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    选修2-2第一章导数及其应用单元同步测试含解析.doc

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    选修2-2第一章导数及其应用单元同步测试含解析.doc

    第一章测试(时间:120分钟,总分值:150分)一、选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的)1设函数yf(x)在(a,b)上可导,那么f(x)在(a,b)上为增函数是f(x)>0的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析yf(x)在(a,b)上f(x)>0yf(x)在(a,b)上是增函数,反之,yf(x)在(a,b)上是增函数f(x)0f(x)>0.答案A2假设曲线yf(x)在点(x0,f(x0)处的切线方程是2xy10,那么()Af(x0)>0Bf(x0)<0Cf(x0)0Df(x0)不存在解析曲线yf(x)在点(x0,f(x0)处的切线的斜率为f(x0)2<0.答案B3曲线yx32在点(1,)处切线的倾斜角为()A30° B45°C135° D150°解析yx2,ktany|x1(1)21,45°.答案B4曲线f(x)x3x2的一条切线平行于直线y4x1,那么切点P0的坐标为()A(0,1)或(1,0) B(1,0)或(1,4)C(1,4)或(0,2) D(1,0)或(2,8)解析设P0(x0,y0),那么f(x0)3x14,x1,x01,或x01.P0的坐标为(1,0)或(1,4)答案B5以下函数中,在(0,)上为增函数的是()Aysin2xByx3xCyxexDyxln(1x)解析对于C,有y(xex)exxexex(x1)>0.答案C6以下积分值为2的是()A.(2x4)dx B.cosxdxC.dx D.sinxdx解析sinxdxcosxcoscos02.答案D7函数f(x)在其定义域可导,yf(x)的图象如右图所示,那么导函数yf(x)的图象为()解析由yf(x)的图象知,有两个极值点,那么yf(x)的图象与x轴应有两个交点,又由增减性知,应选D项答案D8函数f(x)x33x29x,x(2,2),那么f(x)有()A极大值5,极小值为27B极大值5,极小值为11C极大值5,无极小值D极小值27,无极大值解析f(x)3x26x93(x1)(x3)当x<1时,f(x)>0,当1<x<3时,f(x)<0.x1是f(x)的极大值点且极大值为f(1)5,在(2,2)无极小值答案C9f(x)为三次函数,当x1时f(x)有极大值4,当x3时f(x)有极小值0,且函数f(x)过原点,那么此函数是()Af(x)x32x23x Bf(x)x36x2xCf(x)x36x29x Df(x)x36x29x解析设f(x)ax3bx2cx(a0),那么f(x)3ax22bxc3a(x1)(x3)3ax212ax9a.由题意得解得a1,b6,c9.所以f(x)x36x29x.答案D10由抛物线yx2x,直线x1与x轴围成的图形的面积为()A.B1C.D.解析如下图,阴影局部的面积为S11(x2x)dx(x3x2).S2(x2x)dx(x3x2),故所求的面积为SS1S21.答案B11函数f(x)ax3bx2cx在x处有极值,那么ac2b的值为()A3 B0C1 D3解析f(x)3ax22bxc,依题意知,3a×()22b×c0,即c0,2bac3.答案A12设函数f(x)满足x2f(x)2xf(x),f(2),那么x>0时, f(x)()A有极大值,无极小值B有极小值,无极大值C既有极大值又有极小值D既无极大值也无极小值解析由题意知,f(x).令g(x)ex2x2f(x),那么g(x)ex2x2f(x)4xf(x)ex2x2f(x)2xf(x)exex.由g(x)0,得x2.当x2时,g(x)有极小值g(2)e22×22f(2)e28·0.g(x)0.当x>0时,f(x)0,故f(x)在(0,)上单调递增,f(x)既无极大值也无极小值答案D二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分把答案填在题中的横线上)13函数f(x)在R上可导,且f(0)2.x,yR,假设函数f(xy)f(x)f(y)成立,那么f(0)_.解析令y0,那么有f(x)f(x)f(0)f(0)2,f(x)不恒为0,f(0)1.答案114解析答案115假设函数f(x)x3f(1)·x22x5,那么f(2)_.解析f(x)x22f(1)x2,f(1)12f(1)2.f(1)1.f(x)x22x2.f(2)222×222.