不等式证明的常用基本方法自己整理.doc

-证明不等式的根本方法导学目标：1.了解证明不等式的根本方法：比拟法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比拟法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比拟简单的不等式自主梳理1.三个正数的算术几何平均不等式：如果a，b，c>0，则_，当且仅当abc时等号成立2.根本不等式(根本不等式的推广)：对于n个正数a1，a2，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当_时等号成立3.证明不等式的常用五种方法(1)比拟法：比拟法是证明不等式最根本的方法，具体有作差比拟和作商比拟两种，其根本思想是_与0比拟大小或_与1比拟大小(2)综合法：从条件出发，利用定义、_、_、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法也叫顺推证法或由因导果法(3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的_条件，直至所需条件为条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法也叫逆推证法或执果索因法(4)反证法反证法的定义先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合条件，应用公理、定义、定理、性质等，进展正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法反证法的特点先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾(5)放缩法定义：证明不等式时，通过把不等式中的*些局部的值_或_，简化不等式，从而到达证明的目的，我们把这种方法称为放缩法思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键题型一 用比差法与比商法证明不等式1.设ta2b，sab21，则s与t的大小关系是(A )A.stB.s>tC.stD.s<t【解析】stb22b1(b1)20，st.【答案】A2.设a(m21)(n24)，b(mn2)2，则( D)Aab Bab Cab Dab解析：ab(m21)(n24)(mn2)24m2n24mn(2mn)20，ab.答案：D 3.设a,bR,给出以下不等式:lg(1+a2)>0;a2+b22(a-b-1);a2+3ab>2b2;,其中所有恒成立的不等式序号是. 【解析】a=0时不成立;a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)20,成立;a=b=0时不成立;a=2,b=1时不成立,故恒成立的只有.题型二 用综合法与分析法证明不等式4.(1)*，y均为正数，且*>y，求证：2*2y3；(2)设a，b，c>0且abbcca1，求证：abc.证明(1)因为*>0，y>0，*y>0，2*2y2(*y)(*y)(*y)33，所以2*2y3.(2)因为a，b，c>0，所以要证abc，只需证明(abc)23.即证：a2b2c22(abbcca)3，而abbcca1，故需证明：a2b2c22(abbcca)3(abbcca)即证：a2b2c2abbcca.而abbccaa2b2c2(当且仅当abc时等号成立)成立所以原不等式成立5.a、b都是正实数，且ab2.求证：(12a)(1b)9.证明：法一因为a、b都是正实数，且ab2，所以2ab24.所以(12a)(1b)12ab2ab9.法二因为ab2，所以(12a)(1b)(12a)52.因为a为正实数，所以a2 2.所以(12a)(1b)9.法三 因为a、b都是正实数，所以(12a)(1b)(1aa)·3··3·9·.又ab2，所以(12a)(1b)9.思维升华用综合法证明不等式是“由因导果，用分析法证明不等式是“执果索因，它们是两种思路截然相反的证明方法综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野题型三放缩法证明不等式6.0<a<，且M，N，则M、N的大小关系是(A)A. M>NB. M<NC. MN D.不能确定解析：0<a<，1a>0,1b>0,1ab>0，MN>0.答案：A7.假设a，bR，求证：.证明当|ab|0时，不等式显然成立当|ab|0时，由0<|ab|a|b|，所以.思维升华(1)在不等式的证明中，“放和“缩是常用的推证技巧常见的放缩变换有：变换分式的分子和分母，如<，>，<，>.上面不等式中kN*，k>1；利用函数的单调性；真分数性质“假设0<a<b，m>0，则<(2)在用放缩法证明不等式时，“放和“缩均需把握一个度8.设n是正整数，求证：<1.证明由2nnk>n(k1,2，n)，得<.当k1时，<；当k2时，<；，当kn时，<，<1.原不等式成立题型四用反证法证明不等式9.设a>0,b>0,且a+b=.证明:(1)a+b2;(2)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.【解析】由a+b=,a>0,b>0,得ab=1.(1)由根本不等式及ab=1,有a+b2=2,即a+b2.(2)假设a2+a<2与b2+b<2同时成立,则由a2+a<2及a>0得0<a<1;同理得0<b<1,从而ab<1,这与ab=1矛盾.故a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.10.假设a>0，b>0，且.(1)求a3b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a3b6.