(经典)讲义：等比数列及其前n项和.docx

(经典)讲义：等比数列及其if刀项和1 .等比数列的定义如果一个数列从第Z项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母仪表示.2 .等比数列的通项公式设等比数列a的首项为国，公比为S则它的通项4=立仁.3 .等比中项若=a"(9N0),那么G叫做a与。的等比中项.4 .等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：&£，(，mN-).若&为等比数列，且在+J=z÷2(h7,m,jN3则空且三变空.若a,优(项数相同)是等比数列，则UaJQWO),阂，面也,微仍是等比数列.(4)公比不为一1的等比数列4的前项和为Sq则SqSlSq此一必仍成等比数列，其公比为立.5 .等比数列的前项和公式等比数列4的公比为t7(70),其前/7项和为Sn,当q1时,S=Aa1；当gWl时，S=华二会=手丝1(71i7【注意】6 .利用错位相减法推导等比数列的前项和：£.亍g±gg±g.f±二:.土.4二',同乘.g径;.n=也g±包尤土虱土:.:+氯)西式相减徵Q二.。£亍二级力二应三，二:"(此7 .1由&,+=qa“,°W0并不能立即断言&为等比数列，还要脸证aW0.8 .2在运用等比数列的前/?项和公式时，必须注意对=1与-Wl分类讨论，防止因忽略0=1这一特殊情形导致解题失误.8.等比数列的判断方法有：(1)定义法：若且J=q(q为非零常数)或q(q为非零常数且22且刍3rl-7Nt),则4是等比数列.上项公式法:在数列.31史&.&WQ旦嘉年加%+式，WN)J则数烈值1是零比数列.(3)通项公式法：若数列通项公式可写成a=cd(。均是不为O的常数，点N)工则，.当).建餐也数列一、知识梳理探索导引: 求和1.等比数列前”项和公式ft(1-<y,)a,-,y1 I)I1/11/FgI)说明：对于等比数列的前项和公式：从方程观点看：由等比数列的前项和公式及通项公式可知,若已知中的三个即可建立方程组求其余两个，即“知三求二”.在运用等比数列的前项和公式时，一定要注意讨论公比q是否为1.2 .与前项和有关的等比数列的性质探索导引：等比数列m/中，已知，、：n.st 60,求 S* ,并考虑等式S3(S.-SJ = (S4-S1)3 是否成立？若等比数列：/：中,公比为叱I,依次4项和R.S；St.Su5,.成公比为小的等比数列.若等比数列：3：的公比为夕,且项数为2帅C1,则S.力qS、说明：利用性质(1)可以快速的求出某些和.但在运用此性质时,要注意是1,s”-SETA，成等比数列,而不是工.工5.,成等比数列二、方法(一)等差数列前项和公式的应用理解例题1:在等比数列中，(1)已知q=2w求4S.;(2)已知=-2Lq-Lq,求;390(3)已知以二IM=64.求q和S.;(4)已知&-15-：求;分析:在等比数罚中有五个重要量只要己知任意三个，就可以求出其他两个其中U.4两个最重要的量,通常要先求出4和%解：(1).,i-<1'-32'-96.=Mq=止0=89."g1-2(2).</-qg，1,=-2.7*-'=»m=6(3),at=qg'，.,.64=才，”-4al-a4q-1-64(-4)J=I=JI1I),3八、ay三Aq,一<1)(4)9S1 (l÷ + y2)-(2)(2)÷(1)得一一=3q%?.”=Ong=或g.;当q=l时，q_：，当q=-；时，q=6(二)与等差数列前；项和有关的性质的应用理解例题2：等比数列应中S.J2,S.36.求S-分析：在有关等比数列的问题中，均.可化成有关4、q的关系列方程求解.本题中注意下标的关系,可考虑用等差数列前.项和的有关性质来简化运算.解法一：由Sm=I2,§2,=36,可知I(若q=LS=2S.)SJ斗”)*12,",解得Iq"二3，%=4(r)=地解法二：.s.5.r.成等比数列知识体验：已知等比数 列的五个量/0.%lfS 中的任意三个求其他两 个时，要用等比数列的 通项公式以其及前项 和公式.知识体验：在学习了等 比数列前项和的有关 性质后，我们用其来求 解有关等差数列的前项和问 题.