《概率论与数理统计教程》沈恒范著-期末复习重点.docx
概率论与数理统计教程期末复习提要第一章随机事务与概率1 .事务的关系AUBAuBABA-BAAB=2 .运算规则(1)A<jB=BjAAB=BA(2) (AuB)UC=Au(BuC)(AB)C=A(BC)(3) (AuB)C=(AC)U(BC)(AB)uC=(AuC)(BuC)(4) A<jB=ABAB=AuB3.概率P（八）满意的三条公理及性质:(1)OP（八）1(2)P(C)=I(3)对互不相容的事务A,A2,4,有P(IJA。=fp(4)(可以取8)A=Ik(4)P(O)=O(5)P（八）=1-P（八）(6) P(A-B)=P（八）-P(AB)f若Au8,则P(B-A)=P(B)P（八）,P（八）P(B)(7) P(Au)=P（八）+P(B)-P(AB)(8) P(AuBuC)=P（八）+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)4 .古典概型：基本领件有限且等可能5 .几何概率6 .条件概率(1) 定义：若P(B)>O,则P(A3)=丹竺(2) 乘法公式：P(AB)=P(8)P(AIB)若用，当,纥为完备事务组，P(Br)>0,则有(3) 全概率公式:P(A) = X P(Sj)P(AM)(4) Bayes 公式:ZWA) =辛山旦L P()P(ABj)7 .事务的独立性：A,B独立=P(AB)=P（八）P(B)(留意独立性的应用)其次章随机变量及其分布1.离散随机变量：取有限或可列个值，P(X=Xi)=Pi满意(1)Pi0,(2)ZPi=Ii(3)对随意OUR,P(XSD)=EPii:XiWD2.连续随机变量：具有概率密度函数/3),满意(1)/(x)0,f(x)dx=iJ-OO(2)P(VXb)=f/(幻右；(3)对随意R,P(X=)=O3.几个常用随机变量名称与记号分布列或密度数学期望方差两点分布8(1,P)P(X=I)=p,P(X=O)=g=lpPPq二项式分布5(%P)P(X=Q=c：Pkqn-k,k=0,1,2,，npnpqPoisson分布P)尸(X一,A=0,1,2,k几何分布G(P)P(X=k)=qkxp,k=-17qP2匀称分布U(4,)f(x)=-一,axb,b-aa+b2S-a)?12指数分布E(l)/*)=及tx01I1正态分布N”,/)y22b4.分布函数F(x)=P(Xx),具有以下性质(1)F(-)=0,F(+)=h(2)单调非降；(3)右连续；(4)PgVXb)=F(b)-F(a),特殊P(X>a)=1尸(。)；(5)对离散随机变量，F(x)=pi;hxl<x(6)对连续随机变量，F(X)=/为连续函数，且在/*)连续点上，F'M=f(X)5 .正态分布的概率计算以中(%)记标准正态分布N(OJ)的分布函数，则有(1) (0)=0.5;(2)(-x)=1-();(3)若XN(mq2),则F(X)=(当;(4)以记标准正态分布N(O,1)的上侧分位数，则P(X>%)=l-(%)6 .随机变量的函数Yg(X)(1)离散时，求丫的值，将相同的概率相加；(2) X连续，g(x)在X的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则y(y)=x(gT(y)(gT(y),若不单调，先求分布函数，再求导。第三章随机向上1 .二维离散随机向量，联合分布列P(X=项,丫=yj)=Pij,边缘分布列P(X=i)=p.f。(丫=力)=%有(1) pij0；(2)Zp“=1；Pi=ZPij，Pj=EPijiiji2 .二维连续随机向量，联合密度/(x,y),边缘密度(%),4(y),有(1)/(,y);(2)二,y)=hP(X,y)G)=JL”乂)，以必，；(4)A(X)=匚/(,y)dy，4(y)=匚/(Ky)公3 .二维匀称分布/。,丁)二，嬴小('')')。,其中加(G)为G的面积0,其它4 .二维正态分布(x,y)N(”2，b：，b；，)，其密度函数(牢记五个参数的含义)f(,y)1 exp2i2 -p2 2(1-p )|_ lN*-"*- 2)2,(y-2)2且xN(M,c),yN(2，。；)；5 .二维随机向量的分布函数F(X,y)=P(Xx,yy)有(1)关于y单调非降；(2)关于x,y右连续；(3) F(x,-)=F(-,y)=F(-)=0；(4) 7(+oo,+CO)=1,F(x,+)=Fx(x),F(+,y)=Fr()；(5) P(x1<Xx2,1<Yy2)=F(x2,y2)-F(x1,2)-F(x2,y1)+F(x1,y1);(6)对二维连续随机向量，f(,y)='，(：)xy6.