《概率论与数理统计》期末考试试题及答案.docx

概率论与数理统计期末考试试题（八）专业、班级：姓名：学号：题号I一I二I三I四I五I六I七I八I九I十I十一I十二I总成豪得分二：单项选择题(每题3分共18分)1. D2.A3.B4.A5.A6.B若事件A、B适合P(AB)=O,则以下说法正确的是().(A) A与B互斥(互不相容)；(B) P（八）=O或P(8)=0;(C) A与8同时出现是不可能事件；(1)(D)P（八）>0,则P(BA)=O.(2)设随机变量X其概率分布为XlT012P0.20.30.10.4则PX1.5=()。（八）0.6(B)1(C)0(D)-2(3)设事务A与A?同时发生必导致事务A发生，则下列结论正确的是()（八）P（八）=P(AA2)(B)P（八）P（八）+P(A2)-I(C)P（八）=P(AUA2)(D)P（八）P(A,)÷P(A2)-I(4)设随机变量xN(-3,1),yN(2,1),且X与y相互独立，令Z=X-2丫+7,则Z().（八）N(0,5);(B)N(0,3);(C)N(0,46);(D)N(0,54).(5)设XLX2,，X为正态总体N("q2)的一个简洁随机样本，其中b=2,未知，则()是一个统计量。（八）X,2+2(B)(X,.-/)2Z=IZ=I(C)X-A(D)(6)设样原来X,X2,，X自总体乂阳小/)/未知。统计假设为“0：=o(4o已知)”1：工0。则所用统计量为()(IjXo/QxTX4。（八）U=-j-j=(B)T=厂LNnSyn©/=纪些(D)=-(Xi)2CrCF1=二、填空题(每空3分共15分)1.P(B)2,f(x)xeX>°,3"23.-14,r(9)0x0(1)假如P（八）>0,P(B)>0,P(B)=P（八）,则P(4)=.(2)设随机变量X的分布函数为(0,0,F(X)=<-、.X1-(1+x)e,%>0.则X的密度函数/(X)=，P(X>2)=.(3)设4,&，&是总体分布中参数的无偏估计量,=a-22÷3包，当Q=时，A也。是的无偏估计量.(4)设总体X和y相互独立,且都听从N(0,l),X,X2,一X9是来自总体X的Y+X样本，匕,丫2,匕是来自总体丫的样本，则统计量u=-田+*听从分布(要求给出自由度)。三、(6分)设A,3相互独立，P（八）=0.7,P(AUB)=0.88,求P(A-5).角¥：0.88=P(AUB)=P（八）+P(B)-P(AB)=P（八）+P(B)-P（八）P(B)(因为A,8相互独立)2分=0.7+P(B)-0.7P(B)3分则P(B)=0.64分P(A-B)=P（八）-P(AB)=P（八）-P（八）P(B)=0.7-0.7×0.6=0.286分四、(6分)某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻T,各电梯在运行的概率均为0.7,求在此时刻至少有1台电梯在运行的概率。解：用X表示时刻T运行的电梯数，则X伙4,0.7)2分所求概率PXl=-PX=04分=1-C(0.7)°(1-0.7)4=0.99196分五、(6分)设随机变量X的概率密度为/(X)=；',求随机变量Y=2X+1的概率密度。解：因为y=2x+l是单调可导的，故可用公式法计算1分Sx>oW,r2分由y=2x+l,得X=-,x,=-4分22y-11从而y的密度函数为力U)=5分0y<2yy<l6分六、(8分)已知随机变量X和y的概率分布为X-101Y01P_J_2P_42422而且py=.(1)求随机变量X和丫的联合分布；(2)推断X与丫是否相互独立？解：因为pxy=o=i,所以pyo=o(1)依据边缘概率与联合概率之间的关系得出X-1010101141421020J_2£4244分因为p=o,r=o=opx=opy=o=gxg=；所以X与丫不相互独立8分七、（8分）设二维随机变量（x,y）的联合密度函数为12e-(3x+4y),>0,y>0,.0,其他求：(1)P(0Xl,0y2);(2)求X的边缘密度。I2解：(1)P(0X1,0y2)=d12e-(3x+4y)dy2分00=£3"公.24e-4>dy=-"叫一厂£4分6分8分(2)fx(x)=l2e-av+4yydy_3e-3xx>00x0八、(6分)一工厂生产的某种设备的寿命X(以年计)听从参数为！的指数分4布。工厂规定，出售的设备在售出一年之内损坏可予以调换。若工厂售出一台设备盈利100元，调换一台设备厂方需花费300元，求工厂出售一台设备净盈利的期望。1 14解：因为Xe得/(X)=r4x>02分4 0x0用y表示出售一台设备的净盈利100XlC八Y=3分l-3000<X<l则P(Y=100)=INy=JZ1P(y=-200)=7=l-e4分II所以Ey=IoOXe+(-200)×(1-z)=3007-2(X)33.64(元)6分九、(8分)设随机变量X与y的数学期望分别为-2和2,方差分别为1和4,而相关系数为一0.5,求E(2X-V),D(IX-Y).解：已知EY=-2,EY=21DX=,Oy=4,PXy=-0.5则E(2X-Y)=2EX-EY=2×(-2)-2=-64分D(2X-Y)=D(2X)+DY-2covQX,Y)5分=2DX+DY-4cov(X,Y)6分=2DX+Dr-4DX5Fpxr=128分十、（7分）设供电站供应某地区Io（X）户居民用电，各户用电状况相互独立。已知每户每日用电量（单位：度）听从0,20上的匀称分布，利用中心极限定理求这1000户居民每日用电量超过10100度的概率。（所求概率用标准正态分布函数中（幻的值表示）.解：用Xj表示第i户居民的用电量,则XjU0,20EX.=ia=103=型亚=曲2分'21231000则IoOO户居民的用电量为X=Xx,由独立同分布中心极限定理=lpx > 10100=-PX 10100 3分4分6分7分十一、（7分）设项,修，户是取自总体X的一组样本值，X的密度函数为、+V）x0,0<x<1,f（x）=口。，其他其中6>0未知，求。的最大似然估计。解：最大似然函数为1.(XI,，怎,0)=Ylf(xi)=Yl(+l)xf2分I=I1=1=(6+1)”区,Z)O3分InL(X夕)="ln(6+1)+。In(Xi，,演f)O<x1,xrt<14分令蟹=W+3"")=°5分于是。的最大似然估计：=-o7分Inln(x1,x,f)十二、(5分)某商店每天每百元投资的利润率XN(4,l)听从正态分布，均值为,长期以来方差(稳定为1,现随机抽取的100天的利润，样本均值为M=5,试求的置信水平为95%的置信区间。(fo.05(l)=18,(1.96) = 0.975 )1分2分依题意a=0.05,Ua=1.96,n=100,=l,x=52则的置信水平为95%的置信区间为丘-Ua+Uj?4分2£即为14.801,5.1995分