较复杂的因式分解习题.docx
1.双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法.对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我们也可以用十字相乘法分解因式.例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3.我们将上式按x降哥排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3),可以看作是关于X的二次三项式.对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即-22y2+35y-3=(2y-3M-lly+l).再利用十字相乘法对关于X的二次三项式分解(2jr-3)2x(-lly+l)所以原式=×+(2y-3)2x+(-lly+l)=(×+2y-3)(2x-lly+l).上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法.如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下列图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-lly)=2x2-7xy-22y2;(x-3)(2x+l)=2×2-5x-3;(2y-3)(-lly+l)=-22y2+35y-3.这就是所谓的双十字相乘法.用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进展因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2,得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字穿插之积的和等于原式中的ey,第一、第三列构成的十字穿插之积的和等于原式中的dx.例1分解因式:(l)x2-3xy-10y2+x+9y-2;(2*-y2+5+3y+4;(3)xy+y2+x-y-2:(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2.解(1)原式=(x-5y+2"x+2y-l).(2)原式=(x+y+l)(x-y+4).原式中缺2项，可把这一项的系数看成。来分解.原式=(y+i)(+y-2)(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z).说明(4)中有三个字母，解法仍与前面的类似.2.求根法我们把形如a11xn+an.1×-1+.+a1×+a0(n为非负整数)的代数式称为关于×的一元多项式，并用f(x),g(x),等记号表示,如f(x)=x2-3x+2,g(x)=x5+x2+6,，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示.如对上面的多项式f(x)f(l)=l2-3×l+2=0;f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12.假设f(a)=O,那么称a为多项式f(x)的一个根.定理1(因式定理)假设a是一元多项式f(x)的根，即Wa)=O成立，那么多项式f(x)有一个因式x-a.根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根.对于任意多项式f(x),要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根.定理2若既约分数9是整系数多项式Pf(x),a0xn+a1xn1+a2xn2+an.1x+an的根，那么必有P是a。的约数，q是ar的约数.特别地，当a0=l时，整系数多项式f(x)的整数根均为全的约数.我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进展因式分解.例2分解因式：x3-4×2+6x-4.分析这是一个整系数一元多项式，原式假设有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1»±2,±4»只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0,即x=2是原式的一个根，所以根据定理1,原式必有因式x-2.解法1用分组分解法，使每组都有因式(x-2).原式=(3-22)-(22-4x)+(2x-4)=x2(×-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2).解法2用多项式除法，将原式除以(x-2),x2_2x+2X-2/3.42+6-4×3-2x2-2x2+6x-2x2+4x2-42-40所以原式=(x-2"2-2x+2).说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根.因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进展验证.例3分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2.分析因为9的约数有±1,±3,±9；-2的约数有±1,±2,所以原式的有理根只可能是士1,±2,±,±|,±,±|,1O1O经检验，只有亭吟是原式的根，所以原式有因式X+g和X-.又因为：(X+；)(x-)=(3x+l)(3x-2)=(9x2-3-2),所以，原式有因式923x2.解9×4-3x3+7x2-3x-29x4-3x3-2×2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9×2-3x-2)(×2+l)=(3×+l)(3×-2)(×2+l)说明假设整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式,Ixz2、212(x+-Xx-)=-可以化为92-3x-2,这样可以简化分解过程.总之，对一元高次多项式f(x),如果能找到一个一次因式(xa),那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x),而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进展分解了.3.待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用.在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数.由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法.例4分解因式：×2+3xy+2y2+4x+5y+3.分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y),假设原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x+y+n的形式，应用待定系数法即可求出m和n,使问题得到解决.解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)：x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn,比拟两边对应项的系数，那么有m+n=4,m+2n=5,rn=3.解之得m=3,n=l.所以原式=(x+2y+3)(x+y+l).说明此题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下.例5分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7.分析此题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，假设原式有有理根，那么只可能是士1,±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式.如果原式能分解，只能分解为(2+ax+B(2+cx+d)的形式.解设Ji=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)×2+(ad+bc)x+bd,所以有a+c=-2,b+d+ac=-27,ad+be=-44,bd=7.由bd=7,先考虑b=l,d=7有a+c=-2,ac=-35,7a+c=44,解之得a=-7c=5.所以原式=(27x+l)(2+5x+7).说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-l,d=-7等可以不加以考虑.此题如果b=l,d=7代入方程组后，无法确定a,C的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止.此题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式.但利用待定系数法，使我们找到了二次因式.由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地.练习二1 .用双十字相乘法分解因式：(l)x2-8xy+15y2+2x-4y-3;(2)×2-xy+2×+y-3;(3)3x2-ll×y+6y2-xz-4yz-2z2.2 .用求根法分解因式：(l)x3+x2-10×-6;(2)x4+3x3-3×2-12x-4;(3)4x4+4x3-9x2-x+2.3 .用待定系数法分解因式：(l)2×2+3xy-9y2+14x-3y+2O;(2)x4+5×3+15×-9
