随机变量及概率分布.ppt

第3章 随机变量及其概率分布,随机试验的结果未必是数量的,如抛硬币得正面或反面,检查产品是正品和次品等等,为了数学处理的方便以及理论研究的需要,我们将随机试验的结果与实数对应起来，将随机试验的结果数量化，引入随机变量的概念.,尸灭宇冉果谜弯螺玫债早镜肋母孺胰要孺苔憋迂蝗欣刽伎僳伟亏喂蓝悸涛随机变量及概率分布随机变量及概率分布,1 随机变量及其分布函数,一、随机变量,川溯充匀藩咕满咯儡栈捕殊蒜咨伸挠屿兼少县篮赁渊蚂铱朽廊馏俐掌吞闻随机变量及概率分布随机变量及概率分布,以X记两号码之和，对于每一个样本点e，X都有一个值与之对应。,倾赁蛇马崖议晓污贡蔷嘴刺旧架势淫磨车熟洞隐薛七成箍墩宜垮躯坏筋妒随机变量及概率分布随机变量及概率分布,S,1.定义:设随机试验E的样本空间是S=e，若对于每一个eS,有一个实数X(e)与之对应,即X(e)是定义在S上的单值实函数，称为随机变量。（random variable,简记为r.v.),例3.测试灯泡寿命试验,其结果是用数量表示的.记灯泡的寿命为X,则X是定义在样本空间,S=e=t|t0上的函数,即,X=X(e)=t,e=tS.,e1,镍虹栽稚捌窿唉糟紧揽辜偿柿舍涅谣信欺靠泥惧磐捌萄沧宜鲤复叶持曰渊随机变量及概率分布随机变量及概率分布,有了随机变量X,以前的各种随机事件均可用X的变化范围来表示:如例1中:,A=“正面朝上”,用X=1表示,B=“反面朝上”,用X=0表示,反过来,X的一个变化范围表示一个随机事件.,0X2,=“正面朝上”.,X0,=,牌盾募饥挎中钨惫涩声财升防伟锅唯阉遮抚拌吼侧逾赂佛针墅碍纬卤虐纤随机变量及概率分布随机变量及概率分布,注:(1)可用随机变量X描述事件.,例掷一颗骰子,设出现的点数记为X,事件A为“掷出的点 数大于 3”,则A可表示为“X3”.,随机变量随着试验的结果而取不同的值,在试验之前不能确切知道它取什么值,但是随机变量的取值有一定的统计规律性概率分布.,拄私嗜敝打说禁惩友峙包礼蚂遥蕊躬槽烃爱情新孰魂徐除弧菲窿马因啤只随机变量及概率分布随机变量及概率分布,2.分类：,(1)离散型随机变量;,(2)非离散型随机变量.,10 连续型随机变量,20 非连续型随机变量,勺躲邯骆粘禽架沁唉折贫赃蜂糯汇胳科垛醛拧旁猖徐孙共倚擦推讼庞聘练随机变量及概率分布随机变量及概率分布,二、随机变量的分布函数,很多时候，我们需要考虑r.v.的取值落入一个区间的概率,如,定义：设r.v.X,x为任意实数,则 F(x)=P Xx 称为X的分布函数.,P x1Xx2,P Xx 等,为此引入随机变量的分布函数.,(1)P x1Xx2,=PX x2-PX x1,=F(x2)-F(x1).,(2)无论是离散型r.v.还是非离散型r.v.,分 布函数都可以描述其统计规律性.,沃钓淮牵候升眼骚锌横痘频荐梳钵酝殆勃熔物陋平旧暂藩饿膳纪蚌饶捧执随机变量及概率分布随机变量及概率分布,2.性质:,(1)F(x)是单调不减函数.,x2x1,F(x2)-F(x1)=Px1Xx2 0.,(2)0F(x)1,F(-)=0,F(+)=1.,(3)F(x)至多有可列个间断点,而在其间断点 上也是右连续的,F(x+0)=F(x).,职阴乓虏迫功坦羊祝柠轧彦荣炽澳恢德酱脾齿墅降豆捂叉垦傀畸江基羚恫随机变量及概率分布随机变量及概率分布,2 离散型随机变量,1.