，设正方体的棱长为出如图所示，设正四面体ABeQ的外接球的半径为R,贝,7求3=8加兀，解得R=y.因为正四面体ABCO的外接球和正方体的外接球是同一个球，则有54=2R=26,所以二2而正四面体ABCD的每条棱长均为正方体的面对角线长，所以正四面体ABCD的棱长为5=4,因此，这个正四面体的表面积为4XX42X遍=16i课时作业1.（2020全国卷I）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）5-15-15+15+1-A4B2C*4D2答案C得PO2K血即从一手=%，化简得哈卜_2§_1=0,解得肛与4负值舍去）.故选C.2.已知圆柱的上、下底面的中心分别为。，02,过直线。1。2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）A.12啦兀B.12C.82D.10答案B解析根据题意，可得截面是边长为2啦的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面是半径为也的圆，且高为22,所以其表面积为5=2（2）2÷2XX25=12兀故选B.3.如图，一个三棱锥的三视图均为直角三角形.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A. 4B. 16C. 24D. 25答案C解析由三视图知该几何体是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，三条侧棱长分别为2,2,4,将该三棱锥补成一个长方体，可知该三棱锥的外接球直径就是长方体的体对角线，所以外接球直径2？=22+22+42=26,则R=#）,故该球的表面积为4兀R2=24兀，故选C4.（2020长治模拟）如图所示，某几何体的正（主）视图是平行四边形，侧（左）视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为（）俯视图A.63B.93C.123D.183答案B解析由三视图，得该几何体为一平行六面体，底面是边长为3的正方形，=22-12=3,所以该几何体的体积V=3X3X小=9i5.正三棱柱的底面边长为小，侧棱长为2,且三棱柱的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A.4B.8C.12D.16答案B解析由正弦定理，得需二24其中为正三棱柱底面三角形外接圆的半径），r=l,外接球的半径小=可产+»=小,.外接球的表面积S=4ttR2=8兀故选B.6. 如图，网格纸上小正方形的边长为2,粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A471atD. 3232兀C答案C解析由三视图知，该几何体的底面是圆心角为120。的扇形，故该几何体的体积为底面半径为4,高为6的圆锥的体积的三分之一，故所求体积V=×兀X426=.故选C.7. （2020全国卷I）已知A,B,。为球。的球面上的三个点，Ool为aABC的外接圆，若C）Ol的面积为4,AB=BC=AC=OOil则球。的表面积为（）A.64B.48C.36D.32答案A解析设圆Oi的半径为，球的半径为R,依题意，得兀/=4兀，/=2.AD由正弦定理可得而而=2r,：.AB=2rsin60°=23.=AB=2i根据圆截面性质得平面ABC,.OOl1OA,R=OA=OO+OA2=00÷r24,球。的表面积S=4R2=64.故选A.8. （202。江西七校联考）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）俯视图B. 48-D. 48-2A.48+C.48+2答案A解析该几何体是正四棱柱挖去了一个半球，正四棱柱的底面是正方形（边长为2）,正四棱柱的高为5,半球的半径是1,那么该几何体的表面积S=2X2X2+4×2×5-×l2+2×l2=48+,故选A.9. （2020河南郑州三模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A5兀at一兀CG答案D解析几何体是半个圆柱挖去半个圆锥所形成的，如图,由题意可知几何体的体积为:XX122-gxxrX122=空.故选D.10. 如图是某几何体的三视图，则此几何体的体积是（）答案DB解析根据三视图知此几何体是边长为2的正方体截去一个三棱锥P-ABC1122剩下的部分（如图所示），所以此几何体的体积为2X2X2-><5X1X2X2=9H.祖暄原理：“羯势既同，则积不容异”.意思是夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等,那么这两个几何体的体积一定相等.现有以下四个几何体：图是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图、图、图分别是圆锥、圆台、半球，则满足祖晒原理的两个几何体为（）A.B.C.D.答案D解析设截面与下底面的距离为队则中截面内圆的半径为h,则截面圆环的面积为兀（依-序）；中截面圆的半径为R-九则截面圆的面积为兀翅-力）2；中截面圆的半径为R-与,则截面圆的面积为兀S）七中截面圆的半径为邓2一亿则截面圆的面积为兀（R2_/?2）所以中截面的面积相等，故其体积相等，故选D.12. （2020河南五校联考）把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20Cm的铁丝接成的四棱锥形框架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点（皮球不变形）,则皮球的半径为（）B. 10 cmD. 30cmA.l(h3CmC.102cm答案B解析依题意，在四棱锥S-ABCQ中，所有棱长均为20cm,连接AC,BD交于点。