整体思想在解二元一次方程组中的应用.doc

. . 整体思想在解二元一次方程组中的应用求解一元二次方程时，用代入消元法或是加减消元法，将二元消元为一元。在运用消元法时，对于有些问题，不是从局部着手，而是从大处着眼，从整体上观察，探求解题途径，这种数学思想方法叫整体探求思想，在二元一次方程组中，表达这种思想方法的地方很多在平常遇到方程组求解时，先从全局观察，再动手求解，可以在一定程度上训练我们“大处着眼，小处着手”的战略眼光，对今后高中数学学习，以至工作中都会有所帮助。例1已知x、y满足方程组则xy的值为_.分析：观察题目特点，我们发现可以把原来的两个方程相减，就能够得到所要求的结果解：把原来的两个方程相减得：，故，答案应该填写1点评：此题是把xy作为一个整体来处理，解答起来要比解这个方程组，求出x、y的值，再带入xy计算求值省时，快速，简便例2解方程组分析 此题应抓住6x是3x的2倍，利用方程的3x=8-2y，从而整体代入方程，经消元求解，使解法简洁.解 由，得3x=8-2y. 把代入，得2（8-2y）+9y=21. y=1.把y=1代入，得3x=8-2.x=2，练习：1.解方程组分析：方程组中的系数成倍数关系，适宜把中的整体代入，先求出x的值，再求出y的值解：由得5y=21-3x 把代入，得4x+3（21-3x）=534x+63-9x=53，-5x=-10 x=2把x=2代入，得5y=21-6 y=3原方程组的解是2.解方程组解：由，得，将其代入，得，解得把代入，得，解得所以原方程组的解为例3 解方程组分析 此题数字较大，直接运用代入法或加减法，都会遇到复杂的计算，且容易出错.仔细观察各未知数的系数，第一个方程组的x，y的系数，刚好是第二个方程中y和x的系数，故可采用整体相加减，使系数绝对值变小，得到一个新的简易的方程.解 +，得58x+58y=638.即x+y=11. -，得16x-16y=-16，即x-y=-1. +，得2x=10， x=5.-，得2y=12， y=6. 例4解方程组分析：此题直接解方程组比较复杂，观察方程组中方程的特点，如果把，看成整体，先求出它们的值，计算量会较小，也不容易出错。为此，我们先把方程变得简单设=A，=B，则原方程组化为解得即，整理，得解得练习：1.解方程组分析：方程组中x、y的系数和相等，可以把两式相加减解：+得12x+12y=24，即x+y=2 -得4x+2y=2，即2x+y=1 -得x=-1，把x=-1代入得y=3原方程组的解是2.解方程组分析:两方程中未知数的系数较大，若采用通常的消元法计算量很大，观察方程组的形式，可发现系数有轮换、对称的特点，且和相等，因此可采用整体相加或相减的方法，化简系数，寻找隐含的x、y的关系.解:+，化简得:x + y = 1 ，-，化简得: x -y = -1 ，+，化简得：x=0，把x=0代入得y=1.所以原方程组的解为3.已知方程组 则x+y的值等于_.分析：此题可用“代入法”或“加减法”求得x、y的值，但细心观察×2+，可发现x、y上的系数相同.因此可不求x、y的值而利用整体思想直接解得x+y的值.解: ×2+，得 10x+10y=45，所以x+y=4.5.4.解方程组分析：从形式上看这个方程组比较复杂，应先将每一个方程都进行化简，化成二元一次方程组的一般形式，然后再选择代入法或加减法。但是通过观察可以发现，两个未知数出现的形式只有（x+y）和（x-y）两种，可以把它们分别看成一个整体，利用换元法解。解：设a=x+y,b=x-y原方程化为解得所以, 解得5.解方程组分析：方程组中的系数成整数倍，可以通过变形构造出x-y，且x-y的系数互为相反数，可以把两式相互加减解：由得4（x+y）+3（x-y）=15 ，+得x+y=3 ，把代入，得x-y=1 +得x=2，-得y=1原方程组的解是例5如果关于m、n的二元一次方程组（）的解是请你用合理的方法求关于x，y的二元一次方程组（）的解.