激光原理第二章答案.docx

1 0 lo0 第二章开放式光腔与高斯光束1.证明如图21所示傍轴光线进入平面介质界面的光线变换矩阵为证明：设入射光线坐标参数为r,出射光线坐标参数为厂，,根据几何关系可知1122sin=Tlsin傍轴光线SinO0则=,写成矩阵形式I I 0L 2ILLJ 2J 1得证21折射，然后在介质2中自由传播横向距离d,最后经界面2折射后出射。根据1题的结论和自由传播的光线变换矩阵可得2 L f-° 1W j.用化简后|"= 1J L2 Lo1M7 I'得证。L0J3.试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示:其往返矩阵为：'ILc dJ1 Ol1o1J叫IjIl&I由于是共焦腔，则有将上式代入计算得往返矩阵() Tn=TTTTr1 L r2 LR =R =L12L Ja b> 10”101=(-1>=(-1>C D0 10 1可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。4.试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。解：共轴球面腔稳定性条件0<gg<1其中g=1-1-一=I-121R2R121.对平凹共轴球面镜腔有R=,R>0o则g=1,g=1-,再根据稳定性条件1212R2OVgg<1可得0<1-±<1=>R>Lo1 2R22jL对双凹共轴球面腔有，R>0iR>0则g=1,g=1，根据稳定性条件121R2R12/、/、(Q<R<LIfLYL依>L工I1O<gg<1可得0<|1-汗1一4<1=U,或<0<R<人12TTa*7R>L2122R+R>L12LLn对凹凸共轴球面镜腔有，R>0,RVo则g=1一一甩=1>0,根据稳定性条件121R2R12OVgg<1可得04收。12Iq火r2)Irr2<l5.激光器的谐振腔由一面曲率半径为1m的凸面镜和曲率半径为2m的凹面镜组成，工作物质长O.5m,其折射率为1.52,求腔长L在什么范围内是稳定腔。解：设两腔镜M和M的曲率半径分别为R和R,R=-lm,R=2mI2I212工作物质长/=0.5m,折射率n=1.52当腔内放入工作物质时，稳定性条件中的腔长应做等效,设工作物质长为，工作物质左右两边剩余的腔长分别为/和/,则/+/+/=Lo设此时的等效腔长为L,则光在腔先经历自由传1212播横向距离,然后在工作物质左侧面折射，接着在工作物质中自由传播横向距离/,再在工作1味中叩T TqIJ L 1Lo nLo jo 刊LO j2 +. I物质右侧面折射，最后再自由传播横向距离/,则-1L10L' = l + L+I= (L-I)2 , 所以等效腔长等于再利用稳定性条件I2人由(1)解出2m>L,>Im则L=L,+0.5×(-1)=r+0J71.52所以得到：1.17m<L<2.17m6.图2.3所示三镜环形腔，已知,试画出其等效透镜序列图，并求球面镜的曲率半径R在什么范围内该腔是稳定腔。图示环形腔为非共轴球面镜腔。在这种情况下，对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线，式(2.2.7)中的F=(RCoSe)/2,对于在与此垂直的平面内传输的弧矢光线，F=R(2cosO),6为光轴与球面镜法线的夹角。解：图2.1BUl八D O 1 Il - 1L FF F2 2 2Ol1J1G÷p)=i-3z÷2F稳定条件-1<-3/+1<1-F忆3/+2>0左边有7%/JR所以有上>2或幺1>0F=R对子午综，午二产对孤矢线：孤失2cos对子午线和弧矢光线分别代入上述不等式得子午光线424-p.1<R<-=,R.>-=/3333弧矢光线lQ<r<r>-y=<R<2/或R>4任意光线需同时满足子午线与弧矢线的条件得7.有一方形孔径的共焦腔氢气激光器，L=30cm,方形孔边长d=2Q=0.12cm,=632.8nm,镜的反射率为r=IJ=0.96,其他的损耗以每程0.003估计。此激光器能否作单模运转？如果12想在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来选择TEM模，小孔的边长应为多大？试根据图2.5.500作一个大略的估计。氮完增益由公式e5<=l+3×10-z1估算（/为放电管长度，假设/=L）解：TEM模为第一高阶横模，并且假定TEM和TEM模的小信号增益系数相同，用OlOOg。表示。要实现单模运转，必须同时满足下面两个关系式erF(l-0.003)>1V1200II1.9eg%nr(l-6-0.003)<1VI2Ol根据已知条件求出腔的菲涅耳数a2O.O62IT-30×632.8X10-7由图2.5.5可查得TEM和TEM模的单程衍射损耗为000110-8.370010-601氯鼠增益由公式£eg。