方法提炼：求解该类问 题一般有两种方法： 可化成有关4、q的 关系列方程组求解.可利用等比数列中连 续等段和成等比的性质 即性质(1)求解.7.S-(Y)=MIT,*S(，-Sg)=(52三-Se)Sm-36=24,+12=48Sm=M三、例题(一)题型分类全析1 .等比数列前项和公式的基本运算例1：在等比数列的)中:j0,=&4一0"216.$"4。,求公比q，4及.思路直现:巾已知两个条件，可建立关于4国的方程组，分别解出4国的值，I代入S.即可求出解:由己知可得,-al=al(q2-)=R,al三I.a-a4-(qyqi-I)三2I6,q03.o<M-g)I-V.:.S=-=N40nn=4Ir1-3总结：在求数列的基本量问题时,把条件转化成基本量解方程是解决数列问题的基本方法.例2已知数列甩是等比数列,其前项和Sn,若S,+S.=2%求该数列的公比小思路直现:由已知两个条件，可建立关于的方程组，分别解出小夕的值，代入S.即可求出.解：若夕=1,则Znul,5l<5,必+60坦,瑞l80,此时Sg*I.、<M"/)、*"/)二】JJw1."""""'2*4"nz-q.丁1Bg)l-g"g"g.,.Iqqf,q-0,即2-q,-l=0,即(q1X2'4I)=O故"+I0n§-7-.笔记：在使用等比数歹Ij的前项诂公式时,一定要注意公式的条件.若题目中不明确,应对4进行讨论.2 .利用等差数列的性质求和例3：等比数列%中，Sr=7=9b求S,?思路直现:注意到,下标的关系,可考虑利用等比数列的性质解决.解:是等比数列，V5?.S4-S.5；-S,成等比SJ=(S4-SJ'本题有关等 比数列前 项和的基本 运算的考 查.转化为关于 4,4的方程 组求解.本题考查了 等比数列前 项和公式 的运用和分 类讨论的思 想.因不知g的 值，故对夕 进行讨论.本题考查了 等比数列连 续等段和成 等比的性 质.利用等比数 列分段和成故S：-7S588=0故S,=28或£=-21注意到区="三山向4/)=I/>O,S24/al*2S4S同号，Sj=28笔记：遇到类似下标成倍数关系的前项和问题,一般可考虑用等比数列中解次女项和5.酊工S,S,成等比数列来解决,可简化计算量.在已知S.S利用这一性质求£、时,要考虑是否会出现增根的问题.例4己知一个项数为偶数,首项为1的等比数列,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求这个数列的公比及项数.思路:本题:步及到项数为偶数的等比数列,且奇数项和与偶数项和都已知,由也利用等比数列的性质即可求出公比,进而求其通项.解：.该数列是一项数为偶数的等比数列.坐=2，X,S=Se+Sa=85+170=2555. 85*<M>Q(-2*)N.5. 三=三2-I=2S51-471-2故-8阅题笔记：利用等比数列奇、偶项数和的性质简单明了，运算量较低.3.某些特殊数列的求和例5:(1)己知数列/的通项公式q=2"+"，求该数列的前.项和S.;(2)已知数列4的通项公式&=2,3Z求该数列的前项和S解：.S.÷-=(2÷l)÷(2,÷2)÷(2,÷3)÷(2,÷)三(2*2,÷2,4.24)+(1*2*3÷-f)2(1-24)(1÷M三÷1-22=fM(2) Sn=1+a2+a3+an三(2÷3)÷(22÷3,)÷(2l÷3,)÷(2"+)三(2*2,*2j÷)+(3÷3,+3,÷.3)2(l-2-)X-3)三1-21-3等比.考虑是否两 解都满足条 件.建议：已知 S”,S3” 求 S2n 时，尽量列 方程求解， 若用性质应 考虑是否会 出现增根. 本题考查了 等比数列的 性质.注意团=4S奇 这个性质是 在项数为偶 数这一前提 下成立的. 建议：巧用 特例，熟记 等差等比数 列奇偶项的 一些性质.考查数列的 分组求和问 题.等差等比数 列各自分组 求和.不同公比的 等比数列按 公比各自分=2rt,-2+(-l)尸7=2*,÷-22笔记:分组求和法适用于某些特殊数列的求和,这些特殊数列的通项是可写成几个等比数列或等差数列的和的形式.例&已知!数列可的通项公式q-丁，求该数列的前项和S.；思路:写出数列的前项和注意其与等比数列形式类似，考虑用推导等比数目求和的方法来求其前项和.