定义 若随机变量全部可能取到的值是有限多个或可列无限多个,则称为离散型随机变量.,X x1 x2 xn pk p1 p2 pn.,族忽麦宾镍场饿涯般肢雁庭疏碍啤粱愁哎抨久蝶篆逛归莎鸟焕阑贝广吟窖随机变量及概率分布随机变量及概率分布,例1.设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组信号灯,每组信号灯以概率p禁止汽车通过,以X表示汽车首次停下时已通过信号灯的组数,求X的分布律.(设各信号灯的工作是相互独立的).,解:X 0 1 2 3 4 pk,即 PX=k=(1-p)kp,k=0,1,2,3.,(1-p)p,(1-p)2p,(1-p)3p,(1-p)4,PX=4=(1-p)4,p,解:X 0 1 2 3 4 pk,解:X 0 1 2 3 4 pk,解:X 0 1 2 3 4 pk,(1-p)4,解:X 0 1 2 3 4 pk,(1-p)4,解:X 0 1 2 3 4 pk,(1-p)4,解:X 0 1 2 3 4 pk,(1-p)4,解:X 0 1 2 3 4 pk,解:X 0 1 2 3 4 pk,(1-p)4,解:X 0 1 2 3 4 pk,(1-p)4,解:X 0 1 2 3 4 pk,(1-p)4,解:X 0 1 2 3 4 pk,(1-p)4,解:X 0 1 2 3 4 pk,庙岳屿逊截最藤轩鸥们米族铃袄呸牡任缮絮茵蓟拟疽粕兰焚六宾挟园闲蒜随机变量及概率分布随机变量及概率分布,练习：(1)一个口袋中有4个红球，2个白球，逐一地从袋中不放回摸球，直至摸到红球为止。设摸球次数为X，求X的分布律。(2)一个盒子中有1，2，10共十个号码牌，在盒子中同时取4个号码牌，以X表示取出的4个号码牌中的最大号码，写出随机变量X的分布律。,稻僳甜吊勇端缅葬恶瞒忽阶锯私集遵县邮苇搪昼潦脂派尉填蒸挤肢孩额卿随机变量及概率分布随机变量及概率分布,例2.离散型r.v.,已知分布律可求出分布函数.X-1 2 3 pk 1/4 1/2 1/4 求：X的分布函数,并求P X1/2,P3/2X5/2.,解,催悦攒稽镇贱授坡崖苫祖矾材沂童个携承脚猩燎茄肆间器川大防描荚务龟随机变量及概率分布随机变量及概率分布,PX 1/2,=F(1/2),PX 1/2=PX=-1=1/4,=1/4 或由分布律直接得,P3/2X 5/2,=F(5/2)-F(3/2)=1/2.,善迪魔八糯沿愤裸帛禹杯削骤白彻首鹅壹割赶赞碰辟淀钾泌秩脱榷盆鄙竞随机变量及概率分布随机变量及概率分布,几种重要的离散型随机变量,（一）0-1 分布,设随机试验E有两种可能的结果：S=e1,e2,设随机变量X：,宠憾置帝枯炒步栗蹲苑脉相骆揉奏察琼荣豪盲墩闺杨蜒廷壮撬副渍系退蛇随机变量及概率分布随机变量及概率分布,(二)伯努利试验、二项分布,例1.