/=1+3x10-4_d计算。代人已知条件有egw=1.0750将eg。/、和r的值代入I、Il式，两式0112的左端均近似等于1.05,由此可见式Il的条件不能满足，因此该激光器不能作单模运转。为了获得基模振荡，在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来增加衍射损耗。若满足Il式的条件，则要求>0.047Ol根据图2.5.5可以查出对应于B的腔菲涅耳数N,<0.9001由菲涅耳数的定义可以算出相应的小孔阑的边长2a<ZV7=2×300×632.8×10-6×0.9=0.83mm同理利满足I式的条件可得2q>0.7mm因此，只要选择小孔阑的边长满足0.7mm<2a<0.83mm即可实现TEM模单模振荡。OO8.试求出方形镜共焦腔面上TEM模的节线位置，这些节线是等距分布的吗？30解：在厄米-高斯近似下，共焦腔面上的TEM模的场分布可以写成30令X="2KLX)X,则I式可以写成(_找V(x,y)=CHetL)3030式中H()为厄米多项式，其值为H()=8X3-12X由于厄米多项式的零点就是场的节点位置，于是令H(X)=0,得3X=0;X=Fr1;X=-J32123考虑到=J认,于是可以得到镜面上的节点位直OsX=0;x；x二一百I220s32Os所以，TEM模在腔面上有三条节线，其X坐标位置分别在。和±J3/2处，节线之间30Os位置是等间距分布的，其间距为卢)/2；而沿y方向没有节线分布。9.求圆形镜共焦腔TEM和TEM模在镜面上光斑的节线位置。2002解：在拉盖尔一高斯近似下，可以写成如下的形式(22、fcos mLnl m13；)SJe M sin m对于TEM,两个三南函数因子可以任意选择，但是当m为零时，只能选余弦，否则无mn意义(IrA并且乙2|一I=1,代入上式，得到(2r2_r2fcos21一()rJ=Ck2Os取余弦项，根据题中所要求的结果,能求出镜面上节线的位置。即71cos2=O=>="IL同理，对于TEM,02()(卢二(P.02=C02卜底)的(224r21.?l7rrI=Vfcos2"。端1"sin却我们取Dr,=CIlrIe金cos2(p=0,就20加c=上124V(2r-r(22、一二Ja碍JeM='。2”(即产喉2r4卜k，代入上式并使光波场为零，得到仆32JC02OS'OSOS()(rVf4r22rUd=C。嫉川-丁+*(2r24r224显然，只要巧(Qj=I-赤"+k=镜面上节线圆的半径分别为：r=ll+/=Jl-2IV2加2Y210.今有一球面腔，R=I.5m,R=-ImL=80cm。12共焦腔的参数；在图上画出等价共焦腔的具体位置。解：该球面腔的g参数为9=I-A=9R15I由此，99=°85,满足谐振腔的稳定性条件0<gg12I：由稳定腔与共焦腔等价条件e*=00即满足上式试证明该腔为稳定腔；求出它的等价=I-A=1.82R2<1,因此，该腔为稳定腔。If2R=-(z+_)*IZhrLYhr=+(z+_)和22z,I勺大RJ1.=z-z可得两反射镜距离等效共焦腔中心O点的距离和等价共焦腔的焦距分别为z=-1.31mz=-0.51m/=0.50mI2根据计算得到的数据，在下图中画出了等价共焦腔的具体位置。16.某高斯光束腰斑大小为=1.14mm,=10.6mo求与束腰相距30cm、IOm、100c)m远处的O0.385mZ求得:Z30cm10m1000m(z)1.45 mm2. 97cm2.96mRO. 79m10.0m1000m17.若已知某高斯光束之3=0.3mm,=632.8nm。求束腰处的3参数值，与束腰相距30Cnl处O的q参数值，以及在与束腰相距无限远处的夕值。解：入射高斯光束的共焦参数.2,f=-4*-=44.7cm根据q(z)=z+q=z+矿，可得0束腰处的q参数为：式0)=44.7icm与束腰相距30cm处的q参数为：q(30)=(30+44.7i)cm与束腰相距无穷远处的q参数为：R),I(q)=44.7cmcm21.某高斯光束=1.2mm,=10.6mo今用F=2cm的错透镜来聚焦，当束腰与透镜的距离为OIOm、1m、IOCm、0时，求焦斑的大小和位置，并分析所得的结果。解：入射高斯光束的共焦参数2 = -4i- = 0.427m设入射高斯光束的9参数为4,像高斯光束的q参数为4，根据ABCD法则可知12111=qqF12其中q、=i+if/和/分别为入射高斯光束的焦斑位置和共焦参数；q=T'W/'和分别为像高斯光束的焦斑位置和共焦参数。22,:Fqq=利用以上关系可得2F-q/10m1m10cm02.OOcrn2.08cm2.01cm2.00cm'02.40m22.5m55.3m56.2m从上面的结果可以看出，由于f远大于F,所以此时透镜一定具有一定的聚焦作用，并且不论入射光束的束腰在何处，出射光束的束腰都在透镜的焦平面上。