答案216一物体以初速度v9.8t6.5米/秒的速度自由落下,且下落后第二个4 s经过的路程是_解析(9.8t6.5)dt(4.9t26.5t)4.9×646.5×84.9×166.5×4313.65278.426261.2.答案261.2米三、解答题(本大题共6个小题,共70分解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)函数f(x)x34xm在区间(,)上有极大值.(1)数m的值;(2)求函数f(x)在区间(,)的极小值解f(x)x24(x2)(x2)令f(x)0,得x2,或x2.故f(x)的增区间(,2)和(2,),减区间为(2,2)(1)当x2,f(x)取得极大值,故f(2)8m,m4.(2)由(1)得f(x)x34x4,又当x2时,f(x)有极小值f(2).18(12分)用总长为14.8米的钢条制成一个长方体容器的框架,如果所制的容器的底面的长比宽多0.5米,那么高为多少时容器的容器最大?并求出它的最大容积解设容器底面宽为x m,那么长为(x0.5)m,高为(3.22x)m.由解得0<x<1.6,设容器的容积为y m3,那么有yx(x0.5)(3.22x)2x32.2x21.6x,y6x24.4x1.6,令y0,即6x24.4x1.60,解得x1,或x(舍去)在定义域(0,1.6)只有一个点x1使y0,且x1是极大值点,当x1时,y取得最大值为1.8.此时容器的高为3.221.2 m.因此,容器高为1.2 m时容器的容积最大,最大容积为1.8 m3.19(12分)设函数f(x)2x33(a1)x26ax(aR)(1)当a1时,求证:f(x)为R上的单调递增函数;(2)当x1,3时,假设f(x)的最小值为4,数a的值解(1)证明:当a1时,f(x)2x36x26x,那么f(x)6x212x66(x1)20,f(x)为R上的单调增函数(2)f(x)6x26(a1)x6a6(x1)(xa)当a1时,f(x)在区间1,3上是单调增函数,此时在1,3上的最小值为f(1)3a1,3a14,a>1(舍去);当1<a<3时,f(x)在(1,a)上是减函数,在区间(a,3)上是增函数,故在1,3上的最小值为f(a)2a33(a1)a26a24.化简得(a1)(a2)20,a1<1(舍去),或a2;当a3时,f(x)在区间(1,a)上是减函数,故f(3)为最小值,5427(a1)18a4,解得a<3(舍去)综上可知,a2.20(12分)设函数f(x)x3bx2cxd(a>0),且方程f(x)9x0的两根分别为1,4.(1)当a3,且曲线yf(x)过原点时,求f(x)的解析式;(2)假设f(x)在(,)无极值点,求a的取值围解由f(x)x3bx2cxd,得f(x)ax22bxc,f(x)9xax22bxc9x0的两根分别为1,4,(*)(1)当a3时,由(*)得解得b3,c12.又曲线yf(x)过原点,d0.故f(x)x33x212x.(2)由于a>0,所以“f(x)x3bx2cxd在(,)无极值点,等价于“f(x)ax22bxc0在(,)恒成立由(*)式得2b95a,c4a.又(2b)24ac9(a1)(a9),解得a1,9,即a的取值围是1,921(12分)函数f(x)ax3bx2的图象经过点M(1,4),曲线在点M处的切线恰好与直线x9y0垂直(1)数a,b的值;(2)假设函数f(x)在区间m,m1上单调递增,求m的取值围解(1)f(x)ax3bx2的图象经过点M(1,4),ab4.又f(x)3ax22bx,那么f(1)3a2b,由条件f(1)()1,得3a2b9.由,解得a1,b3.(2)f(x)x33x2,f(x)3x26x,令f(x)3x26x0,得x0,或x2,假设函数f(x)在区间m,m1上单调递增,那么m,m1(,20,),m0,或m12,即m0,或m3,m的取值围是(,30,)22(12分)函数f(x)(x1)lnxx1.(1)假设xf(x)x2ax1,求a的取值围;(2)证明:(x1)f(x)0.解(1)f(x)lnx1lnx,xf(x)xlnx1,题设xf(x)x2ax1等价于lnxxa.令g(x)lnxx,那么g(x)1.当0<x<1时,g(x)>0;当x1时,g(x)0,x1是g(x)的最大值点,g(x)g(1)1.综上,a的取值围是1,)(2)由(1)知,g(x)g(1)1,即g(x)10,即lnxx10,当0<x<1时,f(x)(x1)lnxx1xlnx(lnxx1)0;当x1时,f(x)lnx(xlnxx1)lnxx(lnx1)lnxx(ln1)0.所以(x1)f(x)0.12 / 12

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