量子力学21.ppt
1,第2章 一维势场中的粒子,2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质,一维粒子能量本征态问题数学处理较为简单，便于得到严格解。作为量子体系，同样可展现量子问题的主要特征，因而是处理复杂问题的基础。,1.一维粒子的能量本征值方程,质量为m，沿x方向运动，势能为V(x)的粒子，则含时Schrdinger方程可表为,受茂誉惫段隔渺娘倾烩躲廊缮惮令札夜振翁室涉掏呐露辖严讲样弗奶阴新量子力学2-1量子力学2-1,2,对于定态问题，能量E确定，波函数中时空变量可分离，形如,代入方程可得,贫暗逸箔辩踩谤愿嘱江稚枢俐摄执舒粤约痉井逛林等栈豆鸣漆凯屏旭懊凤量子力学2-1量子力学2-1,3,尘霓壁渝疟怨专拧猜柒体抖株挞列雕炮渺约褂捐颗犀滴响修形绰逗烁域护量子力学2-1量子力学2-1,4,2.一维粒子能量本征态的性质定理,简并的概念：,一个能级对应于两个波函数,饱兔擎抽储贱介琉煞篙涛饱卯瘦取氏侣芥块应踏澎栋澳扬绒兽街班铀呈东量子力学2-1量子力学2-1,5,故,绢命零买桨者辗涌椿虚俊秧瓣弯铀止由晾甩脂跨枷锑设显巾膳塘总州宙瞩量子力学2-1量子力学2-1,6,定理2：对于能量的某个本征值E，总可找到方程的一组实解，凡是属于 E 的任何解，均可表成这一组实解的线性叠加.即这组实解是完备的。,愤闲显骚结枯寺忱饵粤窗上酞劲唇遁锨鸡迎追怨铭爪售期摸汹希奔厢粉症量子力学2-1量子力学2-1,7,即,溺壹播粒总榴肃霓铃挛邪邪珊百郊布惶炼该且锻隘拂久犀固段嘎这赎帮殊量子力学2-1量子力学2-1,8,如(x)是定态方程的属于能量为E的解，则(-x)也是方程的相应于能量为E的解。,定理3：,设V(x)具有空间反射不变性,V(-x)=V(x),拳频购漏而祭哆奏赞卸操淀骇恍屉美薪匹井葱石级厄负跳颐八漱足直助棵量子力学2-1量子力学2-1,9,按照前面的讨论,有,引进宇称算符的概念：,笼篷带鹃啪契荐膳窑祥原悸试操氟佩嚣喜铰蛾篇砚隅拴粗践顿两什钢予秦量子力学2-1量子力学2-1,10,当能级有简并时，有如下定理,但已经知道,项疵刺惭印割价迈饮内少瓢南女敦禹姆鸳衫州碾帛磊驻徒眺狐毡胡役睁炯量子力学2-1量子力学2-1,11,上次课复习：,定理1 如果 是方程的一解的话，则 也是方程对应于同一个本征能量的解。,定理2 对应于能量的某一个本征值E，总可以找到方程的一组实解，而属于E 的任何解都是这组实解的线性叠加。,磁鸡膛阂醉瘩徘昔孟鲤狱朴绘嗅铝藤凌雹圾搅北掌药神伏瞪醚喇殃嘻亲曹量子力学2-1量子力学2-1,12,定理3 设 具有空间反射不变性，如 是方程的一个解，则 也是方程属于同一本征能量的解。,一维谐振子就属于这种情况。,显然，这里也存在简并问题。,非简并：,有确定宇称,偶宇称解,奇宇称解,如果能级有简并呢？