分析 通过观察后发现方程组（）和（）中对应的系数分别相等，若把（）中的x+y和x-y分别看成整体，可知x+y和x-y的值分别与m，n的值相等，从而求得方程组的解.解 把方程组（）中的x+y和x-y分别看成整体，根据方程组（）的解是可得例6 已知方程组 求x+y+z的值.分析：此题是一个三元一次方程组，依据条件不能分别求出x、y、z的值，因此可探究方程中每项未知数系数的特点，从整体上考虑解决的方法.解:×3，×2，得-得x + y + z = 1 .练习1.已知5x+4y=9，且3x+8y=11.求代数式2x+3y的值；2.已知a-2b=5，求153a+6b的值.分析：1.中两个方程没有联立方程组，不易观察，可联立方程组利用整体思想探寻特征巧妙解题.2.中可对所求代数式进行变形，整体代入.解:1.联立方程组，得+，得 8x+12y=20化简得2x+3y=5.故代数式2x+3y的值为5.2.原式=15-(3a-6b)=15-3(a-2b)，由a-2b=5，所以原式=15-3×5=0.3. 如果2x+3y+z=130，3x+5y+z=180，求的值解：将x+2y、x+y+z看作整体，已知条件变形为解得则=例7 有A、B两种型号的U盘，其中2个A型U盘与3个B型U盘最多可存储60GB的信息，5个A型U盘与6个B型U盘最多可存储150GB的信息，求3个A型U盘与5个B型U盘最多可存储多少GB的信息？分析：此题可根据题意设未知数列方程组，在解方程组的过程中发现解决问题的方法.解: 设1个A型U盘最多可存储xGB的信息， 1个B型U盘最多可存储yGB的信息，根据题意得×7-，得9x+15y=270，化简得3x+5y =90.故3个A型U盘与5个B型U盘最多可存储90GB的信息.例8有甲、乙、丙三种货物，若买甲5件，乙2件，丙4件，一共需80元；若买甲3件，乙6件，丙4件，一共需144元，现在需购买甲、乙、丙各一件共需多少元？分析：此题可根据题意设未知数列三元一次方程组，但由题中条件只能找到两种等量关系，因此不可能一一求得三个未知数的值，需考虑整体代入探求结果.解: 设购买一件甲需x元，一件乙需y元，一件需丙z元，根据题意得+，得 8x+8y+8z=224，所以x+y+z=28.故购买甲、乙、丙各一件共需28元.练习：1.有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件、乙2件，丙1件共需315元钱，购甲1件、乙2件、丙3件共需285元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需元钱分析：我们可以通过设元，构建三元一次方程组来解答设购买甲、乙、丙三种商品分别需要x元、y元和z元，要想求出购甲、乙、丙三种商品各一件共需多少元钱，我们可以运用整体的思想求出x+y+z的值就可以得到正确答案解：设购买甲、乙、丙三种商品分别需要x元、y元和z元，那么，根据题意，可以得到：3x+2y+z=315x+2y+3z=285，解得：x+y+z=150.因此，可以填写答案是150元2.有这样一个问题：今有四数，取其三个而相加，其和分别为22，22，26和20，求此四数各几何？部分学生读不懂题意，但大部分学生是列出了方程组，却不知该如何求解.如果能灵活运用整体思想，此题便能轻松求解.解 若设此四数分别为a，b，c，d，则根据题意可列出方程组+，得3(a+b+c+d)=90.a+b+c+d=30. -，得d=8，-，得c=8，-，得b=4，-，得a=10， 所求的四数分别为10，4，8，8.总之，在解二元一次方程组的有关问题时，“代入法”和“加减法”是解方程常用的方法，有时根据题目的形式特征与方程组系数的特点，采用整体思想，灵活代入或加减，可巧妙求出未知量，达到简单、快捷的效果.但同时也要注意具体问题具体分析，切不可生搬硬套.7 / 7