工程力学第11章答案.docx

第十一章梁弯曲时的变形11-1用积分法求下列简支梁A、3截面的转角和跨中截面C点的挠度。解：(a)取坐标系如图所示。弯矩方程为：M=-x挠曲线近似微分方程为：EIy,f =X积分一次和两次分别得：EIyr = -X2+C,(a)Ely = - x3 +Cx + D(b)6/边界条件为：X=O时，)=0, X=/时，产0,代入(a)、(b)式，得：C =", D = O6梁的转角和挠度方程式分别为：,1 Me 2 MeI 1 ,也 3 M一、EI 216EI 6/6诉 'J A MelMMeI2所以：Oa =, Ob =-ly yc =-A 6EIb 3EI -c 16E/(b)取坐标系如图所示。AC段弯矩方程为：M =x (0 X)BC 段 弯 矩 方 程 为(*2)两段的挠曲线近似微分方程及其积分分别为:AC段：Ely； =-幸4EM=一号 V +G'(a)EIyl =÷ CX + D (b)6/zBC 段：Ely =jr-x2 +M 、Ely；- 寸勺 +也 +。2，(c)EIy2 = + MeXrI ÷ C/? ÷ D2 (d) 边界条件为：Xi=O M, y=0, x2=l W, >,2=0,变形连续条件为：Xl=X2 = 5时，M y - y'代入（a）、（b）式、（c）、（d）式,得：C1 =%24梁的转角和挠度方程式分别为：AC段：詈3%尸y，=_L(一也才+蚁)，力EI 21 124 JI1 ./3 也,、 F 一十 +”BC段：,1 ,2 HMe 1 Me 3 Me 2 UM- MFVo =(Xn +)，y-> =(-G -olx) H)2 El 21 2 e 2242 EI 61 22-24-8所以： = MJ 0 LyC = °a 24EI 24EI C-2用积分法求下列悬臂梁自由端截面的转角和挠度。EI(b)习题11-2图解：（a）取坐标系如图所示。弯矩方程为:(a)M=-x22挠曲线近似微分方程为：EIyn=x2积分一次和两次分别得：EIy1 = +Cf 6(a)EIy = S-xa +Cx+D24边界条件为：X=/时，-0, y'=0,代入（a）、（b）式，得：C = 一幺尸D = Lql468梁的转角和挠度方程式分别为：(b)/ = (x3-/3), y = -(-x4-l3x + -ql4)EI 66EI 2468所以：Oa =, yA = A6EIa SEIMe（b）取坐标系如图所示。弯矩方程为：M = MeEI挠曲线近似微分方程为：EIyn=-Me积分一次和两次分别得：EIyt=-Mex+CEIy=-x2+Cx+D（b）边界条件为：X=/时，产0,旷=0,代入（a）、（b）式，得：C=MJ,D=-Mel22梁的转角和挠度方程式分别为：y=-（-x2+Mx-M2）EI2e2e由InMelMel2所以：a=Ya=AElA2EI勿 EI；11-3一悬臂梁在BC段受均布荷载作用，如图所示，试用积分法求梁自由端截面C的转角和挠度。J-解：取坐标系如图所示。AB段弯矩方程为：M=BC段弯矩方程为：M =ql3.21/I、2,1/八-2-)(彳/2)ZoZZZ两段的挠曲线近似微分方程及其积分分别为:A8段：劭"一!你+|2EM=-j2+2+G，(b)ElyI=一.5+,。-工；+C1x1+D1BC段：Ely=-×2+1q2+4式工2一)2ZoZL(c)Ely'2=x2+夕尸+q*2-g)3+C2Eiy2-x2+22.虱-()4+C2X2+D2(d)边界条件为：XI=O时，y=0,y'=0,变形连续条件为：Xl=X2=g时，M=乃，y,-y,2代入（a）、（b）式、（C）、（d）式,得：C1=0,C2=0,D1=0,D2=0梁的转角和挠度方程式分别为：AB段：QMq（千用幻BC段：%=2卜分；+和&+/£一夕y2=t+z+-41所以"黑=黯。11-4一外伸梁受均布荷载，如图所示，试用积分法求4、B截面的转角以及C、。截面的挠度。A；pj口J-LLlLLIC分 DEl 工B.g I I iI m I I I I、妙 DEl 工B x J -I-/ T- '解：取坐标系如图所示。AB段弯矩方程为：M=-X(0X2)BC段弯矩方程为：M=-x2-qxi÷(x2-21)(21x231)两段的挠曲线近似微分方程及其积分分别为：AB段：Ely"=-lxlqxE"="8x,2+"：+G，OEIyl=Ta；+/；+CMl÷Dl(b)BC段：EM=_¥电+；渥_%(_2/)EM=-I-£/*2-2/)2+。