八级数学上册-暑期同步提高课程-第六讲-角平分线的性质讲义-新人教版.doc

第六讲角平分线的性质教学目标：1.学会用尺规作图,作一个角等于已知角,作已知角的角平分线2.能利用角平分线的性质解决简单问题3.角平分线的性质与判定定理的运用重点难点：1.角平分线的性质的运用与逆用.2.利用角平分线构造全等三角形.3.继续学习证明与综合法证明的格式.知识导航：1.角平分线的画法39 / 7AMCONB1已知AOB,求作AOB的角平分线：以O为圆心,适当长为半径画弧,交OA于M,交OB于N.分别以M,N为圆心,以大于MN长为半径作弧,在AOB的内部两弧交于点C.过O、C两点作射线OC,射线OC就是所求角的角平分线.2角平分线的性质与判定1角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.2角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上.3三角形的角平分线的性质1三角形的三条角平分线交于一点,这点到三边的距离相等.2三角形两个外角的角平分线也交于一点,这点到三边所在的直线的距离相等.3三角形外角平分线交点共有三个,所以到三角形三遍所在直线距离相等的点有4 个.考点/易错点1角平分线是一种对称模型,一般情况下,有下列三种作辅助线的方式：1由角平分线上的一点向角的两边作垂线；2过角平分线上的一点作角平分线的垂线,从而形成等腰三角形；3OA=OB,这种对称的图形应用得也较为普遍.典型例题：例1尺规作图：请在图上作一个AOC,使其是已知AOB的倍要求：写出已知、求作,保留作图痕迹,在所作图中标上必要的字母,不写作法和结论>已知： 求作：答案已知：ÐAOB求作：ÐAOC ,使ÐAOC=ÐAOB作图如右上所示：解析首先画出AOB的角平分线,再以OB为边,画BOC=BOF例 2如图,在RtABC中,C=90°,BD平分ABC交AC于点D,DEAB于E,若AC=3cm,则AD+DE为A3cmB4cmC2cmD无法确定答案A解析BD平分ABC,C=90°,DEAB,DE=DC,AD+DE=AD+DC=AC,AC=3cm,AD+DE=3cm例3如图,已知四边形ABCD 中,ADBC,若DAB的平分线AE交CD于E,连接BE,且BE恰好平 分ABC,则AB的长与AD+BC的大小关系是AABAD+BCBABAD+BCCAB=AD+BCD无法确定答案C解析解法1：在AB上截取AF=AD,连接EF,易证AEBE,ADEAFESAS,所以1=2,又2+4=90°,1+3=90°,所以3=4,所以可证BCEBFE,所以BC=BF,所以AB=AF+BF=AD+BC；解法2：如图,延长AE交BC延长线于F,ADCB,CBA+BAD=180°,BE平分CBA,AE平分BAD,EBA+BAE=90°,BEA=180°90°=90°,BEAF,由ABEFBEASA,可得BA=BF,AE=FE,于是可证ADEFCEASA,所以AD=CF,所以AB=BC+CF=BC+AD例4如图,在ABC中,C=90°,AC=14,BD平分ABC,交AC于D,AD=10,则点D到AB的距离 为A10B4C7D6答案B解析解：如图,过点D作DEAB于E,AC=14,AD=10,CD=ACAD=1410=4,BD平分ABC,C=90°,DE=CD=4例5如图,在ABC中,AC=CB,C=90°,AD是BAC的平分线,E=90°,那么AD与BE的长度 关系为.答案AD=2BE解析理由是：延长AC,BE交于O,C=AEB=90°,CDA=EDB,由三角形内角和定理得：1=3,ACD=BCO=90°,ìÐ1=Ð3í在ACD和BCO中,ïAC=BCîïÐACD=ÐBCO,ACDBCOASA,AD=BO,AD平分CAB,1=2,AEB=AEO=90°,ìÐ1=Ð2í在AEO和AEB中,ïAE=AEîïÐAEO=ÐAEB,AEOAEBASA,OE=BE,BO=2BE,AD=2BE,例6为了加快灾后重建的步伐,我市某镇要在三条公路围成的一块平地上修建一个砂 石场,如图,要使这个砂石场到三条公路的距离相等,则可供选择的地址A仅有一处 B有四处C有七处 D有无数处答案A解析利用角平分线性质定理：角的平分线上的点,到这个角的两边的距离相等又要求砂石场建在三条 公路围成的一块平地上,所以是三个内角平分线的交点一个,外角的平分线的交点三个满足条件的点有一 个,三角形内部：三个内角平分线交点一个三角形外部,外角的角平分线三个不合题意课堂检测：1.下列结论错误的是 A到已知角两边距离相等的点在同一直线上 B一射线上有一点到已知角两边的距离相等这条射线平分已知角 C到角两边距离相等的一个点与这个角的顶点的连线不平分这个角D角内有两点各自到角的两边的距离相等,经过这两点的直线平分这个角2.如图,AOB和一条定长线段a,在AOB内找一点P,使P到OA,OB的距离都等于a,作法如下：1作OB的垂线段NH,使NH=a,H为垂足2过N作NMOB3作AOB的平分线OP,与NM 交于P4点P即为所求 其中3的依据是A平行线之间的距离处处相等B到角的两边距离相等的点在角的平分线上C角的平分线上的点到角的两边的距离相等D到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上3.如图,ABC的三边AB,BC,CA长分别是20,30,40,其三条角平分线将ABC 分为三个三角形,则SABO：SBCO：SCAO 等于A1：1：1B1：2：3C2：3：4D3：4：54.如图,AD、AE分别是ABC中A内角的平分线和外角平分线,则DAE=度5.已知线段a 和直角：1用尺规作ABC,使得C=,BC=a,AB=2a保留作图痕迹,不写画法；2用尺规作ABC的中线CD 和角平分线CE保留作图痕迹,不写画法；课后作业：1.如图,已知点P到AE、AD、BC的距离相等,下列说法：点P在BAC的平分 线上；点P在CBE的平分线上；点P在BCD的平分线上；点P在BAC,CBE,BCD的平分线的交点上其中正确的是 A B C D2.两条平行线a、b被第三条直线c 所截得的同旁内角的平分线的交点到直线c 的距离是2cm,则a、b之间 的距离是A3cm B4cm C5cm D6cm3.如图,AD是ABC的角平分线,若AB=10,AC=8,则SABD：SADC= A1：1 B4：5C5：4 D16：254.已知ABCD,ADDC,AEBC于点E,DAC=35°,AD=AE,B为A50° B60°C70° D80°5如图,G是线段AB上一点,AC和DG相交于点E请先作出ABC的平分线 BF,交AC于点F；尺规作图,保留作图痕迹,不写作法与证明然后证明当： ADBC,AD=BC,ABC=2ADG时,DE=BF6.如图,OP是AOB的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形请你参考 这个作全等三角形的方法,解答下列问题：1如图,在ABC中,ACB是直角,B=60°,AD、CE分别是BAC、BCA的平分线,AD、CE相交于点F请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；2如图,在ABC中,如果ACB不是直角,而1中的其它条件不变,请问,你在1中所得结论是否仍然成立？若成立,请证明；若不成立,请说明理由7.如图,ABC中,D为BC的中点,DEBC交BAC的平分线AE于点E,EFAB于F,EGAG交AC的延长线于G求证：BF=CG8.如图,在ABC中,ACB=90°,CEAB于点E,点D是AB上一点,且AD=AC,作DGBC,DG交AC于点G,交CE于点F,求证：1AF平分CAB；2FC=FD