解：2丁,；2,S2,25.=2,÷22l÷.(ff-l)2÷r,-S=2÷22÷2,-2*S三f2*'-(2÷2,÷2,÷2),犷2(1-7)f!21-2=2*,-(2,-2)三(f-l)r,+2笔记:错位相减法适用与求一个等差数列与一个等比数列的积组成的新数列的前项和.(二)重点突破例7:(2007天津)在数列中，2，4他-加.1,/FWN.(I)证明数列U-M是等比数列；(II)求数列凡的前"项和s.；(III)证明不等式ZJ4S.,对任意“wN皆成立.思路直现：(1)由递M关系妾构造出数列，并证明其是等比数列.(2)利用分组求和法求出的前项和.(3)考虑用作差法证明.(I)证明：由题设1=4q-3+l,得5I)=4kJ.n)»八A"所以数列q-是首项为目I=H且公比为4的等比数列.(II)解：由(I)可知4一=，.,dtt-4-*n.S=(l÷l)÷(4÷2)÷÷(4,÷)=(l÷4÷4,4*,)÷(I2÷3÷÷)4,-1n(n*1)+32组求和 建议：熟记 几种常见的 数列求和类 型及其对应 方法.考查数列的 错位相减法 求和的问 题。建议：错位 相减法是高 考的一个常 考点，平时 训练给予重 视.本小题考查 等比数列的 概念、等比 数列的通项 公式及前n 项和公式、 不等式的证 明利用递推关 系式证明数 列成等比.利用分组求 和法求和(In)证明：对任意的EV,-(yft'n4O所以不等式SmW4S”，对任意N"皆成立笔记:本题实际上第一步的证明起到一个提示的作用,即应从递推关系出发构造出-的形式,并证明其为等比数列.例8:(2007辽宁)已知数列4；,0满足q二2，4-b且(I)令c.=4”,求数列匕：的通项公式；(Il)求薮列口的通项公式叁前项和公式S”.思路乂1)由于要构造c.,故把已知两式相加,即可得出规律.(2)由(I)提示,可考虑两式相减.(I)解：由题设可得O.2一(I+“J-2)，即q二%+2(22)易麻;)是首项为q一二3,公差为2的等差数列.,ca=2«÷1(II)解：由题设得q-4=,(a.I-2)(jfM2)，令d.a.-b.,则</.-!k</,l(11,2)易知14是首项为aA=I,公比为:的等比数列I-2w1»由I解得o-=p.(一÷w÷IY2阅题:这是一道创新题,题目较为新颖,遇见题目不要慌乱,其实问已经提示解答本题的方法,应整体考虑.四、习题一、选择题利用作差比较法证明不等式.建议：学会解题的技巧，有时候题目的提示往往在问题当中.本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查基本运算能力两式相加构造"“两式相减构造q列方程组求分组求和求Sn建议：在学习中重视整体思想的训练.1. （2008福建）设q是公比为正数的等比数列,若1=M=16,则数列SJ前7项的和为A.63B.64C.127D.1282. （2008浙江）已知an是等比数列，a2-215-，则+r?+<i2j+.=4A.6（l-4r）B.6（l-2,）C.；（14,>D."（"2）3. （2008海南）设等比数列的公比4=2,前项和为S“，则3-a2A.2B.4C."D.12224. （2007陕西）各项均为正数的等比数列伉；的前血和为S"，若S"2.S：二M则SJ等于A.80B.30C.26D.165. （2006辽宁）在等比数列叫中吗=2,前项和为S”,若数列也是等比数列,则S0等于A.r 2 B. 3/1 C. In6.数列L2L3Lj，.的前项和为(2 4 8 16A. B. r M /r . I) I - .D.：小 M) 2(| -223234nDj-I）C. n11*2）22,2124T2、2-c,L2rD. 1"22*二、填空防8 .等比数列4共2项，其和为-，0,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比g=9 .（2007全国I）等比数列q的前项和为S.,已知S,”,，3S成等差数列，则的公比为.10 .若等比数列q的前项和为S,满足'“-则此数列的公比4为三、解答题11 .（2007全国II）设等比数列%的公比g<,前项和为Sj已知,=2S4=SS1»求,J的通项公式.12 .（2008全国I）.