《导数及其应用》知识点总结.docx

导数及其应用学问点总结一、导数的概念和几何意义1 .函数的平均改变率：函数在区间三上的平均改变率为：IXI。2 .导数的定义：设函数目在区间上有定义，目,若a无限趋近于O时，比值XI无限趋近于一个常数A,则称函数目在臼处可导，并称该常数A为函数目在自处的导数，记作日。函数目在叵处的导数的实质是在该点的瞬时改变率。3 .求函数导数的基本步骤：(1)求函数的增量一；(2)求平均改变率：1;(3)取极限，当回无限趋近及O时，无限趋近及一个常数A,则目.4 .导数的几何意义：函数臼在国处的导数就是曲线目在点目处的切线的斜率。由此，可以利用导数求曲线的切线方程，详细求法分两步：(1)求出口在x处的导数，即为曲线目在点E三3处的切线的斜率；(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为当点目不在日上时，求经过点P的目的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P点的坐标代入确定切点。特殊地，假如曲线目在点日处的切线平行及y轴，这时导数不存在，依据切线定义，可得切线方程为o5 .导数的物理意义：质点做直线运动的位移S是时间t的函数臼，则目表示瞬时速度,三表示瞬时加速度。二、导数的运算1 .常见函数的导数：(1) El (k, b 为常数)；(3)目；(5) 日； ;(9)；(11)日；(13) =1；(2) (C为常数)；(4)日；(6)国；(8) 为常数)；(10)(12)臼；(14) I 一 o6 .函数的和、差、积、商的导数：(1) PnV-B；(2) I-1(C为常数)；(3) V；(4) .3.简洁复合函数的导数：若I一,则l,即三、导数的应用1 .求函数的单调性:利用导数求函数单调性的基本方法：设函数目在区间内可导,（1）假如恒目，则函数目在区间上为增函数；（2）假如恒目，则函数目在区间上为减函数；（3）假如恒目，则函数目在区间上为常数函数。利用导数求函数单调性的基本步骤：求函数目的定义域；求导数;解不等式目,解集在定义域内的不间断区间为增区间；解不等式三，解集在定义域内的不间断区间为减区间。反过来，也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题（如确定参数的取值范围）：设函数目在区间内可导，（1）假如函数目在区间日上为增函数,则目（其中使目的习值不构成区间）；（2）假如函数目在区间上为减函数，则三（其中使目的可值不构成区间）；（3）假如函数目在区间上为常数函数,则三恒成立。2 .求函数的极值：设函数目在可及其旁边有定义，假如对日旁边的全部的点都有l（或l）,则称三是函数的微小值（或极大值）。可导函数的极值，可通过探讨函数的单调性求得，基本步骤是：（1）确定函数的定义域；（2）求导数;（3）求方程目的变时，国和国值的改变状况:Xa3日三正负O正负O正负单调性单调性单调性全部实根,顺次将定义域分成若干个小区间，并列表：X改（4）检查的符号并由表格推断极值。3 .求函数的最大值及最小值：假如函数在定义域I内存在国，使得对随意的三,总有1.×J，则称为函数在定义域上的最大值。函数在定义域内的极值不肯定唯一，但在定义域内的最值是唯一的。求函数在区间上的最大值和最小值的步骤：4 1）求日在区间上的极值；5 2）将第一步中求得的极值及日比较，得到国在区间臼上的最大值及最小值。6 .解决不等式的有关问题：（1）不等式恒成立问题（肯定不等式问题）可考虑值域。IX1的值域是时，不等式目恒成立的充要条件是L×J,即区J;不等式三恒成立的充要条件是三l,即皿。I"1的值域是时，不等式三恒成立的充要条件是LrJ;不等式目恒成立的充要条件是皿O（2）证明不等式目可转化为证明目，或利用函数的单调性，转化为证明FIo7 .导数在实际生活中的应用：实际生活求解最大（小）值问题，通常都可转化为函数的最值.在利用导数来求函数最值时，肯定要留意，极值点唯一的单峰函数，极值点就是最值点，在解题时要加以说明。