课题8．6抛物线的简单几何性质二.docx
课®：8.6抛的俵的简单Q佝俊展（二）教学目的：1 .掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；2 .掌握焦半径公式、直线与抛物线位置关系等相关概念及公式;3 .在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化.教学重点：抛物线的几何性质及其运用教学难点：抛物线几何性质的运用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪,教学过程：一、复习引入：抛物线的几何性质：标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率y2=Ipx(p>)（0,0）X轴加x=-E2e=1y2=-p(p>0)(0,0)X轴(多。)X=E2e=1X2=2py(p>0)B（0,0）y轴Te=lX2=-2py(>。)（0,0）y轴Io-Iy=2e=注意强调的几何意义：是焦点到准线的距离抛物线不是双曲线的支，抛物线不存在渐近线.二、讲解新课：1 .抛物线的焦半径及其应用：定义：抛物线上任意一点M与抛物线焦点尸的连线段，叫做抛物线的焦半径焦半径公式：抛物线y2=2px(p>0),P尸I=XO+5=5+/抛物线/=_2PX(P>0),IP尸I=XO抛物线X2=2py(p>O),PF=yo+=y÷J0抛物线/=_2)，5>0),归可=/0_=§_,02 .直线与抛物线：(1)位置关系：相交(两个公共点或一个公共点)；相离(无公共点)；相切(一个公共点)下面分别就公共点的个数进行讨论：对于J2=2pxp>0)当直线为y=>o,即Z=0,直线平行于对称轴时，与抛物线只有唯一的交点.当20,设/:y=Ax+将/:y=Ax+b代入C:Ar2+cy2+z+及y+/=o,消去丫，得到关于X的二次方程ar?+"+C=O.(*)若>(),相交：=(),相切；<(),相离.综上，得：联立K,得关于X的方程"2+/+C=Oy=Zpx当=0(二次项系数为零)，唯一一个公共点(交点)当0,则若>(),两个公共点(交点)=0,一个公共点(切点)<0,无公共点(相离)(2)相交弦长：弦长公式：J=4÷l+A:2，其中a和分别是OX2+c=o(*)中二次项系数和判别式，k为直线/:y=&%+的斜率.当代入消元消掉的是y时，得到勾尸+勿,+c=o,此时弦长公式相应的变为:(3)焦点弦：定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。焦点弦公式：设两交点4(项，,)3*2，%)，可以通过两次焦半径公式得到:当抛物线焦点在X轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关：抛物线y2=2X(P>O),IA耳=p+(x1+x2).抛物线V=-2px(p>0),Aj=P-(Xl+x2).当抛物线焦点在y轴上时，焦点弦只和两焦点的纵坐标有关：抛物线/=2py(p>0)fA=p+(y1+%)抛物线Y=-2Py(P>0),IAq=P-(+%)(4)通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦.直接应用抛物线定义，得到通径：d=2p.(5)若已知过焦点的直线倾斜角夕Iy=k(x-)2Zp°八yl+y9=J2=>y-y-p=0=>1k=2pxkyxy2=-p2(6)常用结论:=靠=恒目二帆刃焉二悬y = k(x-y),>2 =Py2 = 2pz7“2n2-y-P2=0k2x2-(k2p+2p)x+-=0k42rP=>My2=-p和F/=3 .抛物线的法线：过抛物线上一点可以作一条切线,过切点所作垂直于切线的直线叫做抛物线在这点的法线，抛物线的法线有一条重要性质：经过抛物线上一点作一直线平行于抛物线的轴，经过这一点的法线平分这条直线和这点与焦点连线的如图.抛物线的这一性质在技术上有着广泛的应用.例如，学上，如果把光源放在抛物镜的焦点尸处，射出的光过抛物镜的反射，变成了平行光线，汽车前灯、探照灯、手电筒就是利用这个光学性质设计的.反过来，也可以把射来的平行光线集中于焦点处，太阳灶就是利用这个原理设计的.4 .抛物线y2=2px(p>0)的参数方程：x=2Pt(t为参数)Y=2pt三、讲解范例：例正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上，求这个正三角形的边长.分析：观察图，正三角形及抛物线都是轴对称图形，如果能证明X轴是它们公共的对称轴，则容易求出三角形边长.解：如图，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且坐标分别为(M,y)、(/，为)，则yJ=2"M'y又IoA=0B,所以x12+y12=x22+y22T即x12+2px1=x22+2px2I(x12-x22)+2p(xl-x2)=0(F+x2)+2p(x1-x2)=0*/x1>0,x2>0,2P>0,.*.x1=X2.由此可得IMI=Iy21，即线段AB关于X轴对称.因为X轴垂直于AB,且NAoX=30°,所以-=tan3Oo=再所以y=2pM'=2Vp,IAB=2yl=43p必四、课堂练习：1 .正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y?=2px(p>0)上，求这个正三角形的边长(答案：边长为4Jp)2 .正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y?=2p(p>0)上，求正三角形外接圆的方程.分析：依题意可知圆心在X轴上，且过原点，故可设圆的方程为：f+DzO,又,圆过点A(6，23),所求圆的方程为/+/-8X=O3 .已知A3C的三个顶点是圆，+y2-9=0与抛物线y2=2zr(p>0)的交点，且A3C的垂心恰好是抛物线的焦点，求抛物线的方程(答案：y2=4x)4 .已知直角AQAB的直角顶点。为原点，A、8在抛物线尸=2px(p>0)上，(1)分别求A、8两点的横坐标之积，纵坐标之积；(2)直线A8是否经过一个定点，若经过，求出该定点坐标，若不经过，说明理由；(3)求。点在线段AB上的射影M的轨迹方程.答案：(1)Mya=-4/；12=4p2；(2)直线A8过定点(2，0)(3)点M的轨迹方程为(x-"F+/=”2()5 .已知直角AOAB的直角顶点。为原点，A、8在抛物线y?=2px(p>0)上，原点在直线A8上的射影为0(2,1),求抛物线的方程.(答案：/=x)6 .已知抛物线V=2pjt(p>0)与直线y=-x+l相交于A、8两点，以弦长A3为直径的圆恰好过原点，求此抛物线的方程(答案：/=x)7 .已知直线y=x+b与抛物线V=2px(p>0)相交于A、B两点,若QAIOB,(。为坐标原点)且Sm08=2L求抛物线的方程(答案：y2=2x)8 .顶点在坐标原点，焦点在X轴上的抛物线被直线y=2x+l截得的弦长为岳，求抛物线的方程.(答案：丁二12工或)，2=-4%),五、小结：焦半径公式、直线与抛物线位置关系等相关概念及公式.六、课后作业：七、板书设计(略)八、测试题：1 .顶点在原点，焦点在y轴上，且过点尸(4,2)的抛物线方程是()(),2=8y(B)V=4y(C)x=2y(D)X2=V22 .抛物线4=8X上一点P到顶点的距离等于它们到准线的距离，这点坐标是（八）(2,4)(B)(2,+4)(C)(1,22)(D)(1,÷22)3 .抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长等于8,则抛物线方程为4 .抛物线4=一6%以此抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是一X2V25 .以双曲线L=I的右准线为准线，以坐标原点。为顶点的抛物线截双曲线的左准169线得弦力8,求的8的面积.测试题答案：35121.A2.D3.x=±8y4.(x+-)2+y2=95.225