2(C)OOOE%=-*4+(说(2-2/)3+C2X2+d2(d)边界条件为：x=0W,y)=0,变形连续条件为：Xl=X2=2/时，丁|=%=。y-½代入(a)、(b)式、(C)、(d)式,得：3=LqJC2=,D1=0,D2=O66梁的转角和挠度方程式分别为：AB段：X=±(-i12+1+1/3)EI86161/4,314q、M=-(-T/xi+,+-7xi)EI8246BC段：½=-j-x2_/(冗2-21)2+q3为=jlx2+24x2一/(必一2/)3+'广勺所以：=,li=O,yc=,=A6EIIiC8ED12EI11-5用积分法求位移时，下列各梁应分几段来列挠曲线的近似微分方程式？试分别列出积分常数时所需的边界条件和变形连续条件。q夕AAI口Ig口口口IJmoALLLL1J/1.z24*1Z/2-I1一以(a)(b)习题11-5图解：(a)分三段。AB>BC、CD段位移分别为刃、”。则边界条件B点：i=2=(时，y=必=QC点：X2=X3=yBf,y3=y2=0,变形连续条件为：XI=X2=4时，M=M，M=X2时，Vl=M(b)分两段。AB>BC段位移分别为yi、”。则边界条件A点：x1=Ot,必=0,B点：2=3=/时，%=y2=0,变形连续条件为：X1=X2=/时，y1=y2f11-6一简支型钢梁承受荷载如图所示，已知所用型钢为18号工字钢，E=2IOGPa,M=8.1kNm,q=15kNm,跨长=3.26m0试用积分法求此梁跨中点。处的挠度。习题11-6图解：取坐标系如图所示。弯矩方程为：M=qlx-Me-qx2挠曲线近似微分方程为：助=T必+%+；江积分一次和两次分别得：EIy,=-qlx2+Mex+qxi+C(a)EIy=-qlx3+x2+qx4+Cx-D(b)边界条件为：X=O=/时，y=0代入（a）、（b）式，得：C=一岑+绦，D=O梁的挠度方程式为：1r1.32141XV二百一衣夕氏+X+24x+（2Aql_2）x所以,5qlAMeI2=115-15X1。3-3.26，8.11(3.26?无384E/一8E210×109x1660×10-83848=3.24×10'3(m)=3.24mm11-7一简支梁受力如图所示，试用叠加法求跨中截面。点的挠度。习题11-7图解：当右边的F单独作用时，查表得：Fbxn2»22、Far(22z121VFa%=雨"-b)=6x4xEU6i=隹Z由对称得：汽=霭x2=罂11-8一简支梁承受均布荷载作用，并在A支座处有一集中力偶作用，如图所示，已知：M=9,试用叠加法求A、3截面的转角和跨中截面C的挠度。20解：当4单独作用时，鼠=蠢，%qF v - 5"24EZ, - - 384E/当Mq单独作用时,MlqnMl q3EI60E, Bq 6EI 120Er以, Ml2 = gl4加 16E -320EZ以 =%+%,，既=%"+%w =-3r,19” %+ >,c = 1920E11-9 一悬臂梁受力如图所示,试用叠加法求自由端截面的转角和挠度。解：yB=8xJ=2SEI,'b=6x(1)=4f7OjC/ZyIZoLlOi/IZJHO/G、i_/,1qIqpIql4nnql3所以：7c三y+2=T7+2x7=37c=711-10一外伸梁受力如图所示，试用叠加法求自由端截面的转角和挠度。已知：F=ql60二If口I口口iI-61"*-Z/2习题IK）图解：对AB段，看作在均布荷载和力偶F1/2作用下的简支梁,24EZ,Ml 二 FF qP 3E6E 36EZ所以：b-ff+rm=-t7J将BC段看作悬臂梁，固定端处有转角盘,则F(l_Fly_ql4_nI_ql'y=3EI2=24E7=144E7，?C2=2="144£7所以：,C=yCl÷,C2=0=F._fi_qi贝0夕=夕+e=-SLqi=qi_CF_2E12)-8EI-48EI'人'cCF_48E72E/-144E'11-11试用叠加法求下述悬臂梁自由端截面的挠度和转角。EIM=FlIZ/2UIp*a - a (b)(a)习题11 一11图解：（a）当M单独作用时，y°w=嘉=寨，%=端=哈当F单独作用时，y,.=套(£|=聂%=备.