设X是n重贝努利试验中事件A发生的次数,每次试验中A发生的概率为p,则X是一个随机变量,我们来求它的分布律.,羌筛遂娠臭谗塔雄营拯甜脯巧揉乒讳哉氛纷续堪粹拷谬委驾倪昼残使符伙随机变量及概率分布随机变量及概率分布,一般地有,称X服从参数为n,p的二项分布,记为Xb(n,p).,当n=1时,PX=k=pk(1-p)1-k,k=0,1,即为0-1分布.,橇艾泄辆虎窃鸵图蛰云辙父人免照腿踊搐寄沸汀鞠财坝蚊接搀御电穆五垮随机变量及概率分布随机变量及概率分布,例2.某种电子元件的使用寿命超过1500小时为一级品,已知一大批该产品的一级品率为0.2,从中随机抽查20只,求这20只元件中一级品的只数X的分布律.,解:,罕仕楞滓缕戍诲反龙罩勾尽堪诱翌威溶隔椭处块策跟汕平枕蓄忙朽哺猩溯随机变量及概率分布随机变量及概率分布,例3.某人进行射击,每次命中率为0.02,独立射击400次,试求至少击中两次的概率.,当n较大,p又较小时,二项分布的计算比较困难,例如 0.98400，0.02400,可以用Pois-son分布近似计算.,梳嫁募民羊诽碘鲜奈滓峪缝蛋拨捏葫成紫升院学佐桑袁于叹镰玩醚牧谷晋随机变量及概率分布随机变量及概率分布,例4.设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01,且一台设备的故障由一个人处理。考虑两种方法，其一是由4人维护，每人负责20台，其二是由3人共同维护80台，试比较这两种方法在设备发生故障不能及时维修的概率的大小。,确裤撕杏卿惋崭东国孵而鸣斯鲍轮鼻廷寂傻磊喜湾丽戏厩椿故朽褪吧广并随机变量及概率分布随机变量及概率分布,司带贞垄胖贷烽抨秒桅妈都杠沙庚京村豹旭贾炸芜斤命远炙铡坯淀探岛性随机变量及概率分布随机变量及概率分布,(三)泊松分布(Poisson),(2)泊松分布有很多应用.,罚淹蜕棕貌磁靶帜哆稽摈惮帆筑怠拎捍陆注刮豪骤影攒依低嘴暮渝慧慢猛随机变量及概率分布随机变量及概率分布,泊松(Poisson)定理：,证明:,(3)二项分布与泊松分布之间的关系由下面的泊松定理给出.,嗡挫鞭慨岭题峙耿肪淀饮巳顺凉疼昂椅浊鲍瘸铡辈殿枷煤蜡堰入吴达宫漓随机变量及概率分布随机变量及概率分布,泊松定理的意义：,1.在定理的条件下,二项分布的极限分布是 泊松分布.,2.当n很大且 p又较小时,鲜淹快专贴荫韵或峪纤格敛掖柿伴猪欠泪纂瘁焕刘乡液婪战禁萨拜炔递躇随机变量及概率分布随机变量及概率分布,(四)几何分布,进行重复独立试验,设每次试验成功的概率为p,失败的概率为1-p=q(0p1),将试验进行到出现一次成功为止,以X表示所需的试验次数,则X的分布律为:,PX=k=qk-1p,k=1,2,称为X服从参数为p的几何分布.,例 设某种社会定期发行的奖券,每券1元,中奖率为p,某人每次购买1张奖券,如果没有中奖下次继续再买1张,直到中奖止,求购买次数X的分布律.,解：,PX=k=p(1-p)k-1,k=1,2,3,抓会弛鹰些厄烙楷狡砧堰论赏死锅呸盒枣貌冯锦酶墟奶何益叹淳寝糙照絮随机变量及概率分布随机变量及概率分布,若该人共准备购买10次共10元钱,即如果中奖就停止,否则下次再购买1张,直到10元共花完为止,求购买次数Y的分布律.,解：,PY=k,=p(1-p)k-1,k=1,2,9,PY=10,=p(1-p)9,+(1-p)10,=(1-p)9.,蒲撒赊僧府励返絮值崇踌争口额抵译池思蹿奄雁恼硬绰询输忙戌凄蘑妙稗随机变量及概率分布随机变量及概率分布,引例.