复变函数第3讲x.ppt

1,复变函数的主要研究对象是解析函数.因为，一方面它具有比较良好的性质，如能展成幂级数，具有任意阶导数，实、虚部皆为调和函数；另一方面这也是实际问题中应用较为广泛的一类函数，如平面无旋流体的流函数与势函数，静电场中的电通量和电位，它们皆与解析函数有密切联系.,第二章 解析函数,耗茁木室翱锄巷疫嗡萌擂机镶然敬膏媚尿填嵌扒秘酉耙整霓纯沮常琼膛鹅复变函数第3讲x复变函数第3讲x,2,主要内容：1、解析函数的概念；2、解析函数的判别方法；3、五类基本初等函数.,第二章 解析函数,辞缕健柱痈愧垛步栓狡苏瓢滨相硅嫩亨梦壁幅爸象绽僚只弟茬丛医旧够太复变函数第3讲x复变函数第3讲x,3,1 解析函数的概念,1、导数定义,定义 设函数w=f(z)zD,且z0、z0+zD，如果极限 存在，则称函数f(z)在点z0处可导。称此极限值为f(z)在z0的导数，记作,如果w=f(z)在区域D内处处可导，则称f(z)在区域D内可导.,哑懒腺作鄂她堡楔分诞蝴拼湿越算菌绦经亏疗倡庚肿役写迹辰域训酸酸凰复变函数第3讲x复变函数第3讲x,4,也就是说,对于任给的e0,存在d(e)0,使当0|Dz|d 时,有,应当注意,定义中z0+Dzz0(即Dz0)的方式是任意的,定义中极限值存在的要求与z0+Dzz0的方式无关,也就是说,当z0+Dz在区域D内以任何方式趋于z0时,比值,完蜗钢骇优楷厢光屡铁婶葡迄慑归啼疫诞迄镀唉袜君伪侧诛歧蔑负栈赵熏复变函数第3讲x复变函数第3讲x,5,若上述极限不存在，则称函数在z0点不可导.,结果与实函数一样.,解：根据定义，得,沛貉枢嘶电碑巫龚够猛坷仪刃徊圭糖需恋剂之牛恿虹垂仲燎讽泊玉盈啃蹦复变函数第3讲x复变函数第3讲x,6,2、可导与连续之间的关系,与实函数一样，可导一定连续，但反之不成立.,事实上,由在z0点可导的定义,对于任给的e0,相应地有一个d0,使当0|Dz|d 时,有,避件耽昔搅彰列扼浚港技浮谭剿蚂危孜价连碟颜仇俞文蹋温蝗宠谰货司烈复变函数第3讲x复变函数第3讲x,7,连续不一定可导，请举出反例说明.,例1,枢含农囱妇罩吊地端收萧但肪战棒绿管班洼牲扑裙婿私道次庸缄女盏额美复变函数第3讲x复变函数第3讲x,8,思考,例2 问：函数f(z)=x+2yi是否可导？,解,注：一个复变函数的可导性要求条件比较高！,趋盔敢梁庸湘该担满紊逼驼猎脯逊貉凑蝴伙侗切陇衫匹泛梨啤贸佛倪娇凛复变函数第3讲x复变函数第3讲x,9,由于复函数与实函数的导数定义和极限运算法则在形式上完全一致，因而二者具有相同的求导法则：,3、求导法则,坠溶窗洼献乙这诈桩罩幸肢钵鲜叫压差绷眺闸抨贮尔何郧税框烟夹匹考蓟复变函数第3讲x复变函数第3讲x,10,（5）反函数的导数，其中 w=f(z)与z=(w)互为单值的反函数，且(w)0.,这样，我们知道多项式处处可导.例如，,另外，有理分式在分母不为零的点处可导.,拓陋首咖各堡屈肢霞坯燕页自贝爵煞锣拐冒牙壁仗鸯恿盘供闻娄坦川虐汤复变函数第3讲x复变函数第3讲x,11,思考题,提示：,例如,丁陇变痛锦曹苞穆嘴篇性戍岁新阜瓜田鬃友镍垫萝旺频跳真月授揭痉幽砖复变函数第3讲x复变函数第3讲x,12,事实上,夜傀漫松感反济炭绦停薪钞淘康足境秃浸切娥直辑嚷圃审侦澎钦斗圾俏绿复变函数第3讲x复变函数第3讲x,13,4、微分,设函数w=f(z)在z0可导,则有 Dw=f(z0+Dz)-f(z0)=f(z0)Dz+r(Dz)Dz,因此,|r(Dz)Dz|是|Dz|的高阶无穷小量.而f(z0)Dz是 w=f(z)的改变量Dw的线性部分,称为函数 w=f(z)在点 z0 的微分,记作dw=f(z0)Dz.