《导数及其应用》单元测试题(理科).docx

导数及其应用单元测试题(理科)(满分150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共8小题，共40分，只有一个答案正确)1 .函数，幻=(2玄)2的导数是()（八）尸(X)=4;IX(B)f'(x)-42x(C)f,(x)=82x(D)ff(x)=16x2 .函数/Cr)=r*'的一个单调递增区间是()（八）-1,0(B)2,8(C)1,2(D),23 .已知对随意实数X,有/(-x)=-(),g(-x)=g(x),且x>0时，(x)>O,g'(x)>O,则x<0时()A./(x)>0,g'(x)>OB.ff(x)>0,g'(x)<OC.(x)<0,gf(x)>OD.(x)<0,g'(x)<Or2111.4 .(一+TT)公=()j,XXzX37751（八）In2+-(B)In2(C)ln2+-(D)In2+-884815 .曲线y=e3"在点(4,e?)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()A.e2B.4e2C.2e2D.e226 .设/'(X)是函数F(X)的导函数，将y=(x)和y='(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不行能正确的是()7.已知二次函数/(x)=?+法+c的导数为.J),/-(O)>0,对于随意实数X都有/(x)0,则生的最小值为(),(0)A.3B.C.2D.一228.设p:/(x)=e*+lnx+2%2+如+1在(0,+8)内单调递增，4：相，一5,则P是4的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件二.填空题(本大题共6小题，共30分)9 .用长为18Cm的钢条围成一个长方体形态的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1,则该长方体的长、宽、高各为时，其体积最大.10 .将抛物线y=y和直线y=1围成的图形绕y轴旋转一周得到的几何体的体积等于11 .已知函数/*)=j72x+8在区间一3,3上的最大值与最小值分别为M,m则M-m-.12 .对正整数小设曲线y=x"(l-x)在x=2处的切线与)，轴交点的纵坐标为册，则数列)的前项和的公式是13 .点P在曲线y=-+q上移动，设在点P处的切线的倾斜角为为,则的取值范围是14 .已知函数y=gd+/+4-5(D若函数在(_8,+8)总是单调函数，则。的取值范围是.(2)若函数在1,+8)上总是单调函数，则。的取值范围.(3)若函数在区间(-3,1)上单调递减，则实数。的取值范围是.解答题(本大题共6小题，共12+12+14+14+14+14=80分)15 .设函数f)=eXr.证明:F(X)的导数/'(X)22；(2)若对全部都有f(x)ax,求。的取值范围.16 .设函数/(x)=3+3x+2分别在%、处取得微小值、极大值xoy平面上点A、B的坐标分别为(,/(»)、(x2,(x2),该平面上动点P满意PAPB=4,点。是点。关于直线y=2(x-4)的对称点，.求(1)求点A、8的坐标；(2)求动点。的轨迹方程.17 .已知函数/(x)=G?Inx+Zfl-c(>o)在X=1处取得极值.3c其中a,b,c为常数。(1)试确定a,b的值；(2)探讨函数f(x)的单调区间；(3)若对随意x>0,不等式/(x)-2c2恒成立，求C的取值范围。18 .已知f(x)=-(0+l)2+4x+l(R)(1)当。=一1时，求函数的单调区间。(2)当R时，探讨函数的单调增区间。(3)是否存在负实数。，使xe1,0,函数有最小值一3?19 .已知函数/Cr)=/一3x.(1)求曲线丁=/(外在点方=2处的切线方程；(2)若过点A(l,m)(mw-2)可作曲线y=(x)的三条切线，求实数?的取值范围.20 .已知函数/(x)=x+幺，(x)=x+Inx,其中>0.