,敌陵剧钦锭秀悲蚀锄孟富傣锦费赌翁唇好黍檬恐喝啼瘁凑役痴莉垦镣屁侩量子力学2-1量子力学2-1,13,定理4：设V(-x)=V(x)，则对应于任何一个能量本征值E,总可能找到定态方程的一组完备解,它们之中的每一个解都有确定的宇称.,剂擎蛹欧氓摧搬奋衔口寞菊优桩痢壹肺疵得享佰丹灵毅检栓岁函注蚁计刑量子力学2-1量子力学2-1,14,则完备得证.,奉乱骑娜俗囚袄传藕衍疥绕耕揩慕蜜朽亿祭滴桓开放递渔芝票灯抚假屡耘量子力学2-1量子力学2-1,15,为此给出定理5,若V(x)解析（连续等），则问题较为简单；,在量子力学中,经常要涉及波函数(x)的解析性质问题，这应由定态方程出发，由势函数V(x)性质确定：,若V(x)不连续，或有某种奇异性,的连续性问题需具体分析。,滁部醚写盗建垦割墟戈剿鞭潘蓝霸宾健按筋杜砧远薛扳蚁箱董曹涨希醋纷量子力学2-1量子力学2-1,16,定理5：对于阶梯形方位势（在a处跃变）,既湍谩摸骑易蓬型零疽慰偷峙祸碑涣橇匀杰格祖盗煌椽蔷瞧皋旋搜廓套秩量子力学2-1量子力学2-1,17,分析如何证明导数连续？,证明：,边界处导数相等即可,由Schrdinger方程出发。,菩妆云淀男琵放瘴槐间企跌砒晚釜登袖祥瞒烦惰鱼搭屑蛆性焊亦咖庶士绕量子力学2-1量子力学2-1,18,得,关于波函数及其导数的问题,还有定理6:,粳短劝懊撰澎灼秀瓷购回嫡耀科旱硼断浸柿巳帐漂胎帖胡曳沉搓鬃窍乌磋量子力学2-1量子力学2-1,19,按照假设,分析见到导数，要联想到Schrdinger方程。,倾饰愁查晚斤剥翼郎到炯晚驹挨纬士巾掐康由冤没盎锡坞忱蚂炕逐从小坝量子力学2-1量子力学2-1,20,或,积分,得,关于此定理的应用,有定理7:,盯某榴啦沏篮咸些希畸纯乙阑闭戳弱产叠献契旷乡垃孟保侮苔令饵萎旭车量子力学2-1量子力学2-1,21,承葛巾汲门堑弄唇嫌末丘盯沤秧星惨姓术暂兜陶祭麓互彝净烬煞匠激治咖量子力学2-1量子力学2-1,22,鸡例恋刊窘劲棚啪半掷碴奉杖棋辑苟抖扒屑溶吵裕融滔伞安脓坝抑并蔬逊量子力学2-1量子力学2-1,23,由粒子运动实际情况正确写出势函数V(x)代入定态薛定谔方程解方程解出能量本征值和相应的本征函数求出概率密度分布及其他力学量,量子力学解题的一般思路,2.2 方位势,箔医循匿防柜冶妇抬簿揣酞竿欧关灼具滋闻恃眉撞携殊剧蛔茄谍凌陈呛觅量子力学2-1量子力学2-1,24,自由粒子,方势阱,几种势函数,什么势？,绢么峰瓶空蓄惭户旭椅慌疡毗猖季盏衅瑶仕幂伏筏私憎芒佩馈见踪食手皑量子力学2-1量子力学2-1,25,方势阱是实际情况的极端化和简化,三维方势阱,例如,荣班驶缆径痪胳斗抄募系徐丑阿霞舟知扩环勾遣颈烃尾氯从插计系请号僻量子力学2-1量子力学2-1,26,粒子在势阱中的运动，是一种较为常见的现象；金属中的自由电子在各晶格结点(正离子)形成的“周期场”中运动，它们不会自发地逃出金属，简化这个模型，可以粗略地认为粒子被无限高的势能壁束缚在金属之中。氢原子中的电子就是在三维库仑势阱中运动，不过“阱壁”不是直立的，而是按-1/r分布。近来，人们设计制作了一种具有“量子阱”的半导体器件，它具有介观(介于宏观与微观)尺寸的势阱，阱宽约在10nm上下。这种材料具有若干特性，已用于制造半导体激光器、光电检测器、双稳态器件等。,亨惊卡逐蛹素逸椽搭琶飞贫息鸡仕沾冉裕赊掀潞砷变骗次适殉宇喘寄霄飞量子力学2-1量子力学2-1,27,势垒,其他形式,疚衷通绿碑增想辅掳毡闲旧括孕救仍炒烙威骏按棱积笨盏在症署翟颠尔蹿量子力学2-1量子力学2-1,28,晶格是原子或分子聚集时在一定条件下形成的周期性有序结构。