在数列q中，O1=I,=%,+乙（I）设.证明：数列也：是等差数列；（II）求数歹凡的前项和S.已知数列:“".也：满足：qL4&且21.2q+%（1）令c.ujb.,求:q）的通项公式；（2）求数列“,电的通项公式；（3）求数列七的前项和SfJ习题答案I.C.分析：由4=1,%=16及应是公比为正数得公比9=2,所以S=±W=27I22.C.分析：为等比数列.l=2-g_>q42设“m，也：是首项为8,公比为1的等比数列aY门32÷÷.-A1*h、a卜、=(14),1-134q(T)3 .c分析：'IqI”a2alq-224 .B分析：%为均比数列，.Sv,成等比SJSh-S2JiV.SJ即314S2J-(5二匚=6或&=T.凡)各项均为正数，故S”>S.,故&,=6,28Sj-S、.成等比，所以3号16，.%305 .D分析:解：依题意，/(%为首项为2,公比为P=K的前+4项和，根据等比数列的求和公式可得D6 .C分析：因数列4为等比，则q=2q',因数列+1也是等比数列，则(0÷D2=(q÷IM0.?Dna：加“n。=船7nt,l2q)=0ng=,即q=2，所以S.=2«,故选择答案Co7 .A分析：S.I；：；7*.加!)(|/2+3.11)拈(；'TjEM)2(»2)1ZI÷*1÷÷2)-2I.12T28.B分析:设5.三.之.L贝j!sJr.3二22:2,2"22j2i22*“/.R=S-2=-y-p9.2分析:由题意可知-M因为等比数列共2项，SasWI=Sasa-6q占7Ps1 0.3分析：假设塔每层有。0盏，塔尖有q盏，由题意知道数列q为公比为2的等比数列，$.r1!_27u，381,4=3I211 .I分析：45：S1*3S），即*”9）二”"3（q+u,Jn生九解得&的公比g="J.12 .I分析数列&为等比数列，故0S,.LS品成公比为小的等比数歹U,故有,Slt-Ss311II*St3232*213 .(D分析:=SpO1=S24确定,等比数列f,唯一确定.由&=q%/=生+的,得4+|+，-&=0即/(一'H=o不能唯一确定小从而该数列不能唯一确定.4-为奇数时为偶数均不唯一,而该数列不能唯一确定.q=?唯一确定,二等比数列/唯一确定故©满足题意.14 .分析：由条件列出关于的方程组求解知夕进而得出结论.解：由题设知，0.g<LS一型二S,1-gqq=Zl-g<J(/)_<"Wq、=X由得IYi/)，(/4Mf1(f2)1«2NgTNg1)=0，因为4<1，解得g=-l或g=2当g=时，代入得4=2,通项公式4=2x<f"；当夕=-2时，代入得a,一L通项公式一：”-2.点拨:等比数列求基本量的巅目都可转化为关于的方程组解题.当然,应在解题过程中注意有关性质的应用,可简化计算量.15 .分析:利用递归关系式构造等差数列,进而求出数列句的通项公式,利用错位相减法求其前项和解：(1)%1=24+2",弘-生”,Ya".=b.+,则应为等差数列,4=,b.n>.(2) S2t÷22,+32,÷(f>-n22+w,25.»2,÷22¼32,*-(t-l)r,*2两式相减，得S.三n-2-2,-2,2w,=x2-÷I点拨：在求解题目的过程中，不应把思路集中在题目的条件上,有时考虑一下题目的问题上,往往会有“暮然回首，那人却在灯火阑珊处”的感觉.例如本题充分考虑如何构造券.16分析：(1)构造题目要求的”即可得到结果.(2)利用(1)的条4,就可求得/”“的递推关系式,利用递推关系求M进而求"(3)利用分组求和法,求S.解：(1)由题意可得,3(0T&)=“)，即h=,即。川二女.，所以KJ为首项为c=9公比为3的等比数列c三9,三3,(2)由(1)可知q+"=V',故"二3"“atK=M+尸，故！.=2tf.T故aSl即U31为首项为-2公比为2的等比数列，ll-r-2r,¾=tr-2故2=3M(3*-2p)=2r+2*(3) S90-2)*(31-21)÷(3,-2,)÷(3t-Z)三(3÷3¼3,+r)-(2+2,÷2,+2)3(1-T)2(l-2)3川1II工一-3-222点拨:本题较为新颖,所给方旭组而未知元宜多,因此,如何消元是本题的关键,应注意到题目系数的关系以及问题的中的提示,构建出数列为+a内容总结