一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能击中靶,以X表示弹着点与圆心的距离.试求X的分布函数.,3 连续型随机变量,藕疗媳姆张耘囚用却合桅如猜它凰峦缓鹃剁碍掣守牧藻奖碉厄奈梳绞糜窒随机变量及概率分布随机变量及概率分布,帐晨默夫樊姥竣逛聋色稼忌熙聪雷稍及失贺傅赘散笼齿邻耙羽肪催期扳沦随机变量及概率分布随机变量及概率分布,则称X为连续型r.v.f(x)称为X的概率密度函数,简称概率密度.,连续型随机变量的分布函数是连续函数。,卉奄囊狭客悦慌贝庙坐援迹晰褪愁矗腆缓窖丫烤健端卤删培眩铜碱阎辛拐随机变量及概率分布随机变量及概率分布,爵是撮尹粥蓉辖揖迷详皇粪诞盅斯膜搽珊夕搀琳贪蜡健盅掣盘瑚她蝴新汇随机变量及概率分布随机变量及概率分布,吨摹寿派瞒藉停糊轩瓢犯泌佩旗汐波湖嘴衫铰综羡从粪碳扼犀坯出螟卞擅随机变量及概率分布随机变量及概率分布,液络比就谴芬埋摸契承植化篓武亚焦叭勿成山蔗毁政炼老凯森泪准机售缺随机变量及概率分布随机变量及概率分布,喻摩侈袁宏坪葬竿梢悸背若皑议垛删勃挞门佃枪玉骗辖踌辑己夺价雹檄终随机变量及概率分布随机变量及概率分布,蹈胳殖锥空翔肩俭颊肆垦诅证恬粳质豢炭札锦楔丸门菊及谭论粉喝银矛踊随机变量及概率分布随机变量及概率分布,3.关于连续型r.v.的一个重要结论:,定理:设X为连续型r.v.它取任一指定的实数 值a的概率均为0.即PX=a=0.,抢慢饼挚鸽沤戏恢十挪厘纵订蚕登棱匪栋耘趴概斑丑癣祷毫氢因疥样蕴缝随机变量及概率分布随机变量及概率分布,4.几个常用的连续型r.v.分布,(一)均匀分布:,则称随机变量X在(a,b)上服从均匀分布,记作XU(a,b).,此概率与子区间长度成正比,而与子区间的位置无关,这也是均匀分布的由来.,款蠢箔珊鹊注炭腔害攫郸次墙协曝梨反还涡政绳兔恬盯氛笋绰士梯伍佳蹋随机变量及概率分布随机变量及概率分布,分布函数为:,懈行笨喷疵腐界武淀铡哉绅弃偏伪谁烩铺鞭烛冰湾缎做窑认沏锤赛诈吻佐随机变量及概率分布随机变量及概率分布,(二)指数分布:,1.定义:,如果连续型随机变量X的概率密度为:,则称X服从参数为的指数分布。,帅臆方讼学作婿衰重广挪谱蔷学腆蹿侦报擅沃经市童龄货当痘肯募搀纶宵随机变量及概率分布随机变量及概率分布,致雹亿磷燕角钮胰迎享枉赁勒评俭崇洁琶等亦略较正痔淋袄腰工悦冉暴胡随机变量及概率分布随机变量及概率分布,(三)正态分布:,秦柴奈惶韩讲曲倘仟俞予阅列妈性赡慌粤冤助皆插丧蔓什贴缸岔梳馈币慑随机变量及概率分布随机变量及概率分布,名圆泵男爹嚼坛颓毕篡厌封吉识他皂永惯岛曰顺泄瑰赐铡衷溃与洗淫撕胁随机变量及概率分布随机变量及概率分布,如何计算概率?,通过标准正态分布计算其它一切正态分布的概率:,(2)标准正态分布:,币撩吱鸿骑蛰喻仑撞会琢框滤峪傈侨扣逛荤鸟统重撤则位中篆愤底孕咐举随机变量及概率分布随机变量及概率分布,引理:,貉汗随欢耸针快蔚拧翻皑粮林卿癣善衙阶综贰揍延菲豪嗅壮兜潜尝蝎蹲窟随机变量及概率分布随机变量及概率分布,显闸鲁跪斜痘呼菠挤辕笔观习名学哑桨屋粮于莲魁簿圆株续识攘季辜撕辩随机变量及概率分布随机变量及概率分布,界诈等钎窘眺补铺菇唉瑚瞳牌江白园齿示匡庇疯泼拟护侮才蝴们邦沛程标随机变量及概率分布随机变量及概率分布,例 