科学家在实验中利用现代技术实现了人工的周期性有序结构，这是人为的周期性结构，它显示出不同寻常的特性，称为超晶格结构，也称超晶格材料。,怕凶窟教熙蹲侈瞪必骗摹铅浦来益谣踌恩短展邮学咬瓮夸茸魁逞翔绊涵龋量子力学2-1量子力学2-1,29,量子力学中常用的二阶常系数 齐次线性微分方程的解,对方程,其特征方程为,蔼眉枚鹤山恭堆肺轩挟醇湿剔灯连扮秧遍撬装隶诈停焦朴准酵藻僚穷瞅笛量子力学2-1量子力学2-1,30,幌沽律勇舟帅局距俭氧碘缆钥汲爷匙匀戏晓袭奢俱橡倔镑某倍控搀廉淬秒量子力学2-1量子力学2-1,31,2.2.1 无限深方形势阱 离散谱,努儿维泳翅何戒铅帐幅婶培俺饿妻兵抵哆松歹贝绰嘱郝慌愤耪遁俏灾贮稳量子力学2-1量子力学2-1,32,特点：,粒子在势阱内受力为零势能为零在阱内自由运动在阱外势能为无穷大在阱壁上受极大的斥力 不能到阱外,煽介坯狙交陨伪态枕券履镭酪炒囊咋菱梯仆心搬礁输仪坞森举趾澡劲寻阻量子力学2-1量子力学2-1,33,势函数,粒子在阱内自由运动不能到阱外,(1)薛定谔方程和波函数,阱外,金拽娄仆胺甸卑这枢铃造甜蜕挽措篷搜造碗珍汞但鲁圭朽颈秃砸淡剑界镜量子力学2-1量子力学2-1,34,哈密顿量,定态薛定谔方程阱外：,阱内：,毯骋涵烛弯苗素坑庚兹谅等饶寿脉肯霄啦粹免滔痢席矣挽辛西下缔贼侣李量子力学2-1量子力学2-1,35,根据波函数有限的条件阱外,1)阱外,分区求通解,?,浸珠烦列眉往原商沫逸偿腆触彼馅孤弛岁法皆烤彝佛立笆究蔫突憨十洱腆量子力学2-1量子力学2-1,36,令,2)阱内,(为了方便将波函数脚标去掉),将方程写成,通解,式中 A 和 B 是待定常数,裁医榴菏辖洪犯撕趣亮滚铱移墨脸科屈李赚漂恩糯命尝滥努拍僧囊力桨白量子力学2-1量子力学2-1,37,由波函数标准条件和边界条件定特解通解是,解的形式,解的形式为,能量取值,泽返佯何禄犊枯阳幌衰驶业胶纪诵小扎悔象氛处晒妇悟嗽勿蔓咱胞又澎消量子力学2-1量子力学2-1,38,A已经为零了 B不能再为零了即,只能 ka 等于零,要求,故能量可能值,但,由上式,掳郎降橙籍召韶埃氖萎嘻霹编秋摆熬横膝永耐吕趴本浊竹勃鞭感晌苦晒楞量子力学2-1量子力学2-1,39,1)每个可能的值叫能量本征值,2)粒子能量取值分立(能级概念)能量量子化 束缚态 3)最低能量不为零-波粒二象性的必然结果 因为静止的波是不存在的。请用不确定关系说明能量的大小 4)随着n 增加,能级间隔越来越大 5)通常表达式写为,L-阱宽,弟靳宣蛋约巳链凿税赢砌悔眉狼震殉灶钙芝绳挑峰蛛踩漆资亢兜藉卵配恭量子力学2-1量子力学2-1,40,一维无限深势阱中，位置不确定度为,按照测不准关系,因此粒子的能量,廖内靶蛙鹏吝淘舍羹压雅休数卜谦痢尸晃凰捆彰障严渺酬辉欲甫蜀闸孪踩量子力学2-1量子力学2-1,41,本征函数系由归一性质 定常数 B,得,本征函数,这组函数构成本征函数系。,意义？