并说明理由【解】(1)由，得ab2.当且仅当ab时等号成立故a3b324，且当ab时等号成立所以a3b3的最小值为4.(2)由(1)知，2a3b24.由于4>6，从而不存在a，b，使得2a3b6.1.证明不等式的常用方法有五种，即比拟法、分析法、综合法、反证法、放缩法2.应用反证法证明数学命题，一般有下面几个步骤：(1)分清命题的条件和结论；(2)作出与命题结论相矛盾的假设；(3)由条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；(4)断定产生矛盾结果的原因在于开场所作的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为真3.放缩法证明不等式时，常见的放缩法依据或技巧主要有：(1)不等式的传递性；(2)等量加不等量为不等量；(3)同分子(母)异分母(子)的两个分式大小的比拟缩小分母、扩大分子，分式值增大；缩小分子、扩大分母，分式值减小；全量不少于局部；每一次缩小其和变小，但需大于所求；每一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放缩有时需便于求和4.放缩法的常用措施：(1)舍去或加上一些项，如2>2；(2)将分子或分母放大(缩小)，如<，>，<，> (kN*且k>1)等1.设a、b是正实数，给出以下不等式：>；a>|ab|b；a2b2>4ab3b2；ab>2，其中恒成立的序号为( D)A.B.C.D.答案D解析a、bR时，ab2，1，不恒成立，排除A、B；ab2>2恒成立，应选D2.设M，则( B)AM1 BM<1 CM>1 DM与1大小关系不定【解析】2101>210，2102>210，2111>210，M<210个1.【答案】B3.假设不等式a在t(0，2上恒成立，则a的取值围是(B)A. B.C. D.【解析】由对任意t(0，2恒成立，于是只要当t(0，2时，记f(t)t，g(t)2，可知两者都在(0，2上单调递减，f(t)minf(2)，g(t)ming(2)1，所以a.【答案】B4.a，b为实数，且a>0，b>0.则的最小值为(C)A7 B8 C9 D10【解析】因为a>0，b>0，所以ab33>0，同理可证：a233>0.由及不等式的性质得3×39.【答案】C5.以下结论正确的选项是(B)A当*0且*1时，lg *2B当*0时，2C当*2时，*的最小值为2D当0*2时，*无最大值解析：当0*1时，lg *0，A错误；当*0时，22，B正确；当*2时，*的最小值为，C错误当0*2时，*是增函数，最大值在*2时取得，D错误答案：B6.假设P(*>0，y>0，z>0)，则P与3的大小关系为_ P<3_. 【解析】1*>0，1y>0，1z>0，<3.即P<3.【答案】P<37.*品牌彩电厂家为了翻开市场，促进销售，准备对其生产的*种型号的彩电降价销售，现有四种降价方案：(1)先降价a%，再降价b%；(2)先降价b%，再降价a%；(3)先降价%，再降价%；(4)一次性降价(ab)%.其中a>0，b>0，ab，上述四个方案中，降价幅度最小的是_ *3>*1*2>*4_解析：设降价前彩电的价格为1，降价后彩电价格依次为*1、*2、*3、*4.则*1(1a%)(1b%)1(ab)%a%·b%*2(1b%)(1a%)*1，*31(ab)%(ab)%2，*41(ab)%<1(ab)%a%·b%*1*2，*3*12a%·b%>0，*3>*1*2>*4.8.两正数*，y满足*y1，则z的最小值为_【解析】z*y*y*y2，令t*y，则0<t*y.由f(t)t在上单调递减，故当t时f(t)t有最小值，所以当*y时，z有最小值.【答案】9.求证：<2(nR*)证明<，<1(1)()()1(1)2<2.10.设a、b、c均为正实数，求证：.【证明】a，b，c均为正实数，当ab时等号成立当bc时等号成立当ac时等号成立三个不等式相加即得当且仅当abc时等号成立即.11.函数f(*)m|*2|，mR，且f(*2)0的解集为1,1(1)求m的值；(2)假设a，b，c大于0，且m，求证：a2b3c9.【解】(1)f(*2)m|*|，f(*2)0等价于|*|m.由|*|m有解，得m0且其解集为*|m*m又f(*2)0的解集为1,1，故m1.(2)证明：由(1)知1，且a，b，c大于0，a2b3c(a2b3c)332229.当且仅当a2b3c时，等号成立因此a2b3c9.12.设a，b，cR且abc1，试求：的最小值解：abc1，a，b，c为正数，(2a12b12c1)(111)2，.当且仅当2a12b12c1，即abc时等号成立，当abc时，取最小值.答案：方案(3)13.设a0，b0，ab1，(1)求证：ab4 ；(2)探索猜测，并将结果填在以下括号：a2b2()；a3b3()；(3)由(1)(2)归纳出更一般的结论，并加以证明解析：(1)证法一：ab44a2b217ab40(4ab1)(ab4)0.ab()22，4ab1，而又知ab 4，因此(4ab1)(ab4)0成立，故ab4 .证法二：ab ab ，ab2，4， .当且仅当ab 时取等号又ab2 ，当且仅当ab ，即 4，ab 时取等号故ab 4 (当且仅当ab 时，等号成立)证法三：a>0，b>0，1ab2，ab，令abt.令yabt，y1，t，16.y<0，yt在(0，单调减y44，即ab4.(2)猜测：当ab 时，不等式a2b2()与a3b3()取等号，故在括号分别填16与64 .(3)由此得到更一般性的结论：anbn4n .ab2，4.证法一：anbn anbn 2 ×4n 4n，当且仅当ab ，即ab 时取等号证法二：令abt，由(1)知0<t，令yanbntn，yntn1n0<t，tn1，4n1.y<0，ytn在(0，单调减，y4n，即anbn4n. z.