，连接s。，贝IJSO=AO=BO=CO=OO=Imcm,易知点。到AB,BCiCD,AD的距离均为IoCm,在等腰三角形QAS中，OA=OS=102cm,AS=20cm,所以。到SA的距离d=10cm,同理可证。到SB,SCiSD的距离也为IOCm,所以球心为四棱锥底面48Co的中心，所以皮球的半径R=IOCm,故选B.I)13. （2020江苏高考）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2cm,高为2cm,内孔半径为0.5cm,则此六角螺帽毛坯的体积是cm3.答案123-解析正六棱柱的体积为6××22×2=123cm3,挖去的圆柱的体积为兀g>x2=cm3,故所求几何体的体积为（12小-目cm3.14. （2019全国卷川）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD-AiBiCiDi挖去四棱锥。-EFGH后所得的几何体.其中。为长方体的中心，E,F,G,”分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm,AAi=4cm.3D打印所用原料密度为0.9gcP,不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为g答案118.8解析由题意，知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为6cm和4cm,故V挖去的四棱锥=gxX4X6><3=12(cm3)又因为V长方体=6X6X4=144(cm3),所以模型的体积为V长方体一V挖去的四梭锥=144-12=132(cm3),所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9=118.8(g).15. 已知四棱锥的底面是边长为也的正方形，侧棱长均为小.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为.答案J解析由题意知圆柱的高恰为四棱锥的高的一半，圆柱的底面直径恰为四棱锥的底面正方形对角线长的一半.因为四棱锥的底面正方形的边长为啦，所以底面正方形对角线的长为2,所以圆柱的底面半径为行又因为四棱锥的侧棱长均为5,所以四棱锥的高为(5)2-l2=2,所以圆柱的高为1.所以圆柱的体积V=16. (2020.河南八市重点高中联盟测评)已知一个高为1的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为2的等边三角形，则三棱锥的表面积为,若三棱锥内有一个体积为V的球，则V的最大值为.答案33费解析该三棱锥侧面的斜高为.（卜小+12=芈,则Sl）JJ=3X.2x¥=23,S底=gx小X2=5,所以三棱锥的表面积S表=25+5=35.由题意知，当球与三棱锥的四个面都相切时，其体积最大.设三棱锥的内切球的半径为r,则三棱锥的体积=；S表/Js底1,所以35r=5,所以r4,所以三棱锥的内切球的体积最大为Vma=r3=.正住）视图侧（左）视图17.如图所示，在三棱锥尸-ABC中，外，平面48C,AClBC1。为侧棱PC上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示.求证：AzU平面P3C;(2)求三棱锥。-ABC的体积.解证明：.以1平面48C,.'.PAVBCyPAlAC,XAClBC,ACHPA=Ai8C，平面R1C,又AOU平面RIC,.'.BClAD.在RlZ¾C中，¾=AC=4,。为PC的中点，.ADLPC.BCQPC=C1.AQl平面PBC.(2)由三视图，可得8C=4,由(1)知，MlAC,。为PC的中点，8CJ_平面以C,又三棱锥D-ABC的体积即为三棱锥B-ADC的体积，/.Vd.abc=Vb.adc=；XTXgX4X4X4=竽.18.现需要设计一个仓库，它由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P-AiBiCiPi,下部的形状是正四棱柱ABCo-48CQ（如图所示），并要求正四棱柱的高。是正四棱锥的高POx的4倍.(1)若A8=6m,P0=2m,则仓库的容积是多少？若正四棱锥的侧棱长为6m,则当POl为多少时，仓库的容积最大？解(1)由POl=2m,知QO=4PO=8m.因为AiBi=AB=6m,所以正四棱锥P-AllGQl的体积V锥=热醉POI=×62×2=24(m3).正四棱柱ABCD-ABCD的体积V柱=AB2OiO=62×8=288(m3).所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312(m3).设481=Qm,P0=?m,则0<z<6,OiO=4?m.连接OiBi.因为在RlAPOiB中,O1Bt+PO?=PB?,BP02=2(36-A2).于是仓库的容积V=V柱+V锥=标.4%+；/.力=争办=穿(36-/P),0<<6,从而S=y(36-3A2)=26(12-2).令V=0,得=25或6=-2小(舍去).当0<<2小时，V,>0,V是单调递增函数；当25<辰6时，S<0,是单调递减函数.故力=2小时，V取得极大值，也是最大值.因此，当POl=2巾m时，仓库的容积最大