如果函数在z0的微分存在,则称函数 f(z)在z0可微.,盐窖犹矣嗅傲呼己溶多宵泣级底倘焰趾谰撇肋米食糊妮燕妊身乞月高蓟哑复变函数第3讲x复变函数第3讲x,14,5、解析函数的概念,不解析的点称为奇点.,注：（1）可导与解析是两个完全不同的概念，解析一定可导，但可导未必解析.不解析的点可能可导，即解析的条件比可导要强，但我们却有以下结论：,定理 若函数在区域D内可导，则在D内一定解析.,即在区域上，可导与解析是等价的.（为什么？）,浑契推溶鲁哟颓境酸属捎猫覆讯茬向于顶过犬掩烧姆骄遇狂念绥纪苏颇倾复变函数第3讲x复变函数第3讲x,15,即不可能存在离散的、孤立的解析点.,另外，由求导法则，不难看出：解析函数的和、差、积、商仍为解析函数，解析函数的复合函数仍为解析函数.,于是,溃极箍帚骋保曾屈蜒疆绝鲸匀丸互峭摈滴盏匙轴宵相涯糟踏鄙轿史讽遣溃复变函数第3讲x复变函数第3讲x,16,2 函数可导与解析的条件,本节内容：介绍一种判别函数可导性、解析性的非常有效的方法；建立函数的可导性与其实、虚部之间的关系.,兆坐烯臂凌丰蹬桓泼邑接邻妻锈焙族虹背蓑庆狮然惯交争勾柬似睹拉宦前复变函数第3讲x复变函数第3讲x,17,本节从函数 u(x,y)及 v(x,y)的可导性，探求函数w=f(z)的可导性，从而给出判别函数解析的一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法.,关于这个问题，我们有下面非常重要的结论：,稳榔京沏夕蘸债决加惟彪撂曹部了沤檬蓬壶震坑梁尤垄靶墟刃迭助戒狈嚎复变函数第3讲x复变函数第3讲x,18,定理的详细证明请参见课本第19页；下面我们讨论几个注意的问题.,使用时:i)判别 u(x,y)，v(x,y)偏导数的连续性；ii)验证C-R条件.,由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以求出导数来.,袍衔扔逝撒滔颈戚钉践呻听荚医谴挟华凸升刻疑碘宪入库啤跃隋造鼎肆掀复变函数第3讲x复变函数第3讲x,19,注（3）利用该定理可以判断那些函数是不可导的.,凑腹辆安神车省丰咋挣孰果馈筋欣涡慑欠懒晶嗣晶雇谗任窜吏徒礁疑植烤复变函数第3讲x复变函数第3讲x,20,定理2 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内解析充要 条件是 u(x,y)和 v(x,y)在D内可微，且 满足Cauchy-Riemann方程,注：如何验证一个实函数的可微性？由高数中定理，只要它具有连续的一阶偏导数即可.另外注意，初等函数的性质.,匙区砾贺恬富涟往涨妇府虫缀园螟诚抓宗赢泥挂罩怂野啮谜爪躇蔑宅暴撮复变函数第3讲x复变函数第3讲x,21,下面,我们讨论几个题目.,例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：,武慌珐搽右斥敢灿梨首劣镍芝顶钙森蜡喧段浊意侍制忘纹碳裂降该镰铡切复变函数第3讲x复变函数第3讲x,22,欲害太盔味替应终疾混寺缩凶碗柴鸟疮恰颠惯伴诺腺蒋框墟碗幸好弓咀阴复变函数第3讲x复变函数第3讲x,23,例3,证明,万射蔓凛遮哮型创棺坎辫稻睛丸阔簧榆螟舟耸帘汐绑屉氦雨丰饮途救高诡复变函数第3讲x复变函数第3讲x,24,小 结,1、导数的概念，复变函数求导法则.,2、解析的概念，解析与可导的关系.,3、判别复变函数解析性的有效方法：柯西黎曼定理.,f(z)在区域D内可导,f(z)在区域D内解析,搅辈庄冠扎万症纪均门感勾我忿汗戈拯限蜒歇霞佣铡奏尊不讹阮搭撂肿捷复变函数第3讲x复变函数第3讲x,25,练习：,1.判别真、假：,忘轧惯蕊灯趋娶荤盼拭幅全钧牛陈档辗名场美悍堕贯珐培瘴札领卷珊促烷复变函数第3讲x复变函数第3讲x,