(§=-bf-n_I_5Fl3Q_Z)_Fl2所以：Ucf=YBF+%.D=4汨'Ob=。"=瓯Jhll_,_-5"29"_Fl2Fl2_9F/2人：YLyCMyCF-2EI+48E-48E,cCMcfT78EZ8EZ解：（b）当C点处的F单独作用时，Vc=%=鉴此时力1=Vc+%2=嗡%=%=编当D点处的F单独作用时，力=£等=需，&=嚼I=笔此时 %2 =%+%14 所32Fa23E,%一%-厂所以丫8=%1+%2=噜,0b=9b+®B2=窄jILl乙匕111-12一工字钢的简支梁，梁上荷载如图所示，已知：=6m,M=4kNm,q=3kNm,:=焉，工字钢为20a,钢材的弹性模量E=200GPa,试校核梁的刚度。习题11-13图5qoMFV=-P2Xymax-384£/16E/= 0.01448 = 14.481z5×3×103×64,o4×103×42"200×109×2370×10-8384-16则2TL=击/：/=焉，所以刚度满意要求。11-13一工字钢的简支梁，梁上荷载如图所示，已知：=6m,F=IOkN,q = 4kNm,9=焉，材料许用应力=150MPa,弹性模量E=200GPa,试选择工字钢的型号并校核梁的刚度。解：跨中最大弯矩为：,ql2,Fl1z1x,2l1×10×6iavM“=(+-=x46+->=33kNmW七等=33±2=0.12×103m3=220cm3150×106取I20a,则ynax =5" + 384EI 48E/Fl3 200×109×2370×108z5×4×103×64 , IOxlO3 ×62 1 八八”r ” ”(+) = 00237m = 23.73mm3o44o则L =需/£/ =熹，所以刚度满意要求。I Z2）Z.o I ZdU11-14在下列梁中，指明哪些梁是超静定梁，并判定各种超静定梁的次数。解：（a） 2次；（b） 1次；（C） 2次；（d）l次；（e）静定结构；（f） 3次。11-15试画出下列各超静定梁的弯矩图。(a)(b)解：(a)该梁为一次超静定梁，将8支座视为多余约束，解除该支座，并施加多余约束反力尸R%依据该梁的变形条件，梁在8点的挠度应为零，即补充方程式为：(a)%=O由叠加法：>8=+ajbf=°式中：冲M为梁在力偶单独作用下引起的B点的挠度(图d),由表格U-1可查得：(b)(d)，_MF%M-2E7邓广为梁在B单独作用下B点的挠度，同样由表格11-1可查得:v_FR12Fr3y6E'2lE将(b)、(c)两式代入式(a),得：Ml2FrrP_"2e7"1f-°由该式可解得：FRB=-等则M图为：(b)该梁为一次超静定梁，将B支座视为多余约束，解除该支座，并施加多余约束反力益8。依据该梁的变形条件，梁在8点的挠度应为零，即补充方程式为：%二°由叠加法:(a)式中：y"为梁在F单独作用下引起的8点的挠度，由表格11-1可查得: =Jc+<9c =F(2“3E/R 2a F2EI147万3EZ(b)邓B为梁在Frb单独作用下B点的挠度，同样由表格11-1可查得:(c)(d)Frb/29%/垢=-端(3。=一%将(b)、(c)两式代入式(a),得:14尸片3EIEl由该式可解得：%=岩则M图为：(C)该梁为一次超静定梁，将B支座视为多余约束，解除该支座，并施加多余约束反力FR8。依据该梁的变形条件，梁在8点的挠度应为零，即补充方程式为：%=°由叠加法：%=%f+%=°(a)式中：WF为梁在F单独作用下引起的8点的挠度，由表格11-1可查得:(b),二Fbx(广一b-2)TlFa3yBF=61EIMEI>*RB为梁在/R5单独作用下8点的挠度，同样由表格11-1可查得:_上改_(4"48E/，)64M48E/(c)将、(c)两式代入式(a),得:(d)1吐64"32EI-48E/由该式可解得：加二转则M图为：(d)该梁为三次超静定梁，将A支座化为固定较支座，解除该支座的转动约束，并施加多余约束反力Mao将B支座化为可动钱支座，解除该支座的转动约束和水平约束，并施加多余约束反力MB和水平力为，由于水平支反力对位移的影响可忽视不计，所以先不考虑玲，依据该梁的变形条件，梁在A点和8点的转角应为零，即补充方程式为：%=。%=。由叠加法：0A=0AF+0AMA+0AMB=°，Ii=BF÷0BMA+BMB=°，(a)式中：OA和。”