《2.2基本不等式》教案教学设计.docx

2. 2根本不等式教材分析：“根本不等式”是必修1的重点内容，它是在系统学习了不 等关系和不等式性质，把握了不等式性质的根底上对不等式的进 一步争论，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证 明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用,利用根本不等式求 最值在实际问题中应用广泛.同时本节学问又渗透了数形结合、 化归等重要数学思想，有利于培育学生良好的思维品质.教学目标【学问与技能】L学会推导并把握根本不等式，理解这个根本不等式的几何 意义，并把握定理中的不等号“2”取等号的条件是：当且仅当 这两个数相等；2,把握根本不等式Q三；会应用此不等式求某些函数的 最值；能够解决一些简洁的实际问题【过程与方法】通过实例探究抽象根本不等式；【情感、态度与价值观】通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴 趣.教学重难点【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探究不等式M?的证明过程； 【教学难点】1 .根本不等式”F?等号成立条件；2 .利用根本不等式麻把求最大值、最小值.教学过程1 .课题导入前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：一般地，Va）b R，有a2+b22ab,当且仅当a=b时，等号成立特别地，假设a>0, b>0,我们用耳龄别代替上式中的a, b,可得屈妥 当且仅当a=b时，等号成立.通常称不等式（1）为根本不等式IbasicinequalitE .其 中，山叫做正数a, b的算术平均数，麻叫做正数a, b的几何平 均数.根本不等式说明：两个正数的算术平均数不小于它们的几 何平均数.思考:上面通过考察m+b2=2ab的特别情形获得了根本不等式，能 否直接利用不等式的性质推导出根本不等式呢？下面我们来分 析一下.2.讲授课1）类比弦图几何图形的面积关系生疏根本不等式必竽特别的，假设a>O,b>O,我们用分别代替a、b,可得a+b2Q, 通常我们把上式写作：J而亨Qo,b>。）2）从不等式的性质推导根本不等式用分析法证明：要证竽至m只要证a+b （2）要证（2）,只要证a+b-O （3）要证（3）,只要证（-）20 （4）明显，（4）是成立的.当且仅当a=b时，（4）中的等号成立.探究1：在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BOb. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD.你能利用这个图形得 出根本不等式疯竽的几何解释吗？易证 RtZACDs RtZXDCB,那么 CD2=CA CB即CD=旅.这个圆的半径为巴吆，明显，它大于或等于CD,即竺疯， 其中当且仅当点C与圆心重合，即a=b时，等号成立. 因此：根本不等式糜?几何意义是“半径不小于半弦” 评述：L假设把等看作是正数a、b的等差中项，J法看作是正 数a、b的等比中项，那么该定理可以表达为：两个正数的等差 中项不小于它们的等比中项.2.在数学中，我们称等为a、b的算术平均数，称依为 a、b的几何平均数.本节定理还可表达为：两个正数的算术平均 数不小于它们的几何平均数.【设计意图】教师引导，学生自主探究得到结论并证明，熬炼了 学生的自主争论力量和争论问题的规律分析力量.例lx>O,求x+的最小值.X分析：求+的最小值，就是要求一个y (=X+U ,使>0,XOoX都有+12y.观看X+L觉察X,I二L联系根本不等式，可以利用 XXX正数X和1的算术平均数与几何平均数的关系得到y=2. X0解：由于X>0,所以x+” 2=2当且仅当X=L,即X2=l, x=l时，等号成立，因此所求的最小值为2.在此题的解答中，我们不仅明确了Vx>O,有x+!22,而且给出 了 “当且仅当xT,即=1, x=l时，等号成立“，这是为了说明2是x+J. (x>0的一个取值，想一想，当y<2时，x+；y成立吗？ XOXo这时能说y.是+! (x0)的最小值吗？ X例2x, y都是正数，求证： 假设积Xy等于定值P,那么当二y时，和+y有最小值2护(2)假设和x+y等于定值S,那么当x=y时，积Xy有最大值卜2.证明：由于X, y都是正数，所以 Jxy-(1)当积Xy等于定值P时,当且仅当=y时，上式等号成立.于是，当=y时，和+y有最小值2 JP(2)当和+y等于定值S时，所以y F当且仅当=y时，上式等号成立.于是，当=y时，积Xy有最大值招例3 (1)用篱笆围一个面积为IOonl2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？(2)用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？分析：(1)矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转 化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短.(2)矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍，于是问题转化为： 矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大.解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm, ym,篱笆的长度为 2 (x+y) m.(1)由得Xy=I00.由可得三2鬲 所以2 (x+y) 240,当且仅当x=y=10时，上式等号成立因此，当这个矩形菜园是边长为IOnl的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40i(2)由得2 (x+y) =36,矩形菜园的面积为Xy他.由可得MW ?4, = 7 = 9,xy81,当且仅当=y=9时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为9m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是81皿.例4某工厂要建筑一个长方体形无盖贮水池，Zr- d其容积为4800皿，深为3m.假设池底每平方米的鹏愉，造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池 能使总造价最低？最低总造价是多少？分析：贮水池呈长方体形，它的高是3%池底的边长没有确定.假设池底的边长确定了，那么水池的总造价也就确定了.因此， 应当考察池底的边长取什么值时，水池的总造价最低.解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为xm, ym,水池的总造价为2元依据题意，有z=150×l+120 (2X3x+2X3y) 3=240000+720 (x+y).由容积为4800i3,可得3xy=4800,因此xy=1600.所以z N240000+720 X 2Jy, 当x=y=40时，上式等号成立，此时z=297600.所以，将贮水池的池底设计成边长为40m的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元.【设计意图】例题讲解，学以致用.3.随堂练习1. a、b、C都是正数，求证：(a+b) (b÷c) (c+a) 8 abc分析：对于此类题目，选择定理：上心(a>0, b>0) 2敏捷变形，可求得结果.解：Ta, b, C都是正数,a+b>2 扁 >0（a+b） （b+c） （c+a） 22庖2庇2向=8abc 即（a÷b） （b+c） （c÷a） 8 abc.【设计意图】讲练结合，生疏知.4.课时小结本节课，我们学习了重要不等式a2÷b22ab;两正数a、b 的算术平均数（山），几何平均数Q疝）及它们的关系 （3 2 府.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是 实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的根本工 具，又是求函数最值的重要工具（下一节我们将学习它们的应用）. 我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：aba2 I b2, ab2 （匕2.2我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺当解决了 函数的一些最值问题,在用均值不等式求函数的最值，是值得重 视的一种方法，但在具体求解时，应留意考察以下三个条件： 函数的解析式中，各项均为正数；（2）函数的解析式中，含变数 的各项的和或积必需有一个为定值；（3）函数的解析式中，含变 数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值 时，应具备三个条件：一正二定三取等.