(1)若X=I是函数MX)=/(x)+g(x)的极值点，求实数的值；(2)若对随意的,%l,W(e为自然对数的底数)都有/()2g(w)成立，求实数。的取值范围.理科测试解答一、选择题1. f(x)(2g/=4f,(x)=242x=f,(x)=8X；或(X)=2(2mr)(2加j=4k2=8x(理科要求：复合函数求导)2. /=X.1二J./=L<二,"=，"Li/>0,XVl选（八）或/'(x)=le+xer(-l)=(l-x)e>0.e'r>0,.x<l.3. (B)数形结合4. (D)5. (D)6. (D)7. (C)8. (B)二、填空题9. 2cm,lcm,1.5cm;设长方体的宽为x(m),则长为2x(m),高为.1812X<1/3)h=-=4.5-3x(m)I(Xx<-I.故长方体的体积为VM=2x2(4.5-3x)=9x2-6x3(m3)(Xx<).从而v)=18x-lSx2(4.5-3x)=18x(1-x).令V'(x)=0,解得X=O(舍去)或x=l,因此X=L当OVXVl时，Vz(X)>0；当IVXVW时，V1(X)<0,3故在x=l处Va)取得极大值，并且这个极大值就是V(%)的最大值。从而最大体积V=V'(x)=9×12-6×13(m3),此时长方体的长为2m,高为1.5m.10. .S='r2y=万j：2ydy=(g=%(图略)11. 3212. MX=2=-2"T("+2),切线方程为:)，+2"=-2'1(+2)。-2),令x=0,求出切线与y轴交点的纵坐标为%=(+1)2",所以n=2”，则数列<含,的前项和s,二zy13o4Jutj14 .(l)4l;(2)a-3;(?)a<-3.三、解答题15 .解：(1)/(x)的导数r)=e"+e.由于故r(x)22.(当且仅当X=O时，等号成立).(2)令g(x)=y*(X)-Or,则g'(x)=f,M-a=ex+ev-a,(i)若aW2,当x>0时，gf(x)=ex+e-a>2-a0,故g(X)在(0,+8)上为增函数，所以，x20时，g(x)2g(0),BP/(x)0r.(ii)若>2,方程g'(x)=O的正根为玉=In”亨三，此时，若x(0,x1),则g'(x)<O,故g(x)在该区间为减函数.所以，x(0,X)时，g(x)<g(O)=O,即/(x)<r,与题设f(x)2火相冲突.综上，满意条件的。的取值范围是(-8,2.16 .解：(1)由题意知/(l)=-3-c,因此力一c=-3-c,从而人=一3.又对F(X)求导得f,(x)=44x3lnx+r4-+4bx3X=x3(4tlnx+tz+4Z?).由题意/'(1)=0,因此。+4/?=0,解得=12.(2)由知/'(x)=48jn%(x>0),令f'(x)=O,解得X=1.当OeX<1时，(x)<O,此时/(X)为减函数;当x>l时，,(x)>0,此时/(x)为增函数.因此/(x)的单调递减区间为(0,1),而/(x)的单调递增区间为(1,+8).(3)由(II)知，/(x)在X=I处取得微小值/(1)=一3-c,此微小值也是最小值，要使/(x)-2c1(x>0)恒成立，只需一3-c2-2.即2/一。一320,从而(2c-3)(c+1)20,解得c21或cWT.23、所以C的取值范围为(一8,-1儿.J+817 .解:(1)令f,(x)=(-X3+3x+2)'=-3x2+3=0解得X=I垢=一1当V-I时,J'(x)vO,当-IVXVl时,'(%)>0,当x>l时J'(x)vO所以，函数在x=-l处取得微小值，在X=I取得极大值，故x1=-l,2=1,/(-1)=0,/(1)=4所以，点A、B的坐标为A(TQ),8(1,4).设p(n,z?),Q(x,y),PAPB=(r-m-n)(-mA-r)=m2-1+h2-4=4攵=一2.,所以上二N二-I,又PQ的中点在y=2(-4)上,所以2兰4、2x-m22I2J消去也得(x-8F+(y+2)2=9.