为梁在F单独作用下引起的4点和8点的转角，由表格11-1可查得：A-Ff2<z)2_Fa2A_F(2a)2_Fa2UAF-1N-ar,r'BBFTrF7-一一n'(D)A卜6EI4£76卜16EZ4E/Jaam和Obma为梁在MA单独作用下A点和3点的转角，同样由表格11-1可查得：AMA-3ei(%)_3EI，Mma-6EIQa)3E1'(c)Oamb和曲皿为梁在MB单独作用下A点和B点的转角，同样由表格11-1可查得：八MR/c、MRa八Mr小、2M/3由QG=童，bma=rQG=-(d)将(b)、(C)(Ci)式代入式(a),得：尸22肛IMBJa43E3EI-Fa?MAa2必443E3E/一.由上式可解得：MA=-半，Mli=则M图如下：(e)该梁为一次超静定梁，将B支座视为多余约束，解除该支座，并施加多余约束反力珠8。依据该梁的变形条件，梁在8点的挠度应为零，即补充方程式为：%=0由叠加法：C)式中：)，的为梁在乡单独作用下引起的8点的挠度，由表格11-1可查得：一=*七瑟L*"+6(3"-二需(b)为梁在成8单独作用下8点的挠度，同样由表格11-1可查得:_ FRB_ 8舔/ 2一雨(M -e(c)将(b)、(c)两式代入式(a),得:(d)34g486e"e0由该式可解得：FRB=咚O则M图为:11-16一集中力厂作用在梁AB和Co连接处，试绘出二梁的弯矩图。已知：EZi=0.8EZ2oEIl¥Eh32习题1176图解：该梁为一次超静定梁，AC和CD梁的受力图如图所示，其中凡为未知力。变形条件为：二梁在自由端处挠度相等，即：九八由表格11-1可查得:yba3EIlFC3EI21a3代入上式解得：兄=与则弯矩图为：11-17在下列结构中，已知横梁的弯曲刚度均为E/,竖杆的拉伸刚度均为EA,试求图示荷载作用下各竖杆内力。,tI口ittItII(a)(b)习题11-17图解：（a）该结构为一次超静定结构，将BC杆的拉力尸穴看作多余约束，变形方程为：(a)式中期为梁AB在q和拉力尸肥共同作用下，B端的挠度。*c为拉杆BC的伸长量。WA=)"+)hc=忐3EI%。=兽。代入（a）式得:3Aql4S(Al3+3aI)(a)（b）该结构为一次超静定结构，将EC杆的拉力c看作多余约束，变形方程为:YCE=yc式中yc为梁AB在4和拉力c共同作用下，C点的挠度。为拉杆EC的伸长J=t.里.O% ="+%EC=5q384E7448E/FECy=EA代入（a）式得:5Aq24( AL+16M11-18梁AB因强度、刚度不够，用同一材料和同样截面的短梁AC加固，试求：二梁接触处的压力加固前后梁48的最大弯矩和B点的挠度各削减多少？习题11-18图解：AB杆和AC杆的受力状况如图所示。二梁在C点处的挠度相同。即变形条件为：(a)式中ya为梁AC在丘作用下C点的挠度。*AB为梁48的在尸和丘共同作用下C点的挠度。5 =%+加=篇（3/7 一缶创5 FF Fj48E7-24E7代入（a）式得：Fc=-T-C4加固前AB梁的最大弯矩在支座A处，弯矩值为川，加固后梁的最大弯矩在3处，弯矩值为M/2,所以梁的最大弯矩削减50%。加固前6点的挠度为=祟JCjI加固后B点的挠度为'_尸尸,Fc/10工I0_FP5"/Fcz/t278F/3%A3EIt3EI2i2°c3El96E/2'2E2f384E/挠度削减：(名一黑)/禽=39%CjIJO,jLXZrXMIMiMJ211-1(a) a»b,yca6EIb3EIc16EI(b) =-fyc=24EB24EIaP,、MlM.I211-2%=嘘一%；小以=-2小11-3%工y”皿c48E/c384EZ11-4“一AF/'"一0''c8EI")'%2EI6E1o12匕111-6yc=3.24mm11-7HFa3yc=6E111-8名上，%上,丫.A40E/30E/1920E/11-9%二£,ydc48E/C384EZ11-10c=»yc=0C144EIC29F/3八9F2z、6Fa3八SFaH-H(a)yc-，。C-;(b)yli-，/CEc4SEISEIEl2EI11-12ax=14.48mm11-13W220cm3,yrax=23.73mm11-173Aql45Aql4N-8(A3+33)'n24(A3+16tz7)11-18Frc=F<>挠度削减39%,弯矩削减50%。