随机变量的独立性X1独立O/(x,y)=Fx(x)F(y)(1)离散时X,y独立OPg=Pi.Pj(2)连续时X,Y独立of(x,y)=fx(x)f(y)(3) 二维正态分布x,y独立=0=0,且x+yn(从+2。；+卢)7.随机变量的函数分布(1) 和的分布Z=X+y的密度JZ(Z)=J：/(Z-Ky)dy=4(x,Z-x)dx(2) 最大最小分布第四章随机变量的数字特征1 .期望(1)离散时E(X)=EXiPi，E(g(X)=Zg(Xj)Pi；ii连续时E(X)=xf(x)dx,E(g(X)=g(x)f(x)dxiJ-8J-Oo(3)二维时E(g(X,y)=Zg(XQj)P/E(g(X,y)=匚J：g(xty)f(x,y)dxdyJF8(4)E(C)=C,(5)E(CX)=CE(X);(6) E(X+Y)=E(X)+E(Y)i(7) X,V独立时，E(XY)=E(X)E(Y)2 .方差(1)方差。(X)=E(X-E(X)2=E(X2)_(破)2,标准差o(X)=JD(X)；(2) D(C)=0,D(X+C)=D(X);(3) D(CX)=C2D(X);(4) X,Y独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y)3 .协方差(1) Cov(X9Y)=E(X-E(X)G-E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)i(2) Cov(X,Y)=Cov(Y9X)9Cov(aXybY)=abCovX,Y)；(3) Cov(X1+X2,Y)=CovXx,Y)+CovX2,Y)；(4)Cov(xy)=w,称x,y不相关，独立=不相关，反之不成立，但正态时等价;(5)D(X+y)=D(X)+D(Y)+ICov(X9Y)4 .相关系数px=C-(X；有IPXyI1,IPXyl=Iom4,4P(Y=aX+b)l(X)(K)5 .k阶原点矩匕=E(XA),k阶中心矩Mt=E(X-E(X)«第五章大数定律与中心极限定理1 .ChebySheV不等式PX-E(X)e驾或R一£(x)<©1一华£22 .大数定律3 .中心极限定理(1)设随机变量X,乂2,，X”独立同分布E(Xi)=4,O(Xi)=/，则“2ZXj-YxiN(n,n?),或！之XiN(J)或i三½=N(0,l),白近似白近似Go近似(2)设7是次独立重复试验中A发生的次数，P（八）=p,则对随意X,有Iim尸x=(x)或理解为若X8(%P),则XN(np、npq)*Jnpq近似第六章样本及抽样分布1 .总体、样本(1)简洁随机样本：即独立同分布于总体的分布(留意样本分布的求法)；2 2)样本数字特征：样本均值X=-Yxi(E(M)=4,D(X)=-);9n样本方差S2=-Y(X,.-X)2(E(S2)=2)样本标准差一1片S=J-LTt(X厂5)2样本2阶原点矩乙=-X-，样本阶中心矩4=-(X,-X)k2 .统计量：样本的函数且不包含任何未知数3 .三个常用分布(留意它们的密度函数形态及分位点定义)(1)/2分布?=2+;+;/2(力，其中乂，X"，X”独立同分布于标准正态分布N(O,1),若X%25J,y%2(%)且独立，则+y%2(%+%);(2)，分布ty7n «)，其中 X N(0,1), Y /()且独立;3 3)R分布F=F(WpW2),其中X2(jy/2(,)且独立，有下面的Y/n2性质JF(n2,71),F"%,2)=;FFa(n2fnl)4 .正态总体的抽样分布(1)MN(4,2/)；(2)二£(Xj-)222(Crr=(3)("一且与4独立;(4)Z=£三g*一1)；2S/G(5)”(又广)-()乒，s；=(s：+(eS3VwI÷w2，«1+«2-2F=个2>'户("T%T)S22第七章参数估计1 .矩估计：(1)依据参数个数求总体的矩；(2)令总体的矩等于样本的矩；(3)解方程求出矩估计2 .极大似然估计：(1)写出极大似然函数；(2)求对数极大似然函数(3)求导数或偏导数；(4)令导数或偏导数为0,解出极大似然估计(如无解回到(1)干脆求最大值，一般为minj或maxa)3 .估计量的评比原则(1)无偏性：若E(O)=G,则为无偏；(2)有效性：两个无偏估计中方差小的有效;4.参数的区间估计(正态)参数条件估计函数置信区间2已知X-u=-r=n+i=TH2未知，=斗SIylnx+ta(11-l)-=2"2未知、(n-l)52Z=2r("I)/(¾-1)52Zl(n-Y2a(n-l)1-22