另法：点P的轨迹方程为/+(-2)2=9,其轨迹为以(0,2)为圆心，半径为3的圆；设点(0,2)关于y=2(x-4)的对称点为(a，b),则点Q的轨迹为以(a,b),为圆心，半径为3的圆，一 4 得 a=8,b=-2,b-21b+2J4+O由=一一，=2a-022(218(1)X(-oo,-2),xe(2,÷o),f(x)i三M;xw(-2,2),/递增；(2)1、当。=0,xe(-8,-2/(»递增;2、当。<0,2,2)/(x)递增;3、当0<4<1,e(-8,2),或X2,+OO)Ja)递增;=l,xe(-,-o),(x)递增;当>l,-或x(2,-h»),/(x)递增;(3)因4 < 0,由分两类(依据：单调性，微小值点是否在区间-1,0上是分类“契机”: 1、当2 = 0-2, xwT0 J2,2(x)递增，/(.* = /(-1) = 3 解得 =-3>-2,22、当 Z>,o-2,由单调性知：Min =ZH =-3» 化简得：32+3-l = 0,解得aa一3士而>_2不合要求;综上， = 为所求。6419.解(1) fx) = 3x2 - 3, f,(2) = 9, /(2) = 23-3×2 = 22 分曲线y = (x)在尢=2处的切线方程为了-2 = 9(工一2),即9x-y-16 = 0; 4分(2)过点A(Lm)向曲线y = f(x)作切线，设切点为(XO,%) 则 Jo = 3-3x0 = () = 3j2-3.则切线方程为 y-(j -3/)=(3x02-3)(x-x0)6 分整理得 2/3-3/2 + m + 3 = 0 (*)过点A(l, M (m -2)可作曲线y = f(x)的三条切线方程(*)有三个不同实数根.记 g(x) = 2x3 -3x2 +/n+ 3,g'(%) = 6x2 -6x = 6x(x-1)10分XSO)0(0,1)X _(l,+)g'()+00+g0)/啰大微小/令 g'(x) = 0,R = 0 或 1.则X, g'(x),g(x)的改变状况如下表当X = O,g(x)有极大值m+ 3; X= l,g(x)有微小值m + 2.e(0) >0由g(x)的简图知，当且仅当,12分/71+3 >0 m + 2<'-3 <加<一2 时,函数ga)有三个不同零点，过点A可作三条不同切线.所以若过点A可作曲线y=/(x)的三条不同切线，m的范围是(一3,-2)14分20.(1)解法1：F(x)=2x+?+InX,其定义域为(0,+oo),h,(x)=2+.XXTx=I是函数MX)的极值点，=0,即3-/=0.。>0,/.a=石.经检验当O=G时，X=I是函数MX)的极值点，/.a=>/3.解法2：;%(x)=2+-+如x,其定义域为(0,+8),2 /(x)=2-+LXX21令"(x)=0,即2皆+：=0,整理，得2d+-=oV=l+8a2>0,，/CAJk人du1Jl+8。，/人,、-1+JI+8，h(x)=0的两个实根x1=(舍去)，X2当X改变时，(x),'(力的改变状况如下表：X(0,2)（工2收）0+MX)、微小值依题意，1+V1+8fl2=i,即/=3,4 .*¢/>O,.*.a=V3.(2)解：对随意的,x2l,都有/()2g(2)成立等价于对随意的x,2i,a都有Iya)LXga)max.当x1,e时，g'(x)=l+->0.，函数g(x)=x+lnx在1,e上是增函数.g(MLx=g(e)=e+l 力X)=Iq=T上也且问14a>0.当O<<l且x1,e时，/3=口+?卜叽0,2 函数力=X+;在1,e上是增函数，=+由l+2e+,得。2五，又Oea<1,，。不合题意.当lo<e时，若ItV-则火力=(?Xi)<0,若"XWe,则小)=仁?尸>0.函数“x)=x+;在l,4)上是减函数，在3e上是增函数.m=/()=2。.e+i由242e+l,得a2,2又IWoWe,，巴WoWe.2当>e且x1,e时，/(x)=0+"，<0,2，函数f(x)=x+幺在1,e上是减函数."x)L="e)=e+?2由eH2e+1,得2>c,又a>e、*.a>e.e+、综上所述，。的取值范围为,+00.2)