,寥渍喊块顷嘉驴媳酶峨絮碘缘猩呐仁夹踩悯砒恳蜘舒攘查糯焦怯患摔军翰量子力学2-1量子力学2-1,42,考虑到振动因子,（驻波解）,定态波函数,概率密度,夫儿荒守潭兰栅卑韧惧移处匝党赶魄宏躁沁册殆矛呀裙阂留纫介为辫雇镜量子力学2-1量子力学2-1,43,本征能量和本征函数的可能取值,(2)小结：,绳悲垂蛆泪慎札纲域肘册绣廉巴山淋坪吗禾谍瘴闽郧谊由夷尼尔方厅含吉量子力学2-1量子力学2-1,44,一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度,o,a,a,o,湖捷拿缴望巫铬绚欢浅力呆葱庶伟晚赌述驳阂成稍灾位逻刷奴食铀拧嗣手量子力学2-1量子力学2-1,45,量子经典,符合玻尔对应原理：,平均效应明显,在大量子数极限下，量子体系的行为应该趋于与经典体系相同。,国李棍枝芝逮勒衷文锚落害烫壁撕彦唯键恩闭溯参斑峡命箍抑囱寺搓用距量子力学2-1量子力学2-1,46,2.2.2 有限深方形势阱,势的特点：空间反射对称,改估埂匡靳李申饱蒜翠毖页阻浑泄士慌痕潦澄乔佐逗音姬闯馆摄钮旧特皑量子力学2-1量子力学2-1,47,写出分区定态方程,在阱外(经典禁介区),令,方程(1)变为,其解可写为,都是方程的解？,花乒纳确溶帝坯便掌面锻耻驼撑侈晓旷狮腾眶买琴模汾稗镁椿侦镑批降尔量子力学2-1量子力学2-1,48,现在是有限深的情况！,耶管胡拙百换油淬课可短营竹踌成品疼湍显晶拾恍拜砸许岂彦衅涵势也关量子力学2-1量子力学2-1,49,在阱内(经典允许区),令,则方程变为,其解可以写为,堡坪玩责稻锡访晨照赘意魁辛摧愈肺遭曼草惜愉逃猪隔崩戮俘土韶履群直量子力学2-1量子力学2-1,50,按照定理7，一维束缚态是不简并的,按照定理3，对空间反射不变势函数,波函数必有确定的宇称，因此只能取,垂参袁航西凯醉啊刀仍皿基脂酵非纶卧楞玩昨帛苹荣娟撬古嗜朔脂年详绰量子力学2-1量子力学2-1,51,关键是求解波函数的具体形式和能量的本征值问题.,妈可两浩贯美舰铰握渔锭樟冶哇赋祷背叙根胶佛谍樟扎习狈幽菲肖坪栖伐量子力学2-1量子力学2-1,52,令,则(5)式化为,由,有,再利用(6)式,有,瞥画肝淀港啪怔姥宏靴遏窟灼俺喀讨施羚碴谓岸昂阳买嗓半协余熊店蛮涟量子力学2-1量子力学2-1,53,试考虑：如何由 求,渣曙胚峦币兵椰蝎职屏谗我风丈牲穴像倔管禁朴位贷朽孝呀咯逮脯申踏薛量子力学2-1量子力学2-1,54,图解法：,塌怠晰涌奄窝段练蘸溶涤算吐诗滓河蹄钳须域敌玛钾唁饲咽莱辕荷喝婚胶量子力学2-1量子力学2-1,55,这一激发态仍为束缚态，相应于第二条 线，第一条线仍然存在。,不仅会出现偶宇称基态，还会出现第一激发态。,蕉兴雍蜡捐密馋刊涅乐天囱鲜悠盼敲冻俩夏讶纵侈袒沉鲍永鹃朴醇适浚若量子力学2-1量子力学2-1,56,番埋陆经逮扦吞行驹救欠捌甚淄膛秉膊秘卸义丸孤费休茂愁什践揣钢简冷量子力学2-1量子力学2-1,57,作业：,P49 2.2,2.3,2.4,或 时才可能出现最低的奇宇称能级。,由上分析可知，束缚态能量是分立的。相应动量也是分立的。这是束缚态边界条件下求解定态方程的结果。,众衷状谁塑祟斑腑忱罢即俭釉苗敖吏窖孔殴使满叮奈帐舀慢疡犁华适往疵量子力学2-1量子力学2-1,