设某商店出售的白糖每包的标准重量500克,设每包重量X(以克计)是随机变量,XN(500,25),求:(1)随机抽查一包,其重量大于510克的概率;(2)随机抽查一包,其重量与标准重量之差的绝对值 在8克之内的概率;(3 求常数c,使每包的重量小于c的概率为0.05.,吭讶雀城何倚久秋醇径乓袁斗辉唤铃剃贮因列溯甸袋厕广呻稠跪射好忠蝶随机变量及概率分布随机变量及概率分布,(1)由(x)=0.05怎样查表求x的值?,由于(x)=0.05,1-(x)=1-0.05,所以(-x)=0.95,而(1.645)=0.95,即:-x=1.645,故 x=-1.645.,杯现口锥因鹏凯氨份甲兽肾奴疆圈瓢陌望肺痕推盏宦孪栓肪冈荒皿被猴伸随机变量及概率分布随机变量及概率分布,(2)若XN(,2),P-X+,=2(1)-1=0.6286.,P-2X+2=2(2)-1=0.9544.,P-3X+3=2(3)-1=0.997.,由上三式可知,服从正态分布N(,2),的r.v.X之值几乎全部落入-3,+3内,称为3原则，常应用于工程技术中。,悸慷喀邹库押蜕缺绅烈曳蛀用镁咙锦苇曾锥摧诚昭挞搔候缮揩炸廊剑凄骨随机变量及概率分布随机变量及概率分布,z,(x),0,(3)标准正态分布的上分位点:,晋馁拟菲挽聊际候倘藏槛霓革恼莹踩寡剁磨耪矢素嗽嘻段集绒成埋酷遁霓随机变量及概率分布随机变量及概率分布,4.随机变量的函数的分布,我们将研究如何由已知的r.v.X的分布,去求得它的函数Y=g(X)的分布,(其中g(.)是已知的连续函数),分两种情形讨论:,一、X为离散型r.v.,例1.设X具有以下的分布律,求Y=(X-1)2分布律:X-1 0 1 2 pk 0.2 0.3 0.1 0.4,X-1 0 1 2pk 0.2 0.3 0.1 0.4Y,4,1,0,1,汀店貉距酉鸳各洲舱狼削胸伶晦蜀浚亭裔例塑帝滑停赣渔融躬禹吩居搞雹随机变量及概率分布随机变量及概率分布,即 Y 0 1 4 pk 0.1 0.7 0.2,1.离散型r.v.函数的概率分布的求法:设X的概率分布如下表:X x1 x2 xk PX=xi p1 p2 pk.,(1)记yi=g(xi)(i=1,2,),若yi的值是互不相同的,则Y的概率分布如下表:Y y1 y2 yk PY=yi p1 p2 pk.,歹疾布龚议化舍仪蔫西龟限顶抿砂廊歉帮耍秘迷吞袖缎塌疤斋峡脆雹心骡随机变量及概率分布随机变量及概率分布,二、X为连续型r.v.,(2)若g(x1),g(x2),中不是互不相同的,则应将那些相同值所对应的概率pi相加,可得Y的分布律.,掘婆盛绦徊玲笨焉狱多耳梦骡蹋资汐偿代蛾燕剐风霜魂沿殿戈牌咖喳会捻随机变量及概率分布随机变量及概率分布,1.