22.C。激光器输出光=10.6m,=3mm,用一F=2cm的凸透镜距角，求欲得到=20m2OO及2.5m时透镜应放在什么位置。解：入射高斯光束的共焦参数兀,f=_o.=2.67m设入射高斯光束的q参数为q,像高斯光束的q参数为q,根据ABCD法则可知121 _1_1qqF12其中q=+if/和/分别为入射高斯光束的焦斑位置和共焦参数：1q=T'+if'/'和/分别为像高斯光束的焦斑位置和共焦参数。222fr/'fFqq=利用以上关系可得2 F-q1'=20m时，I=1.39m,即将透镜放在距束腰1.39m处；O'=2.5m时，/=23.87m,即将透镜放在距束腰23.87m处。O23.如图2.6光学系统，如射光入=10.6m,求”及/。O3图2.2解：先求经过一个透镜的作用之后的束腰半径及位置由于/ = F,所以1 1I=F=2cm1'=F=22.49mO所以对第二个透镜，有/=/'=13cm'2f=-=1.499×10-4mJ巳知F=0.05m,根据J_-2_=_L2qqF12其中q=l+if/和/分别为入射高斯光束的焦斑位置和共焦参数；q=T'+if'122c,'2/'和分别为像高斯光束的焦斑位置和共焦参数。/=-/nK人r得,=14.06m,/=8.12cmO324.某高斯光束=1.2mm,=10.6mo今用一望远镜将其准直。主镜用镀金反射镜R=Im,口O径为20cm；副镜为一错透镜，F=2.5cm,口径为1.5cm；高斯束腰与透镜相距=1m,如图2.71所示。求该望远系统对高斯光束的准直倍率。解：入射高斯光束的共焦参数为图2.320.=0.427m由于产远远的小于/,所以高斯光束经过错透镜后将聚焦于前焦面上，得到光斑的束腰半径!,FCO=Co=0.028mm0OM)2+2这样可以得到在主镜上面的光斑半径为R入'(R)=6cm<1Ocm'0即光斑尺寸并没有超过主镜的尺寸，不需要考虑主镜孔径的衍射效应。这个时候该望远系统对高斯光束的准直倍率为25.激光器的谐振腔有两个相同的凹面镜组成，它出射波长为的基模高斯光束，今给定功率计，卷尺以及半径为a的小孔光阑，试叙述测量该高斯光束公焦参数f的实验原理及步骤。解：一、实脸原理通过放在离光腰的距离为Z的小孔(半径为a)的基模光功率为(I)(II)P(z)=P(l-ej(z)0式中，P为总的光功率，P(Z)为通过小孔的光功率。记P=P(Z),则有°,、2q212(z)=_111(Q)P-P01注意到对基模高斯光束有2(z)Z22；=÷-，/=-jf在(II)式的两端同时乘以兀/九，则有(III)解此关于f的二次方程，得六£士2(IV)因为。、P、P、Z都可以通过实验测得，所以由（III）及（IV）式就可以求得基模高斯光束OI的共焦参数f。1 .如上图所示，在高斯光束的轴线上某一点B处放入于光轴垂直的光阑（其孔半径为a）,用卷尺测量出B到光腰0（此题中即为谐振腔的中心）的距离z；2 .用激光功率计测出通过小孔光阑的光功率P：13 .移走光阑，量出高斯光束的总功率P;O4.将所得到的数据代入（Ill）及（IV）式即可求出f（根据实际情况决定（IV）式根号前正负号的取舍）O28.试用自变换公式的定义式q°=/）=q（2.12.2）,利用q参数来推导出自变换条件ccO1（zY式FE证明：兀32设高斯光束腰斑的q参数为qg=if=i一广，腰斑到透镜的距离为/,透镜前表面和后表面的q参数分别为q、q,经过透镜后的焦斑处q参数用Q表示，焦斑到透镜的距I2c离是/=/,透镜的焦距为F。C根据q参数变换，可以求出前表面、后表面、及焦斑处的q参数，分别是：透镜前表面：q=q+/1O1 11透镜后表面：=_-qqF2 1焦斑的位置：q=q+/把经过变换的q=-7l.代入到焦斑位置的q参数公式，并根据自再现的条件，得2F-q到：,Fq1q=q+l=11+/c2cF-qcI=I1q=q=if=i731f=2Ii+Coq=q+/1o31.试计算R=1m,L=0.25m,a=2.5cm,a=Iem的虚共焦腔的乡和112单程往返若想保持Q不变并从凹面镜M端单端输出，应如何选择Q7反之，若想保持Q不变并从凸面镜M输出，Q如何选择？在这两种单端输出条件下，和自各为多大？题中Q为镜M21单程往返Il的横截面半径，R为其曲率半径。1Q，解：(1)镜M的单程放大率为m=-L=I11a镜M的单程放大率为m=Qo=Rl=C=222QR2g050.25121213所以M=mm=1-_=_=1-=_12单程M2往返M24(2)要从镜M单端揄出，则要求镜M反射的光全部被镜M反射，由于镜M反射的光1121为平行光，所以要求Q>a,=a=2.5cm211(3)要从镜M单端输出，则要求镜M反射的光全部被镜M反射，所以要求221a>a,=ma=2cm1222(4)和自不变里程往返1/1