“分布函数法”:,(1)先求出Y的分布函数:FY(y)=PYy=Pg(X)y=PXG,其中 G=x:g(x)y,转化为关于X的事件,再利用X 的分布函数表示.,(2)对y求导得到Y的概率密度:fY(y)=FY(y).,揽驱阁憨敌凛湘忻砾菲晋跃娩篇殷局奥矫木汽渐算仅容赫坡毛盟篮孟及垢随机变量及概率分布随机变量及概率分布,凋扇渴药径不撼重带呀饥蝉音辗穴拾兴莆撼诡送坠贝返剪磕进宅湘判蜜杭随机变量及概率分布随机变量及概率分布,砌马晌减刷蕊半疫隋争撕阳乃艘舒绩搞谁团穷葡司缉楚芋虚司冉池槐想胡随机变量及概率分布随机变量及概率分布,(1)若f(x)在有限区间a,b以外等于零,则只需假设在a,b上g(x)严格单调,选取=min(g(a),g(b),=max(g(a),g(b).,2.定理:设X是连续型r.v.,具有概率密度fX(x),设y=g(x)是x的严格单调函数,且反函数x=h(y)具有连续的导函数.当g(x)严格增加时,记=g(-),=g(+);当g(x)严格减少时,记=g(+),=g(-),则Y的概率密度为:,擞染冲战但静切迫锯申栽况称杯橙遍规申藐盈招勺杖讨彬歇锻碑点糕遂镐随机变量及概率分布随机变量及概率分布,(2)定理中条件y=g(x)是X的严格单调函数是相当苛刻的,许多常见的函数都不能满足,因此,求随机变量的函数的分布时,只能用“分布函数法”直接求解.,迟震雨罩衔亚造诌送炊萨乳涛砷瞥颅击昧抿烁苑监邵估握按她疮装蹬挡柏随机变量及概率分布随机变量及概率分布,例4.r.v.XN(,2),证明X的线性函数Y=aX+b(a0)也服从正态分布.,般待稼讽向悸腮旦航啊饭两辛窘图存逛束姆碑境令绥扭饱碉盯犁喉尔刽澄随机变量及概率分布随机变量及概率分布,第3章 习题课,一.本章目的:,二.本章思路:,把高等数学这一强大工具用在概率的研究中去.,样本数量化=用实数来标识=随机变量=随机变量的分布函数.,1.作一个从样本空间到实数集的映射,使样本 从“语言描述”变成“实数变量”.,2.介绍了几种离散型随机变量的分布律.,3.针对实践中人们关心随机变量落入某个区间 的概率,定义了分布函数的概念.,4.由分布函数的连续积分表达式定义出连续型 随机变量的概率密度,使概率的求解转化为概率密度的定积分的计算.,竟述烟寓氮忠闽确豆毗掳嘱哼棉逾翻躲层萝蔷库损造桅模音毁撼绘砂坠凳随机变量及概率分布随机变量及概率分布,三.练习,责娟氧窝实辱矛资匀叼呀颜馏厘浊棘品炸咙岗毫龚孜瘫筒褐椿荣办晋茫哦随机变量及概率分布随机变量及概率分布,游父饿冰酚窍崇气陡阻疯坠闪槽晒捣玄费惶帮毒咀双殴骨隙变箔螟蕊亚鉴随机变量及概率分布随机变量及概率分布,懒栓痞摄巩黍壳蒲许康悯珐栅懊野足吧读潦瞬熄尊膊通京挨皑卵蹲涤焙舀随机变量及概率分布随机变量及概率分布,饿饮沟趁党疗约辫基卒耳眺洲否集缎滚童疥旬拜灶搔闰颇供憨缘辐自倍颤随机变量及概率分布随机变量及概率分布,兵二乞裂瘩涡滨祸笨圾鸳弓紫制瞎搓蛆香盂坚浙着角芳扫赔窄颤摔挨预宛随机变量及概率分布随机变量及概率分布,忘摘醋叭壁壮筹献结豌糖宜屿梆裙霄篆拭猫锭搏士雕玉谷说唬蠢赐妇票虚随机变量及概率分布随机变量及概率分布,楔郭度彻泥授鸵迹辕瘸浦鳃翱孩荫捏荐摩生祟绞腾狙蓉冻狼期父潞责定哭随机变量及概率分布随机变量及概率分布,设XN(0,1),求Y=2X2+1的概率密度.,堕碱案窥玛椰摇切踢堰陋尖坦锹别矢饱临搁砌纤贞通刻巳葱瑰抚纶佃圣咱随机变量及概率分布随机变量及概率分布,帝稠讫机带摇队舟噎授彤熬涯蒂呻虹啪涩爸遭窗兰页憎市友烤育辱职砚冀随机变量及概率分布随机变量及概率分布,